Një trekëndësh kënddrejtë gjendet në realitet pothuajse në çdo cep. Njohja e vetive të një figure të caktuar, si dhe aftësia për të llogaritur sipërfaqen e saj, padyshim që do të jetë e dobishme për ju jo vetëm për zgjidhjen e problemeve të gjeometrisë, por edhe në situata të jetës.
Gjeometria e trekëndëshit
Në gjeometrinë elementare, një trekëndësh kënddrejtë është një figurë që përbëhet nga tre segmente të lidhura që formojnë tre kënde (dy akute dhe një i drejtë). Trekëndëshi kënddrejtë është një figurë origjinale e karakterizuar nga një numër karakteristikash të rëndësishme që formojnë themelin e trigonometrisë. Ndryshe nga një trekëndësh i rregullt, anët e një figure drejtkëndore kanë emrat e tyre:
- Hipotenuza është ana më e gjatë e një trekëndëshi, përballë këndit të drejtë.
- Këmbët janë segmente që formojnë një kënd të drejtë. Në varësi të këndit në shqyrtim, këmba mund të jetë ngjitur me të (duke formuar këtë kënd me hipotenuzën) ose përballë (shtrirë përballë këndit). Për trekëndëshat jo të drejtë nuk ka këmbë.
Është raporti i këmbëve dhe hipotenuzës që përbën bazën e trigonometrisë: sinuset, tangjentet dhe sekantet përcaktohen si raporti i brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.
Trekëndëshi kënddrejtë në realitet
Kjo shifër është bërë e përhapur në realitet. Trekëndëshat përdoren në dizajn dhe teknologji, kështu që llogaritja e sipërfaqes së një figure duhet të bëhet nga inxhinierë, arkitektë dhe projektues. Bazat e tetraedroneve ose prizmave - figura tredimensionale që janë të lehta për t'u takuar në jetën e përditshme - kanë formën e një trekëndëshi. Për më tepër, një katror është paraqitja më e thjeshtë e një trekëndëshi kënddrejtë "të sheshtë" në realitet. Sheshi është një mjet për përpunimin e metaleve, vizatimit, ndërtimit dhe zdrukthtarisë që përdoret për të ndërtuar kënde si nga nxënësit e shkollës ashtu edhe nga inxhinierët.
Sipërfaqja e një trekëndëshi
Sipërfaqja e një figure gjeometrike është një vlerësim sasior se sa pjesë e rrafshit kufizohet nga anët e trekëndëshit. Zona e një trekëndëshi të zakonshëm mund të gjendet në pesë mënyra, duke përdorur formulën e Heronit ose duke përdorur ndryshore të tilla si baza, ana, këndi dhe rrezja e rrethit të brendashkruar ose të rrethuar. Formula më e thjeshtë për sipërfaqen shprehet si:
ku a është brinja e trekëndëshit, h është lartësia e tij.
Formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë është edhe më e thjeshtë:
ku a dhe b janë këmbët.
Duke punuar me kalkulatorin tonë në internet, mund të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi duke përdorur tre palë parametra:
- dy këmbë;
- këmba dhe këndi ngjitur;
- këmbën dhe këndin e kundërt.
Në problemet ose situatat e përditshme do t'ju jepen kombinime të ndryshme variablash, kështu që kjo formë e kalkulatorit ju lejon të llogaritni sipërfaqen e një trekëndëshi në disa mënyra. Le të shohim disa shembuj.
Shembuj të jetës reale
Pllakë qeramike
Le të themi se dëshironi të mbuloni muret e kuzhinës me pllaka qeramike, të cilat kanë formën e një trekëndëshi kënddrejtë. Për të përcaktuar konsumin e pllakave, duhet të zbuloni sipërfaqen e një elementi të veshjes dhe sipërfaqen totale të sipërfaqes që trajtohet. Le të themi se ju duhet të përpunoni 7 metra katrorë. Gjatësia e këmbëve të një elementi është 19 cm, atëherë sipërfaqja e pllakës do të jetë e barabartë me:
Kjo do të thotë që sipërfaqja e një elementi është 24.5 centimetra katrorë ose 0.01805 metra katrorë. Duke ditur këto parametra, mund të llogarisni se për të përfunduar 7 metra katror mur do t'ju nevojiten 7/0.01805 = 387 elementë të pllakave të përballimit.
