Në artikull, ne do të kuptojmë plotësisht se si duket tabela e vlerave trigonometrike, sinus, kosinus, tangent dhe kotangjent. Le të shqyrtojmë kuptimin bazë të funksioneve trigonometrike, nga një kënd prej 0,30,45,60,90,...,360 gradë. Dhe le të shohim se si t'i përdorim këto tabela në llogaritjen e vlerave të funksioneve trigonometrike.
Së pari le të shohim tabela e kosinusit, sinusit, tangjentes dhe kotangjentes nga një kënd prej 0, 30, 45, 60, 90, ... gradë. Përkufizimi i këtyre sasive na lejon të përcaktojmë vlerën e funksioneve të këndeve 0 dhe 90 gradë:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, kotangjentja nga 00 do të jetë e papërcaktuar
sin 90 0 = 1, cos 90 0 = 0, ctg90 0 = 0, tangjentja nga 90 0 do të jetë e pasigurt
Nëse merrni trekëndësha kënddrejtë, këndet e të cilëve janë nga 30 në 90 gradë. Ne marrim:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, ahur 60 0 = √3/3
Le të përfaqësojmë të gjitha vlerat e marra në formë tabelë trigonometrike:
Tabela e sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe kotangjenteve!
Nëse përdorim formulën e reduktimit, tabela jonë do të rritet, duke shtuar vlera për kënde deri në 360 gradë. Do të duket si kjo:
Gjithashtu, në bazë të vetive të periodicitetit, tabela mund të rritet nëse i zëvendësojmë këndet me 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, në të cilin z është një numër i plotë. Në këtë tabelë është e mundur të llogaritet vlera e të gjitha këndeve që korrespondojnë me pikat në një rreth të vetëm.
Le të shohim se si të përdorim tabelën në një zgjidhje.
Gjithçka është shumë e thjeshtë. Meqenëse vlera që na nevojitet qëndron në pikën e kryqëzimit të qelizave që na duhen. Për shembull, merrni cos-in e një këndi prej 60 gradë, në tabelë do të duket si kjo:
Në tabelën përfundimtare të vlerave kryesore të funksioneve trigonometrike, ne vazhdojmë në të njëjtën mënyrë. Por në këtë tabelë mund të zbulohet se sa është tangjentja nga këndi 1020 gradë, ajo = -√3 Le të kontrollojmë 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Le ta gjejmë duke përdorur tabelën.
Tabela Bradis. Për sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentin.
Tabelat Bradis ndahen në disa pjesë, të përbëra nga tabelat e kosinusit dhe sinusit, tangjentes dhe kotangjentes - e cila është e ndarë në dy pjesë (tg këndesh deri në 90 gradë dhe ctg kënde të vogla).
Sinusi dhe kosinusi
tg këndi duke filluar nga 00 duke përfunduar me 760, ctg kënd duke filluar me 140 duke përfunduar me 900.
tg deri në 900 dhe ctg kënde të vogla.
Le të kuptojmë se si të përdorim tabelat Bradis në zgjidhjen e problemeve.
Le të gjejmë përcaktimin sin (përcaktimi në kolonën në skajin e majtë) 42 minuta (përcaktimi është në vijën e sipërme). Nga kryqëzimi ne kërkojmë përcaktimin, ai = 0.3040.
Vlerat e minutave tregohen me një interval prej gjashtë minutash, çfarë të bëjmë nëse vlera që na nevojitet bie pikërisht brenda këtij intervali. Le të marrim 44 minuta, por në tabelë janë vetëm 42. Marrim si bazë 42 dhe përdorim kolonat shtesë në anën e djathtë, marrim ndryshimin e dytë dhe shtojmë në 0,3040 + 0,0006 marrim 0,3046.
Me sin 47 minuta, marrim 48 minuta si bazë dhe i heqim 1 korrigjim, pra 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
Gjatë llogaritjes së cos-it, ne punojmë në mënyrë të ngjashme me mëkatin, vetëm se marrim rreshtin e poshtëm të tabelës si bazë. Për shembull cos 20 0 = 0.9397
Vlerat e këndit tg deri në 90 0 dhe shtratit të një këndi të vogël janë të sakta dhe nuk ka korrigjim në to. Për shembull, gjeni tg 78 0 37min = 4,967 
dhe ctg 20 0 13min = 25,83 
Epo, ne kemi parë tabelat bazë trigonometrike. Shpresojmë që ky informacion të ishte jashtëzakonisht i dobishëm për ju. Nëse keni ndonjë pyetje në lidhje me tabelat, sigurohuni që t'i shkruani ato në komente!
Shënim: Parakolpët e murit janë një dërrasë parakolp për mbrojtjen e mureve. Ndiqni lidhjen e parakolpëve të murit pa kornizë (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) dhe zbuloni më shumë.
Masa e shkallës së këndit. Masa radiane e këndit. Shndërrimi i shkallëve në radianë dhe anasjelltas.
Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")
Në mësimin e mëparshëm mësuam se si të masim këndet në një rreth trigonometrik. Mësoi si të numërojë këndet pozitive dhe negative. Mësuam se si të vizatojmë një kënd më të madh se 360 gradë. Është koha për të kuptuar se si të matni këndet. Sidomos me numrin "Pi", i cili përpiqet të na ngatërrojë në detyra të ndërlikuara, po...
Problemet standarde në trigonometri me numrin "Pi" janë zgjidhur mirë. Kujtesa vizuale ndihmon. Por çdo devijim nga shablloni është një fatkeqësi! Për të shmangur rënien - kuptojnë e nevojshme. Kjo është ajo që do të bëjmë tani me sukses. Dua të them, ne do të kuptojmë gjithçka!
Kështu që, çfarë a llogariten këndet? Në kursin e trigonometrisë shkollore përdoren dy masa: masë shkallë e këndit Dhe masë e këndit radian. Le të shohim këto masa. Pa këtë, nuk ka askund në trigonometri.
Masa e shkallës së këndit.
Ne disi u mësuam me gradë. Të paktën kaluam gjeometrinë... Dhe në jetë shpesh hasim shprehjen "u kthye 180 gradë", për shembull. Shkurt, një diplomë është një gjë e thjeshtë...
Po? Më përgjigjeni atëherë çfarë është një diplomë? Çfarë, nuk funksionon menjëherë? Kjo eshte...
Diplomat u shpikën në Babiloninë e Lashtë. Ishte shumë kohë më parë... 40 shekuj më parë... Dhe ata erdhën me një ide të thjeshtë. Ata morën dhe e ndanë rrethin në 360 pjesë të barabarta. 1 shkallë është 1/360 e rrethit. Kjo eshte e gjitha. Mund ta kishin thyer në 100 pjesë. Ose 1000. Por e ndanë në 360. Meqë ra fjala, pse pikërisht 360? Si është 360 më i mirë se 100? 100 duket se është disi më e qetë... Përpiqu t'i përgjigjesh kësaj pyetjeje. Apo i dobët kundër Babilonisë së Lashtë?
Diku në të njëjtën kohë, në Egjiptin e Lashtë ata u munduan nga një pyetje tjetër. Sa herë është gjatësia e një rrethi më e madhe se gjatësia e diametrit të tij? Dhe e matën kështu, e ashtu... Gjithçka doli pak më shumë se tre. Por disi doli i ashpër, i pabarabartë... Por ata, egjiptianët, nuk kanë faj. Pas tyre vuajtën edhe 35 shekuj të tjerë. Derisa më në fund vërtetuan se sado imët të prisni një rreth në copa të barabarta, nga copa të tilla mund të bëni e lëmuar gjatësia e diametrit është e pamundur... Në parim është e pamundur. Epo, sa herë është vendosur perimetri më i madh se diametri, natyrisht. Përafërsisht. 3.1415926... herë.
Ky është numri "Pi". Kaq i ashpër, kaq i ashpër. Pas presjes dhjetore ka një numër të pafund numrash pa asnjë renditje... Numrat e tillë quhen irracionalë. Kjo, nga rruga, do të thotë se nga pjesë të barabarta të një rrethi diametri e lëmuar mos palos. kurrë.
Për përdorim praktik, është zakon të mbani mend vetëm dy shifra pas pikës dhjetore. Mbani mend:
Meqenëse kuptojmë se perimetri i një rrethi është më i madh se diametri i tij me herë "Pi", ka kuptim të kujtojmë formulën për perimetrin e një rrethi:
Ku L- perimetri, dhe d- diametri i tij.
E dobishme në gjeometri.
Për arsimin e përgjithshëm, do të shtoj se numri “Pi” gjendet jo vetëm në gjeometri... Në degë të ndryshme të matematikës, e sidomos në teorinë e probabilitetit, ky numër shfaqet vazhdimisht! Vetvetiu. Përtej dëshirave tona. Si kjo.
Por le të kthehemi në shkallë. A e keni kuptuar pse në Babiloninë e Lashtë rrethi ishte i ndarë në 360 pjesë të barabarta? Dhe jo me 100, për shembull? Jo? NE RREGULL. Unë do t'ju jap një version. Ju nuk mund të pyesni babilonasit e lashtë ... Për ndërtim, ose, të themi, astronomi, është e përshtatshme të ndash rrethin në pjesë të barabarta. Tani kuptoni me cilët numra është i pjesëtueshëm plotësisht 100, dhe cilat - 360? Dhe në cilin version të këtyre pjesëtuesve plotësisht- më shumë? Kjo ndarje është shumë e përshtatshme për njerëzit. Por...
Siç doli shumë më vonë se Babilonia e Lashtë, jo të gjithë i pëlqejnë diplomat. Matematika e lartë nuk i pëlqen... Matematika e lartë është një zonjë serioze, e organizuar sipas ligjeve të natyrës. Dhe kjo zonjë thotë: "Sot e ndave rrethin në 360 pjesë, nesër do ta thyesh në 100, pasnesër në 245... Dhe çfarë të bëja? Jo, vërtet..." Më duhej të dëgjoja. Nuk mund ta mashtrosh natyrën...
Ne duhej të vendosnim një masë këndi që nuk varej nga shpikjet njerëzore. Takohuni - radian!
Masa radiane e këndit.
Çfarë është një radian? Përkufizimi i një radian bazohet ende në një rreth. Një kënd prej 1 radian është një kënd që pret një hark nga një rreth gjatësia e të cilit është ( L) është e barabartë me gjatësinë e rrezes ( R). Le të shohim fotot.
Një kënd kaq i vogël, pothuajse nuk ekziston... Lëvizim kursorin mbi foto (ose prekim figurën në tablet) dhe shohim rreth një radian. L = R
E ndjeni ndryshimin?
Një radian është shumë më tepër se një shkallë. Sa herë?
Le të shohim foton tjetër. Mbi të cilin vizatova një gjysmërreth. Këndi i shpalosur është, natyrisht, 180°.
Tani do ta pres këtë gjysmërreth në radianë! E kalojmë kursorin mbi figurë dhe shohim se 180° përshtaten me 3 radianë e gjysmë.
Kush mund ta marrë me mend se me çfarë barazohet ky bisht!?
Po! Ky bisht është 0.1415926.... Përshëndetje, numri "Pi", nuk të kemi harruar akoma!