Detyrë shkollore
Le të themi se në një problem të gjeometrisë shkollore ju duhet të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë, duke ditur vetëm se ana e njërës këmbë është 5 cm dhe këndi i kundërt është 30 gradë. Llogaritësi ynë online vjen me një ilustrim që tregon brinjët dhe këndet e një trekëndëshi kënddrejtë. Nëse ana a = 5 cm, atëherë këndi i kundërt i saj është këndi alfa, i barabartë me 30 gradë. Futni këto të dhëna në formularin e kalkulatorit dhe merrni rezultatin:
Kështu, kalkulatori jo vetëm që llogarit sipërfaqen e një trekëndëshi të caktuar, por gjithashtu përcakton gjatësinë e këmbës ngjitur dhe hipotenuzës, si dhe vlerën e këndit të dytë.
konkluzioni
Trekëndëshat kënddrejtë gjenden në jetën tonë fjalë për fjalë në çdo cep. Përcaktimi i zonës së figurave të tilla do të jetë i dobishëm për ju jo vetëm kur zgjidhni detyra shkollore në gjeometri, por edhe në aktivitetet e përditshme dhe profesionale.
Në varësi të llojit të trekëndëshit, ekzistojnë disa mundësi për të gjetur zonën e tij. Për shembull, për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë, përdorni formulën S= a * b / 2, ku a dhe b janë këmbët e tij. Nëse dëshironi të zbuloni sipërfaqen e një trekëndëshi izosceles, atëherë duhet të ndani produktin e bazës dhe lartësisë së tij me dy. Kjo do të thotë, S= b*h / 2, ku b është baza e trekëndëshit dhe h është lartësia e tij.
Më pas, mund t'ju duhet të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë izoscelular. Këtu vjen në shpëtim formula e mëposhtme: S = a* a / 2, ku këmbët "a" dhe "a" duhet të kenë domosdoshmërisht të njëjtat vlera.
Gjithashtu, shpesh duhet të llogarisim sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës. Gjendet me formulën: S= a * h/ 2, ku a është brinja e trekëndëshit dhe h është lartësia e tij. Ose sipas kësaj formule: S= √3/ 4 *a^2, ku a është ana.
Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë
A keni nevojë të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë, por deklarata e problemit nuk tregon dimensionet e dy këmbëve të tij menjëherë? Atëherë nuk mund ta përdorim drejtpërdrejt këtë formulë (S= a * b / 2).
Le të shqyrtojmë disa zgjidhje të mundshme:
- Nëse nuk e dini gjatësinë e njërës këmbë, por janë dhënë dimensionet e hipotenuzës dhe këmbës së dytë, atëherë i drejtohemi Pitagorës së madhe dhe, duke përdorur teoremën e tij (a^2+b^2=c^2), ne llogarisim gjatësinë e këmbës së panjohur, pastaj e përdorim atë për të llogaritur sipërfaqen e trekëndëshit.
- Nëse jepet gjatësia e njërës këmbë dhe pjerrësia e shkallës së këndit përballë saj: gjatësinë e këmbës së dytë e gjejmë duke përdorur formulën - a=b*ctg(C).
- Jepet: gjatësia e njërës këmbë dhe pjerrësia e shkallës së këndit ngjitur me të: për të gjetur gjatësinë e këmbës së dytë, përdorim formulën - a=b*tg(C).
- Dhe së fundi, jepet: këndi dhe gjatësia e hipotenuzës: ne llogarisim gjatësinë e të dy këmbëve të saj duke përdorur formulat e mëposhtme - b=c*sin(C) dhe a=c*cos(C).
Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi dykëndësh
Zona e një trekëndëshi dykëndësh mund të gjendet shumë lehtë dhe shpejt duke përdorur formulën S= b*h / 2, por nëse një nga treguesit mungon, detyra bëhet shumë më e ndërlikuar. Në fund të fundit, është e nevojshme të kryhen veprime shtesë.
Opsionet e mundshme të detyrave:
- Jepet: gjatësia e njërës anë dhe gjatësia e bazës. Duke përdorur teoremën e Pitagorës, gjejmë lartësinë, domethënë gjatësinë e këmbës së dytë. Me kusht që gjatësia e bazës e ndarë me dy të jetë këmba, dhe ana e njohur fillimisht është hipotenuza.
- Jepet: baza dhe këndi ndërmjet anës dhe bazës. Ne llogarisim lartësinë duke përdorur formulën h=c*ctg(B)/2 (mos harroni të ndani anën “c” me dy).
- Jepet: lartësia dhe këndi që është formuar nga baza dhe brinja: përdorim formulën c=h*tg(B)*2 për të gjetur lartësinë dhe rezultatin e shumëzojmë me dy. Më pas llogarisim sipërfaqen.