Në të vërtetë, 180 gradë përmban 3,1415926... radianë. Siç e kuptoni vetë, të shkruani 3.1415926 gjatë gjithë kohës... është e papërshtatshme. Prandaj, në vend të këtij numri të pafund, ata gjithmonë shkruajnë thjesht:
Por në internet numri
Është e papërshtatshme të shkruash... Prandaj shkruaj emrin e tij në tekst - “Pi”. Mos u ngatërroni, mirë?...
Tani mund të shkruajmë një barazi të përafërt në një mënyrë plotësisht kuptimplote:
Ose barazi e saktë:
Le të përcaktojmë se sa gradë janë në një radian. Si? Lehtë! Nëse ka 180 gradë në 3,14 radian, atëherë ka 3,14 herë më pak në 1 radian! Kjo do të thotë, ne e ndajmë ekuacionin e parë (formula është gjithashtu një ekuacion!) me 3.14:
Ky raport është i dobishëm për t'u mbajtur mend. Një radian është afërsisht 60°. Në trigonometri, shpesh duhet të vlerësoni dhe vlerësoni situatën. Kjo është ajo ku kjo njohuri ndihmon shumë.
Por aftësia kryesore e kësaj teme është shndërrimi i shkallëve në radianë dhe anasjelltas.
Nëse këndi jepet në radianë me numrin "Pi", gjithçka është shumë e thjeshtë. Ne e dimë se radianët "Pi" = 180°. Pra, ne zëvendësojmë radianët për "Pi" - 180°. Këndin e marrim në gradë. Ne zvogëlojmë atë që zvogëlohet dhe përgjigja është gati. Për shembull, ne duhet të zbulojmë se sa gradë në këndin "Pi"/2 radian? Kështu ne shkruajmë:
Ose, një shprehje më ekzotike:
Lehtë, apo jo?
Përkthimi i kundërt është pak më i ndërlikuar. Por jo shumë. Nëse këndi është dhënë në gradë, ne duhet të kuptojmë se me çfarë një shkallë është e barabartë në radianë dhe ta shumëzojmë atë numër me numrin e gradëve. Sa është 1° e barabartë në radiane?
Ne shikojmë formulën dhe kuptojmë se nëse 180° = "Pi" radian, atëherë 1° është 180 herë më e vogël. Ose, me fjalë të tjera, ne e ndajmë ekuacionin (një formulë është gjithashtu një ekuacion!) me 180. Nuk ka nevojë të përfaqësohet "Pi" si 3.14; gjithsesi shkruhet gjithmonë me një shkronjë. Gjejmë se një shkallë është e barabartë me:
Kjo eshte e gjitha. Ne shumëzojmë numrin e gradëve me këtë vlerë dhe marrim këndin në radianë. Për shembull:
Ose, në mënyrë të ngjashme:
Siç mund ta shihni, në një bisedë të qetë me digresione lirike, doli se radianët janë shumë të thjeshtë. Dhe përkthimi nuk është problem... Dhe “Pi” është një gjë krejtësisht e tolerueshme... Pra nga vjen konfuzioni!?
Unë do të zbuloj sekretin. Fakti është se në funksionet trigonometrike shkruhet simboli i shkallëve. Gjithmonë. Për shembull, sin35°. Ky është sinusi 35 gradë . Dhe ikona e radianit ( i gëzuar) - nuk është shkruar! Është e nënkuptuar. Ose matematikanët u pushtuan nga përtacia, ose diçka tjetër... Por ata vendosën të mos shkruanin. Nëse nuk ka simbole brenda sinus-kotangjentit, atëherë këndi është në radiane ! Për shembull, cos3 është kosinusi i tre radianet .
Kjo çon në konfuzion... Një person sheh "Pi" dhe beson se është 180°. Në çdo kohë dhe kudo. Nga rruga, kjo funksionon. Për momentin, shembujt janë standard. Por "Pi" është një numër! Numri është 3.14, por jo gradë! Ky është radian "Pi" = 180°!
Edhe një herë: "Pi" është një numër! 3.14. Irracionale, por një numër. Njësoj si 5 ose 8. Për shembull, mund të bëni për hapat "Pi". Tre hapa dhe pak më shumë. Ose blini kilogramë karamele "Pi". Nëse një shitës i arsimuar has...
"Pi" është një numër! Çfarë, të mërzita me këtë frazë? A keni kuptuar tashmë gjithçka kohë më parë? NE RREGULL. Le të kontrollojmë. Më thuaj, cili numër është më i madh?
Apo çfarë është më pak?
Kjo është një nga një seri pyetjesh paksa jo standarde që mund t'ju çojnë në hutim...
Nëse edhe ju keni rënë në hutim, mbani mend magjinë: "Pi" është një numër! 3.14. Në sinusin e parë thuhet qartë se këndi është në gradë! Prandaj, është e pamundur të zëvendësohet "Pi" me 180 °! Shkallët "Pi" janë afërsisht 3.14°. Prandaj, mund të shkruajmë:
Nuk ka shënime në sinusin e dytë. Keshtu qe - radianet! Këtu zëvendësimi i "Pi" me 180° do të funksionojë mirë. Shndërrimi i radianeve në gradë, siç është shkruar më sipër, marrim:
Mbetet për të krahasuar këto dy sine. Çfarë. harrove si? Duke përdorur një rreth trigonometrik, sigurisht! Vizatoni një rreth, vizatoni kënde të përafërta 60° dhe 1,05°. Le të shohim se çfarë sinusesh kanë këto kënde. Me pak fjalë, gjithçka përshkruhet si në fund të temës për rrethin trigonometrik. Në një rreth (edhe atë të shtrembër!) do të jetë qartë e dukshme se mëkat60° dukshëm më shumë se mëkat1.05°.
Ne do të bëjmë saktësisht të njëjtën gjë me kosinusët. Në rreth, vizatoni kënde afërsisht 4 gradë dhe 4 radian(A keni harruar se me çfarë është afërsisht 1 radian?). Rrethi do të thotë gjithçka! Sigurisht, cos4 është më pak se cos4°.
Le të praktikojmë përdorimin e masave të këndit.
Shndërroni këto kënde nga gradë në radiane:
360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°
Ju duhet t'i merrni këto vlera në radianë (në një renditje të ndryshme!)
| 0 | ||||
Nga rruga, unë theksova në mënyrë specifike përgjigjet në dy rreshta. Epo, le të kuptojmë se cilat janë qoshet në rreshtin e parë? Të paktën në gradë, të paktën në radianë?
Po! Këto janë boshtet e sistemit të koordinatave! Nëse shikoni rrethin trigonometrik, atëherë anën lëvizëse të këndit me këto vlera përshtatet saktësisht në akset. Këto vlera duhet të dihen. Dhe vura re këndin prej 0 gradë (0 radian) për arsye të mirë. Dhe pastaj disa njerëz thjesht nuk mund ta gjejnë këtë kënd në një rreth... Dhe, në përputhje me rrethanat, ata ngatërrohen në funksionet trigonometrike të zeros... Një gjë tjetër është se pozicioni i anës lëvizëse në zero gradë përkon me pozicionin në 360°, kështu që ka gjithmonë rastësi në rrethin afër.
Në rreshtin e dytë ka edhe kënde të veçanta... Këto janë 30°, 45° dhe 60°. Dhe çfarë është kaq e veçantë për to? Asgje speciale. I vetmi ndryshim midis këtyre këndeve dhe të gjithë të tjerëve është se ju duhet të dini për këto kënde Të gjitha. Dhe ku ndodhen dhe çfarë funksionesh trigonometrike kanë këto kënde. Le të themi vlerën mëkat 100° nuk duhet ta dish. A mëkat45°-Të lutem bëhu kaq i sjellshëm! Kjo është njohuri e detyrueshme, pa të cilën nuk ka asgjë për të bërë në trigonometri... Por më shumë për këtë në mësimin e ardhshëm.
Ndërkohë, le të vazhdojmë stërvitjen. Shndërrojini këto kënde nga radian në shkallë:
Ju duhet të merrni rezultate si kjo (në rrëmujë):
210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.
Ka ndodhur? Atëherë mund të supozojmë se konvertimin e gradëve në radiane dhe mbrapa- nuk është më problemi juaj.) Por përkthimi i këndeve është hapi i parë për të kuptuar trigonometrinë. Atje duhet të punoni edhe me sinus dhe kosinus. Dhe me tangjente dhe kotangjente gjithashtu...
Hapi i dytë i fuqishëm është aftësia për të përcaktuar pozicionin e çdo këndi në një rreth trigonometrik. Si në gradë ashtu edhe në radiane. Unë do t'ju jap sugjerime të mërzitshme për këtë aftësi gjatë gjithë trigonometrisë, po...) Nëse dini gjithçka (ose mendoni se dini gjithçka) për rrethin trigonometrik dhe matjen e këndeve në rrethin trigonometrik, mund ta kontrolloni. Zgjidhini këto detyra të thjeshta:
1. Në cilin tremujor bien këndet:
45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?
Lehtësisht? Le te vazhdojme:
2. Në cilin tremujor bien këndet:
402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?
Nuk ka problem gjithashtu? Epo, shiko ...)
3. Ju mund t'i vendosni qoshet në katërshe:
a mundesh ti? Epo, ju jepni..)
4. Në cilin akse do të bjerë këndi:
dhe këndi:
A është edhe e lehtë? Hm...)
5. Në cilin tremujor bien këndet:
Dhe funksionoi!? Epo, atëherë vërtet nuk e di ...)
6. Përcaktoni se në cilin tremujor bien këndet:
1, 2, 3 dhe 20 radianë.
Unë do t'i përgjigjem vetëm pyetjes së fundit (është pak e ndërlikuar) e detyrës së fundit. Një kënd prej 20 radianësh do të bjerë në tremujorin e parë.
Nuk do t'i jap pjesën tjetër të përgjigjeve, jo nga lakmia.) Thjesht, nëse ju nuk kanë vendosur diçka ju dyshoni si rezultat, ose shpenzuar për detyrën nr. 4 më shumë se 10 sekonda, ju jeni të orientuar keq në një rreth. Ky do të jetë problemi juaj në të gjithë trigonometrinë. Është më mirë të heqësh qafe atë (problemin, jo trigonometrinë!) menjëherë. Kjo mund të bëhet në temën: Punë praktike me rrethin trigonometrik në seksionin 555.
Ai ju tregon se si t'i zgjidhni detyra të tilla thjesht dhe saktë. Epo, këto detyra janë zgjidhur, natyrisht. Dhe detyra e katërt u zgjidh në 10 sekonda. Po, është vendosur që çdokush mund ta bëjë këtë!
Nëse jeni absolutisht i sigurt në përgjigjet tuaja dhe nuk jeni të interesuar për mënyra të thjeshta dhe pa probleme për të punuar me radianët, nuk keni pse të vizitoni 555. Unë nuk insistoj.)
Një kuptim i mirë është një arsye mjaft e mirë për të ecur përpara!)