- E njohur: gjatësia e anës dhe këndi i formuar ndërmjet saj dhe lartësisë. Zgjidhje: përdorim formulat - c=a*sin(C)*2 dhe h=a*cos(C) për të gjetur bazën dhe lartësinë, pas së cilës llogarisim sipërfaqen.
Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi dykëndësh kënddrejtë
Nëse të gjitha të dhënat janë të njohura, atëherë duke përdorur formulën standarde S= a* a / 2 ne llogarisim sipërfaqen e një trekëndëshi dykëndësh të drejtë, por nëse disa tregues nuk tregohen në problem, atëherë kryhen veprime shtesë.
Për shembull: nuk i dimë gjatësitë e të dy brinjëve (kujtojmë se në një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh janë të barabartë), por është dhënë gjatësia e hipotenuzës. Le të zbatojmë teoremën e Pitagorës për të gjetur të njëjtat brinjë "a" dhe "a". Formula e Pitagorës: a^2+b^2=c^2. Në rastin e një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh, ai shndërrohet në këtë: 2a^2 = c^2. Rezulton se për të gjetur këmbën "a", duhet të ndani gjatësinë e hipotenuzës me rrënjën e 2. Rezultati i zgjidhjes do të jetë gjatësia e të dy këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë izosceles. Më pas gjejmë zonën.
Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës
Duke përdorur formulën S= √3/ 4*a^2, lehtë mund të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës. Nëse dihet rrezja e rrethit të rrethuar të trekëndëshit, atëherë zona mund të gjendet duke përdorur formulën: S= 3√3/ 4*R^2, ku R është rrezja e rrethit.
Në gjeometrinë elementare, një trekëndësh kënddrejtë është një figurë e përbërë nga tre segmente të lidhura në pika, me kënde dy prej të cilave janë akute dhe një i drejtë (d.m.th., i barabartë me 90°). Trekëndësh kënddrejtë karakterizohet nga një numër karakteristikash të rëndësishme, shumë prej të cilave përbëjnë bazën e trigonometrisë (për shembull, marrëdhënia midis anëve dhe këndeve të saj). Që në shkollë, të gjithë dimë të llogarisim zona e një trekëndëshi kënddrejtë, dhe në jetën e përditshme e hasim mjaft shpesh këtë figurë gjeometrike, ndonjëherë edhe pa e vënë re. Ajo gjen aplikim mjaft të gjerë në teknologji dhe për këtë arsye inxhinierët, projektuesit dhe arkitektët shpesh duhet të zgjidhin një problem të tillë.
Arkitektët duhet ta përcaktojnë këtë vlerë kur projektojnë ndërtesa me pedimente, të cilat janë përfundimi i fasadave dhe kanë formë trekëndore i kufizuar nga një qoshe dhe nga anët me shpate çatie. Shpesh këndi ndërmjet shpateve është i drejtë dhe në raste të tilla pedimenti ka formën e një trekëndëshi kënddrejtë. Është e nevojshme të përcaktohet zona e saj për arsyen e thjeshtë se është e nevojshme të dihet saktësisht sasia e materialit ndërtimor që kërkohet për rregullimin e tij. Duhet të theksohet se gablet janë elementë të detyrueshëm të ndërtesave të ulëta (shtëpi të fshatit, vila, dacha).
Gjetja e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë
| S | ab |
a- këmbën
b- këmbën
S- zona e një trekëndëshi kënddrejtë
Forma trekëndësh kënddrejtë kanë shumë nga detajet nga të cilat janë bërë mobilje moderne. Siç e dini, për të shfrytëzuar sa më efikas hapësirën e dhomës, duhet të vendosen në të në mënyrë optimale të gjithë elementët e arredimit. Ju mund të përdorni mirë zona të tilla si qoshet duke përdorur tavolina në formë trekëndore, majat e të cilave në shumicën e rasteve janë trekëndësha kënddrejtë me këmbë ngjitur me muret. Gjatë projektimit dhe llogaritjes së këtyre elementeve, projektuesit e prodhimit të mobiljeve përdorin formulën sipas së cilës gjetja e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë kryhet në bazë të gjatësisë së anëve të saj. Përveç kësaj, ata shpesh duhet të zhvillojnë dizajne për tavolina të ngjitura drejtpërdrejt në mure, të cilat përfshijnë elemente mbështetëse, të cilat gjithashtu përfaqësojnë trekëndëshat kënddrejtë.
Ndërtuesit e angazhuar në punë ballore shpesh në aktivitetet e tyre profesionale duhet të përdorin pllaka qeramike në formën e një trekëndëshi kënddrejtë me këmbë me gjatësi të njëjta ose të ndryshme. Ata gjithashtu duhet të përcaktojnë zonën e këtyre elementeve për të gjetur numrin e kërkuar.
Forma trekëndësh kënddrejtë Ai gjithashtu ka një mjet matës kaq të rëndësishëm dhe të nevojshëm si një katror. Përdoret për të ndërtuar dhe kontrolluar kënde të drejta, dhe përdoret shumë gjerësisht dhe nga shumë njerëz: nga nxënësit e zakonshëm të shkollës në mësimet e gjeometrisë deri tek projektuesit e teknologjisë më të fundit.
Siç mund ta mbani mend nga kurrikula juaj e gjeometrisë së shkollës, një trekëndësh është një figurë e formuar nga tre segmente të lidhura nga tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Një trekëndësh formon tre kënde, prandaj emri i figurës. Përkufizimi mund të jetë i ndryshëm. Një trekëndësh mund të quhet edhe shumëkëndësh me tre kënde, përgjigja gjithashtu do të jetë e saktë. Trekëndëshat ndahen sipas numrit të brinjëve të barabarta dhe madhësisë së këndeve në figura. Kështu, trekëndëshat dallohen përkatësisht si dykëndësh, barabrinjës dhe skalenë, si dhe drejtkëndësh, akute dhe të trashë.
Ka shumë formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi. Zgjidhni si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi, d.m.th. Cila formulë të përdorni varet nga ju. Por vlen të përmendet vetëm disa nga shënimet që përdoren në shumë formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi. Pra, mbani mend:
S është zona e trekëndëshit,
a, b, c janë brinjët e trekëndëshit,
h është lartësia e trekëndëshit,
R është rrezja e rrethit të rrethuar,
p është gjysmëperimetri.
Këtu janë shënimet bazë që mund të jenë të dobishme për ju nëse e keni harruar plotësisht kursin tuaj të gjeometrisë. Më poshtë janë opsionet më të kuptueshme dhe të pakomplikuara për llogaritjen e zonës së panjohur dhe misterioze të një trekëndëshi. Nuk është e vështirë dhe do të jetë e dobishme si për nevojat tuaja shtëpiake ashtu edhe për të ndihmuar fëmijët tuaj. Le të kujtojmë se si të llogarisim sipërfaqen e një trekëndëshi sa më lehtë që të jetë e mundur:
Në rastin tonë, sipërfaqja e trekëndëshit është: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm katrore. Mos harroni se sipërfaqja matet në centimetra katrorë (cm katror).
Trekëndëshi kënddrejtë dhe sipërfaqja e tij.
Një trekëndësh kënddrejtë është një trekëndësh në të cilin një kënd është i barabartë me 90 gradë (prandaj quhet i drejtë). Një kënd i drejtë formohet nga dy vija pingule (në rastin e një trekëndëshi, dy segmente pingul). Në një trekëndësh kënddrejtë mund të ketë vetëm një kënd të drejtë, sepse... shuma e të gjitha këndeve të çdo trekëndëshi është e barabartë me 180 gradë. Rezulton se 2 kënde të tjera duhet të ndajnë 90 gradët e mbetura, për shembull 70 dhe 20, 45 dhe 45, etj. Pra, ju mbani mend gjënë kryesore, gjithçka që mbetet është të zbuloni se si të gjeni zonën e një trekëndëshi kënddrejtë. Le të imagjinojmë se kemi një trekëndësh të tillë kënddrejtë përpara dhe duhet të gjejmë zonën e tij S.
1. Mënyra më e thjeshtë për të përcaktuar sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:
Në rastin tonë, sipërfaqja e trekëndëshit kënddrejtë është: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.
Në parim, nuk ka më nevojë të verifikohet zona e trekëndëshit në mënyra të tjera, sepse Vetëm kjo do të jetë e dobishme dhe do të ndihmojë në jetën e përditshme. Por ka edhe mundësi për matjen e zonës së një trekëndëshi përmes këndeve akute.
2. Për metodat e tjera të llogaritjes, duhet të keni një tabelë të kosinuseve, sinuseve dhe tangjenteve. Gjykoni vetë, këtu janë disa opsione për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë që mund të përdoret akoma:
Vendosëm të përdorim formulën e parë dhe me disa njolla të vogla (e vizatuam në një fletore dhe përdorëm një vizore dhe raportues të vjetër), por morëm llogaritjen e saktë:
S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Ne morëm rezultatet e mëposhtme: 3.6=3.7, por duke marrë parasysh zhvendosjen e qelizave, mund ta falim këtë nuancë.