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)
Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")
Fillimisht, më lejoni t'ju kujtoj një përfundim të thjeshtë por shumë të dobishëm nga mësimi "Çfarë janë sinusi dhe kosinusi? Çfarë janë tangjentet dhe kotangjentet?"
Ky është dalja:
Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja janë të lidhura ngushtë me këndet e tyre. Ne dimë një gjë, që do të thotë se dimë një tjetër.
Me fjalë të tjera, çdo kënd ka sinusin dhe kosinusin e tij konstant. Dhe pothuajse të gjithë kanë tangjenten dhe kotangjenten e tyre. Pse pothuajse? Më shumë për këtë më poshtë.
Kjo njohuri ju ndihmon shumë në studimet tuaja! Ka shumë detyra ku duhet të kaloni nga sinuset në kënde dhe anasjelltas. Për këtë ka tabela e sinuseve. Në mënyrë të ngjashme, për detyrat me kosinus - tabelë kosinusi. Dhe, siç mund ta keni marrë me mend, ka tabelë tangjente Dhe tabela e kotangjenteve.)
Tabelat janë të ndryshme. Të gjata, ku mund të shihni se me çfarë është, të themi, sin37°6'. Hapim tabelat Bradis, kërkojmë një kënd prej tridhjetë e shtatë gradë gjashtë minuta dhe shohim vlerën 0.6032. Është e qartë se nuk ka absolutisht nevojë të mbani mend këtë numër (dhe mijëra vlera të tjera të tabelës).
Në fakt, në kohën tonë, tabelat e gjata të kosinuseve, sinuseve, tangjentave, kotangjenteve nuk janë vërtet të nevojshme. Një kalkulator i mirë i zëvendëson ato plotësisht. Por nuk është e dëmshme të dini për ekzistencën e tabelave të tilla. Për erudicionin e përgjithshëm.)
Dhe pse atëherë ky mësim?! - ju pyesni.
Por pse. Midis numrit të pafund të këndeve ka e veçantë, për të cilat duhet të dini Të gjitha. E gjithë gjeometria dhe trigonometria e shkollës janë ndërtuar mbi këto kënde. Kjo është një lloj "tabela e shumëzimit" të trigonometrisë. Nëse nuk e dini se me çfarë është mëkati50°, për shembull, askush nuk do t'ju gjykojë.) Por nëse nuk e dini se me çfarë është mëkati30°, përgatituni të merrni një dy të merituar...
Të tillë e veçantë Këndet janë gjithashtu mjaft të mira. Tekstet shkollore zakonisht ofrojnë me dashamirësi mësim përmendësh tabela sinusale dhe tabela e kosinusit për shtatëmbëdhjetë kënde. Sigurisht, tabela tangjente dhe tabela kotangjente për të njëjtat shtatëmbëdhjetë kënde... D.m.th. Propozohet të mbani mend 68 vlera. Të cilat, nga rruga, janë shumë të ngjashme me njëra-tjetrën, përsëriten herë pas here dhe ndryshojnë shenja. Për një person pa memorie vizuale të përsosur, kjo është një detyrë mjaft...)
Ne do të marrim një rrugë tjetër. Le ta zëvendësojmë memorizimin përmendësh me logjikën dhe zgjuarsinë. Atëherë do të duhet të mësojmë përmendësh 3 (tre!) vlera për tabelën e sinuseve dhe tabelën e kosinuseve. Dhe 3 (tre!) vlera për tabelën e tangjentëve dhe tabelën e kotangjentave. Kjo eshte e gjitha. Gjashtë vlera janë më të lehta për t'u mbajtur mend se 68, më duket ...)
Ne do të marrim të gjitha vlerat e tjera të nevojshme nga këto gjashtë duke përdorur një fletë mashtrimi të fuqishëm ligjor - rrethi trigonometrik. Nëse nuk e keni studiuar këtë temë, ndiqni lidhjen, mos u bëni dembel. Ky rreth nuk është i nevojshëm vetëm për këtë mësim. Ai është i pazëvendësueshëm për të gjitha trigonometritë në të njëjtën kohë. Mos përdorimi i një mjeti të tillë është thjesht një mëkat! Ju nuk doni? Kjo është biznesi juaj. Mësoni përmendësh tabela e sinuseve. Tabela e kosinuseve. Tabela e tangjentave. Tabela e kotangjenteve. Të gjitha 68 vlerat për një shumëllojshmëri këndesh.)
Pra, le të fillojmë. Së pari, le t'i ndajmë të gjitha këto kënde të veçanta në tre grupe.
Grupi i parë i këndeve.
Le të shqyrtojmë grupin e parë shtatëmbëdhjetë kënde e veçantë. Këto janë 5 kënde: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Ja si duket tabela e sinuseve, kosinuseve, tangjenteve dhe kotangjenteve për këto kënde:
Këndi x
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Këndi x
|
0 |
||||
mëkat x |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
cos x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg x |
0 |
emër |
0 |
emër |
0 |
ctg x |
emër |
0 |
emër |
0 |
emër |
Ata që duan të kujtojnë, mbani mend. Por unë do të them menjëherë se të gjitha këto njëshe dhe zero ngatërrohen shumë në kokë. Shumë më e fortë se sa dëshironi.) Prandaj, ne ndezim logjikën dhe rrethin trigonometrik.
Vizatojmë një rreth dhe shënojmë të njëjtat kënde mbi të: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. I shënova këto qoshe me pika të kuqe:
Është menjëherë e qartë se çfarë është e veçantë për këto kënde. Po! Këto janë këndet që bien pikërisht në boshtin koordinativ! Në fakt, kjo është arsyeja pse njerëzit ngatërrohen... Por ne nuk do të ngatërrohemi. Le të kuptojmë se si të gjejmë funksionet trigonometrike të këtyre këndeve pa shumë memorizim.
Nga rruga, pozicioni i këndit është 0 gradë përkon plotësisht me një pozicion këndi 360 gradë. Kjo do të thotë se sinuset, kosinuset dhe tangjentet e këtyre këndeve janë saktësisht të njëjta. Kam shënuar një kënd 360 gradë për të përfunduar rrethin.
Supozoni se në mjedisin e vështirë stresues të Provimit të Unifikuar të Shtetit, ju dyshoni disi... Cili është sinusi i 0 gradë? Duket si zero... Po sikur të jetë një?! Memorizimi mekanik është një gjë e tillë. Në kushte të vështira, dyshimet fillojnë të gërryen...)
Qetë, thjesht qetë!) Unë do t'ju tregoj një teknikë praktike që do t'ju japë një përgjigje 100% të saktë dhe do të heqë plotësisht të gjitha dyshimet.
Si shembull, le të kuptojmë se si të përcaktojmë qartë dhe me besueshmëri, të themi, sinusin prej 0 gradë. Dhe në të njëjtën kohë, kosinusi 0. Pikërisht në këto vlera, çuditërisht, njerëzit shpesh ngatërrohen.
Për ta bërë këtë, vizatoni një rreth arbitrare qoshe X. Në tremujorin e parë ishte afër 0 gradë. Le të shënojmë sinusin dhe kosinusin e këtij këndi në boshte X, cdo gje eshte ne rregull. Si kjo:
Dhe tani - vëmendje! Le të zvogëlojmë këndin X, afroni anën lëvizëse më afër boshtit Oh. Lëvizni kursorin mbi foto (ose prekni figurën në tablet) dhe do të shihni gjithçka.
Tani le të kalojmë në logjikën elementare! Le të shohim dhe të mendojmë: Si sillet sinx kur këndi x zvogëlohet? Ndërsa këndi i afrohet zeros? Po zvogëlohet! Dhe cosx rritet! Mbetet për të kuptuar se çfarë do të ndodhë me sinusin kur këndi të shembet plotësisht? Kur ana lëvizëse e këndit (pika A) vendoset në boshtin OX dhe këndi bëhet i barabartë me zero? Natyrisht, sinusi i këndit do të shkojë në zero. Dhe kosinusi do të rritet në... në... Sa është gjatësia e anës lëvizëse të këndit (rrezja e rrethit trigonometrik)? Një!
Këtu është përgjigja. Sinusi i 0 gradë është i barabartë me 0. Kosinusi i 0 gradë është i barabartë me 1. Absolutisht i hekurt dhe pa asnjë dyshim!) Thjesht sepse ndryshe nuk mund te jete.
Në të njëjtën mënyrë, ju mund të zbuloni (ose sqaroni) sinusin prej 270 gradë, për shembull. Ose kosinusi 180. Vizatoni një rreth, arbitrare një kënd në një të katërtën pranë boshtit koordinativ që na intereson, lëvizni mendërisht anën e këndit dhe kuptoni se çfarë do të bëhen sinusi dhe kosinusi kur ana e këndit bie mbi bosht. Kjo eshte e gjitha.
Siç mund ta shihni, nuk ka nevojë të mësoni përmendësh asgjë për këtë grup këndesh. Nuk nevojitet këtu tabela e sinuseve... po dhe tabelë kosinusi- gjithashtu.) Nga rruga, pas disa përdorimeve të rrethit trigonometrik, të gjitha këto vlera do të mbahen mend vetë. Dhe nëse harrojnë, unë vizatova një rreth në 5 sekonda dhe e sqarova. Shumë më e lehtë sesa të telefonosh një mik nga tualeti dhe të rrezikosh certifikatën tënde, apo jo?)
Sa i përket tangjentës dhe kotangjentës, gjithçka është e njëjtë. Ne vizatojmë një vijë tangjente (kotangjente) në rreth - dhe gjithçka është menjëherë e dukshme. Ku janë të barabarta me zero dhe ku nuk ekzistojnë. Çfarë, nuk dini për linjat tangjente dhe kotangjente? Kjo është e trishtueshme, por e rregullueshme.) Ne vizituam seksionin 555 Tangjentja dhe kotangjentja në rrethin trigonometrik - dhe nuk ka probleme!
Nëse keni kuptuar se si të përcaktoni qartë sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën për këto pesë kënde, urime! Për çdo rast, ju informoj se tani mund të përcaktoni funksionet çdo kënd që bie mbi boshtet. Dhe kjo është 450°, dhe 540°, dhe 1800°, dhe një numër i pafund të tjerash...) Kam numëruar (saktë!) këndin në rreth - dhe nuk ka probleme me funksionet.
Por është pikërisht me matjen e këndeve që shfaqen probleme dhe gabime... Si t'i shmangni ato shkruhet në mësim: Si të vizatoni (numëroni) çdo kënd në një rreth trigonometrik në gradë. Elementare, por shumë e dobishme në luftën kundër gabimeve.)
Ja një mësim: Si të vizatoni (matni) çdo kënd në një rreth trigonometrik në radianë - do të jetë më i ftohtë. Për sa i përket mundësive. Le të themi, të përcaktojmë se në cilin nga katër gjysmëboshtet bie këndi
ju mund ta bëni atë në disa sekonda. Unë nuk bëj shaka! Vetëm në disa sekonda. Epo, sigurisht, jo vetëm 345 pi...) Dhe 121, dhe 16, dhe -1345. Çdo koeficient i plotë është i përshtatshëm për një përgjigje të menjëhershme.