Trekëndëshi dykëndësh dhe sipërfaqja e tij.
Nëse jeni përballur me detyrën e llogaritjes së formulës për një trekëndësh dykëndësh, atëherë mënyra më e lehtë është të përdorni formulën kryesore dhe atë që konsiderohet të jetë formula klasike për sipërfaqen e një trekëndëshi.
Por së pari, përpara se të gjejmë sipërfaqen e një trekëndëshi izosceles, le të zbulojmë se çfarë lloj figure është kjo. Një trekëndësh dykëndësh është një trekëndësh në të cilin dy brinjë kanë të njëjtën gjatësi. Këto dy anë quhen anësore, ana e tretë quhet bazë. Mos e ngatërroni një trekëndësh dykëndësh me një trekëndësh barabrinjës, d.m.th. një trekëndësh i rregullt me të tri brinjët të barabarta. Në një trekëndësh të tillë nuk ka prirje të veçanta për këndet, ose më mirë për madhësinë e tyre. Megjithatë, këndet në bazën në një trekëndësh izoscelorë janë të barabartë, por të ndryshëm nga këndi midis brinjëve të barabarta. Pra, ju tashmë e dini formulën e parë dhe kryesore, mbetet të zbuloni se cilat formula të tjera për përcaktimin e sipërfaqes së një trekëndëshi izosceles janë të njohura.
Një trekëndësh është një figurë gjeometrike e sheshtë me një kënd të barabartë me 90°. Për më tepër, në gjeometri shpesh është e nevojshme të llogaritet zona e një figure të tillë. Ne do t'ju tregojmë se si ta bëni këtë më tej.
Formula më e thjeshtë për përcaktimin e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë
Të dhënat fillestare, ku: a dhe b janë brinjët e trekëndëshit që shtrihen nga këndi i drejtë.
Kjo do të thotë, zona është e barabartë me gjysmën e produktit të dy anëve që shtrihen nga këndi i duhur. Sigurisht, ekziston formula e Heronit që përdoret për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt, por për të përcaktuar vlerën duhet të dini gjatësinë e tre anëve. Prandaj, do të duhet të llogarisni hipotenuzën, dhe kjo është kohë shtesë.
Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë duke përdorur formulën e Heronit
Kjo është një formulë e njohur dhe origjinale, por për këtë do të duhet të llogarisni hipotenuzën në dy këmbë duke përdorur teoremën e Pitagorës.
Në këtë formulë: a, b, c janë brinjët e trekëndëshit dhe p është gjysmëperimetri.
Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë duke përdorur hipotenuzën dhe këndin
Nëse asnjë nga këmbët nuk njihet në problemin tuaj, atëherë nuk do të jeni në gjendje të përdorni metodën më të thjeshtë. Për të përcaktuar vlerën, duhet të llogaritni gjatësinë e këmbëve. Kjo mund të bëhet thjesht duke përdorur hipotenuzën dhe kosinusin e këndit ngjitur.
b=c×cos(α)
Pasi të dini gjatësinë e njërës prej këmbëve, duke përdorur teoremën e Pitagorës mund të llogarisni anën e dytë që del nga këndi i duhur.
b 2 =c 2 -a 2
Në këtë formulë, c dhe a janë përkatësisht hipotenuza dhe këmbë. Tani mund të llogarisni zonën duke përdorur formulën e parë. Në të njëjtën mënyrë, ju mund të llogaritni njërën nga këmbët, duke pasur parasysh të dytën dhe këndin. Në këtë rast, një nga anët e kërkuara do të jetë e barabartë me produktin e këmbës dhe tangjentën e këndit. Ka mënyra të tjera për të llogaritur sipërfaqen, por duke ditur teoremat dhe rregullat bazë, mund të gjeni lehtësisht vlerën e dëshiruar.
Nëse nuk keni asnjë nga brinjët e trekëndëshit, por vetëm mesataren dhe një nga këndet, atëherë mund të llogarisni gjatësinë e brinjëve. Për ta bërë këtë, përdorni vetitë e mesatares për të ndarë një trekëndësh kënddrejtë në dysh. Prandaj, mund të veprojë si hipotenuzë nëse del nga një kënd akut. Përdorni teoremën e Pitagorës dhe përcaktoni gjatësinë e brinjëve të trekëndëshit që vijnë nga këndi i duhur.
Siç mund ta shihni, duke ditur formulat bazë dhe teoremën e Pitagorës, mund të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë, duke pasur vetëm një nga këndet dhe gjatësinë e njërës prej anëve.