Dhe nëse këndi
Vetëm mendoni! Përgjigja e saktë merret për 10 sekonda.Për çdo vlerë thyesore të radianeve me një dy në emërues.
Në fakt, kjo është ajo që është e mirë për rrethin trigonometrik. Për shkak të aftësisë për të punuar me disa qoshet në të cilat zgjerohet automatikisht grup i pafund qoshet
Pra, ne kemi renditur pesë qoshe nga shtatëmbëdhjetë.
Grupi i dytë i këndeve.
Grupi tjetër i këndeve janë këndet 30°, 45° dhe 60°. Pse pikërisht këto, dhe jo, për shembull, 20, 50 dhe 80? Po, disi doli kështu... Historikisht.) Më tej do të shihet pse këto kënde janë të mira.
Tabela e sinuseve kosinus tangjentet kotangjente për këto kënde duket si kjo:
Këndi x
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
Këndi x
|
0 |
||||
mëkat x |
0 |
1 |
|||
cos x |
1 |
0 |
|||
tg x |
0 |
1 |
emër |
||
ctg x |
emër |
1 |
0 |
I lashë vlerat për 0° dhe 90° nga tabela e mëparshme për të plotësuar figurën.) Kështu që ju mund të shihni se këto kënde qëndrojnë në tremujorin e parë dhe rriten. Nga 0 në 90. Kjo do të jetë e dobishme për ne më vonë.
Vlerat e tabelës për këndet 30°, 45° dhe 60° duhet të mbahen mend. Mësoni përmendësh nëse dëshironi. Por edhe këtu ka një mundësi për ta bërë jetën tuaj më të lehtë.) Kushtojini vëmendje vlerat e tabelës sinus këto kënde. Dhe krahasoni me Vlerat e tabelës së kosinusit...
Po! Ata njëjtë! Sapo rregulluar në rend të kundërt. Këndet rriten (0, 30, 45, 60, 90) - dhe vlerat e sinusit rrit nga 0 në 1. Mund të kontrolloni me një kalkulator. Dhe vlerat kosinus janë janë në rënie nga 1 në zero. Për më tepër, vlerat e tyre njëjtë. Për këndet 20, 50, 80 kjo nuk do të funksiononte...
Ky është një përfundim i dobishëm. Mjaft për të mësuar tre vlerat për këndet 30, 45, 60 gradë. Dhe mbani mend se për sinusin rriten dhe për kosinusin zvogëlohen. Drejt sinusit.) Ata takohen në gjysmë të rrugës (45°), domethënë, sinusi 45 gradë është i barabartë me kosinusin 45 gradë. Dhe pastaj ato ndryshojnë përsëri... Tre kuptime mund të mësohen, apo jo?
Me tangjente - kotangjente, fotografia është saktësisht e njëjtë. Nje pas nje. Vetëm kuptimet janë të ndryshme. Këto vlera (tre të tjera!) gjithashtu duhet të mësohen.
Epo, pothuajse i gjithë memorizimi ka mbaruar. Ju keni kuptuar (shpresojmë) se si të përcaktoni vlerat për pesë këndet që bien në bosht dhe keni mësuar vlerat për këndet 30, 45, 60 gradë. Gjithsej 8.
Mbetet të merremi me grupin e fundit prej 9 këndesh.
Këto janë këndet:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Për këto kënde duhet të dini tabelën e sinuseve, tabelën e kosinuseve etj.
Makth, apo jo?)
Dhe nëse shtoni kënde këtu, si p.sh.: 405°, 600° ose 3000° dhe shumë e shumë kënde po aq të bukura?)
Apo kënde në radianë? Për shembull, në lidhje me këndet:
dhe shumë të tjera që duhet të dini Të gjitha.
Gjëja më qesharake është ta dish këtë Të gjitha - e pamundur në parim. Nëse përdorni memorie mekanike.
Dhe është shumë e lehtë, në fakt elementare - nëse përdorni një rreth trigonometrik. Sapo të filloni të punoni me rrethin trigonometrik, të gjitha ato kënde të frikshme në shkallë mund të reduktohen lehtësisht dhe elegante në ato të modës së vjetër:
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)
Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
TABELA E VLERAVE TË FUNKSIONET TRIGONOMETRIKE
Tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike është përpiluar për këndet 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 dhe 360 gradë dhe vlerat përkatëse të këndeve në vradiane. Nga funksionet trigonometrike, tabela tregon sinusin, kosinusin, tangjentën, kotangjentin, sekantin dhe kosekantin. Për lehtësinë e zgjidhjes së shembujve shkollorë, vlerat e funksioneve trigonometrike në tabelë shkruhen në formën e një thyese duke ruajtur shenjat për nxjerrjen e rrënjës katrore të numrave, gjë që shumë shpesh ndihmon në reduktimin e shprehjeve komplekse matematikore. Për tangjenten dhe kotangjenten, vlerat e disa këndeve nuk mund të përcaktohen. Për vlerat e tangjentës dhe të kotangjentës së këndeve të tilla, ka një vizë në tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrike. Në përgjithësi pranohet se tangjentja dhe kotangjentja e këndeve të tilla është e barabartë me pafundësinë. Në një faqe të veçantë ka formula për reduktimin e funksioneve trigonometrike.
Tabela e vlerave për funksionin e sinusit trigonometrik tregon vlerat për këndet e mëposhtme: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 në gradë, që korrespondon me sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi në masën radiane të këndeve. Tabela shkollore e sinuseve.
Për funksionin kosinus trigonometrik, tabela tregon vlerat për këndet e mëposhtme: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 në gradë, që korrespondon me cos 0 pi , cos pi me 6, cos pi me 4, cos pi me 3, cos pi me 2, cos pi, cos 3 pi me 2, cos 2 pi në masën radiane të këndeve. Tabela shkollore e kosinusit.
Tabela trigonometrike për funksionin tangjent trigonometrik jep vlera për këndet e mëposhtme: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 në masë, që korrespondon me tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi në masën radiane të këndeve. Vlerat e mëposhtme të funksioneve tangjente trigonometrike nuk janë të përcaktuara tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 dhe konsiderohen të barabarta me pafundësi.
Për funksionin trigonometrik kotangjent në tabelën trigonometrike janë dhënë vlerat e këndeve të mëposhtme: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 në masën e shkallës, që i përgjigjet ctg pi/6, ctg pi/4. , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 në masën radiane të këndeve. Vlerat e mëposhtme të funksioneve kotangjente trigonometrike nuk janë të përcaktuara ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi dhe konsiderohen të barabarta me pafundësi.
Vlerat e funksioneve trigonometrike sekant dhe kosekant janë dhënë për të njëjtat kënde në gradë dhe radiane si sinusi, kosinusi, tangjentja, kotangjentja.
Tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike të këndeve jo standarde tregon vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentit për këndet në shkallët 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 gradë dhe në radian pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radian. Vlerat e funksioneve trigonometrike shprehen në terma të thyesave dhe rrënjëve katrore për ta bërë më të lehtë reduktimin e thyesave në shembujt e shkollës.
Tre përbindësha të tjera trigonometrike. E para është tangjentja prej 1,5 një gradë e gjysmë ose pi e ndarë me 120. E dyta është kosinusi i pi i pjesëtuar me 240, pi/240. Më i gjati është kosinusi i pi i ndarë me 17, pi/17.
Rrethi trigonometrik i vlerave të funksioneve sinus dhe kosinus përfaqëson vizualisht shenjat e sinusit dhe kosinusit në varësi të madhësisë së këndit. Sidomos për biondet, vlerat e kosinusit nënvizohen me një vizë të gjelbër për të reduktuar konfuzionin. Shndërrimi i shkallëve në radiane paraqitet gjithashtu shumë qartë kur radianët shprehen në terma pi.
Kjo tabelë trigonometrike paraqet vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës për këndet nga 0 zero deri në 90 nëntëdhjetë gradë në intervale një shkallë. Për dyzet e pesë shkallët e para, emrat e funksioneve trigonometrike duhet të shihen në krye të tabelës. Kolona e parë përmban shkallë, vlerat e sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe kotangjentave janë shkruar në katër kolonat e ardhshme.
Për këndet nga dyzet e pesë gradë deri në nëntëdhjetë gradë, emrat e funksioneve trigonometrike shkruhen në fund të tabelës. Kolona e fundit përmban gradë; vlerat e kosinuseve, sinuseve, kotangjenteve dhe tangjentave janë shkruar në katër kolonat e mëparshme. Duhet të keni kujdes sepse emrat e funksioneve trigonometrike në fund të tabelës trigonometrike janë të ndryshëm nga emrat në krye të tabelës. Sinuset dhe kosinuset ndërrohen, ashtu si tangjentja dhe kotangjentja. Kjo është për shkak të simetrisë së vlerave të funksioneve trigonometrike.
Shenjat e funksioneve trigonometrike janë paraqitur në figurën e mësipërme. Sinusi ka vlera pozitive nga 0 në 180 gradë, ose 0 në pi. Sinusi ka vlera negative nga 180 në 360 gradë ose nga pi në 2 pi. Vlerat e kosinusit janë pozitive nga 0 në 90 dhe 270 në 360 gradë, ose 0 në 1/2 pi dhe 3/2 në 2 pi. Tangjentja dhe kotangjentja kanë vlera pozitive nga 0 në 90 gradë dhe nga 180 në 270 gradë, që korrespondojnë me vlerat nga 0 në 1/2 pi dhe pi deri në 3/2 pi. Vlerat negative të tangjentës dhe kotangjentës janë nga 90 në 180 gradë dhe nga 270 në 360 gradë, ose nga 1/2 pi në pi dhe nga 3/2 pi në 2 pi. Kur përcaktoni shenjat e funksioneve trigonometrike për kënde më të mëdha se 360 gradë ose 2 pi, duhet të përdorni vetitë e periodicitetit të këtyre funksioneve.
Funksionet trigonometrike sinus, tangjente dhe kotangjente janë funksione tek. Vlerat e këtyre funksioneve për kënde negative do të jenë negative. Kosinusi është një funksion trigonometrik i barabartë - vlera e kosinusit për një kënd negativ do të jetë pozitive. Rregullat e shenjave duhet të respektohen gjatë shumëzimit dhe pjesëtimit të funksioneve trigonometrike.
Tabela e vlerave për funksionin e sinusit trigonometrik tregon vlerat për këndet e mëposhtme
DokumentiKa formula reduktimi në një faqe të veçantë trigonometrikefunksione. NË tabelavleratPërtrigonometrikefunksionesinusitdhënëvleratPërnë vijimqoshet: mëkati 0, mëkati 30, mëkati 45 ...
Aparati matematikor i propozuar është një analog i plotë i llogaritjes komplekse për numrat hiperkompleks n-dimensionale me çdo numër të shkallëve të lirisë n dhe është menduar për modelimin matematikor jolinear.
Dokumenti... funksione barazohet funksione Imazhet. Nga kjo teoremë duhet, Çfarë Për duke gjetur koordinatat U, V, mjafton të llogarisim funksionin... gjeometria; polinar funksione(analoge shumëdimensionale të dydimensionale trigonometrikefunksione), vetitë e tyre, tabelat dhe aplikimi; ...
-
