V článku úplne pochopíme, ako to vyzerá tabuľka goniometrických hodnôt, sínus, kosínus, tangens a kotangens. Uvažujme o základnom význame goniometrických funkcií, z uhla 0,30,45,60,90,...,360 stupňov. A pozrime sa, ako použiť tieto tabuľky pri výpočte hodnôt goniometrických funkcií.
Najprv sa pozrime na tabuľka kosínus, sínus, tangens a kotangens z uhla 0, 30, 45, 60, 90,... stupňov. Definícia týchto veličín nám umožňuje určiť hodnotu funkcií uhlov 0 a 90 stupňov:
sin 0 0 = 0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, kotangens od 00 bude nedefinovaný
sin 90 0 = 1, cos 90 0 = 0, ctg90 0 = 0, dotyčnica od 90 0 bude neistá
Ak vezmete pravouhlé trojuholníky, ktorých uhly sú od 30 do 90 stupňov. Dostaneme:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
hriech 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, detská postieľka 60 0 = √3/3
Predstavme si všetky získané hodnoty vo formulári trigonometrická tabuľka:
Tabuľka sínusov, kosínusov, tangens a kotangens!
Ak použijeme redukčný vzorec, naša tabuľka sa zvýši a pridá hodnoty pre uhly až do 360 stupňov. Bude to vyzerať takto:
Na základe vlastností periodicity je možné tabuľku zväčšiť, ak uhly nahradíme 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, kde z je celé číslo. V tejto tabuľke je možné vypočítať hodnotu všetkých uhlov zodpovedajúcich bodom v jednom kruhu.
Pozrime sa, ako použiť tabuľku v riešení.
Všetko je veľmi jednoduché. Keďže hodnota, ktorú potrebujeme, leží v priesečníku buniek, ktoré potrebujeme. Napríklad, vezmite cos uhla 60 stupňov, v tabuľke to bude vyzerať takto:
V záverečnej tabuľke hlavných hodnôt goniometrických funkcií postupujeme rovnakým spôsobom. Ale v tejto tabuľke je možné zistiť, koľko je dotyčnica z uhla 1020 stupňov, to = -√3 Skontrolujeme 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Nájdite to pomocou tabuľky.
Bradisov stôl. Pre sínus, kosínus, tangens a kotangens.
Bradisove tabuľky sú rozdelené na niekoľko častí, ktoré pozostávajú z tabuliek kosínusu a sínusu, tangenty a kotangensu - ktorá je rozdelená na dve časti (tg uhlov do 90 stupňov a ctg malých uhlov).
Sínus a kosínus
tg uhla začínajúce od 00 končiace 760, ctg uhla začínajúce 140 končiace 900.
tg do 900 a ctg malých uhlov.
Poďme zistiť, ako používať Bradisove tabuľky pri riešení problémov.
Nájdeme označenie sin (označenie v stĺpci na ľavom okraji) 42 minút (označenie je v hornom riadku). Priesečníkom hľadáme označenie, to = 0,3040.
Minútové hodnoty sú uvedené s intervalom šiestich minút, čo robiť, ak požadovaná hodnota spadá presne do tohto intervalu. Zoberme si 44 minút, ale v tabuľke je ich len 42. Zoberieme 42 ako základ a použijeme ďalšie stĺpce na pravej strane, vezmeme 2. dodatok a pridáme k 0,3040 + 0,0006 dostaneme 0,3046.
Pri hriechu 47 minútach berieme ako základ 48 minút a odpočítame od nich 1 korekciu, t.j. 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
Pri výpočte cos pracujeme podobne ako hriech, len za základ berieme spodný riadok tabuľky. Napríklad cos 20 0 = 0,9397
Hodnoty uhla tg do 900 a cot malého uhla sú správne a nie sú v nich žiadne korekcie. Nájdite napríklad tg 78 0 37 min = 4,967 
a ctg20013 min = 25,83 
Nuž, pozreli sme sa na základné trigonometrické tabuľky. Dúfame, že tieto informácie boli pre vás mimoriadne užitočné. Ak máte nejaké otázky ohľadom stolov, určite ich napíšte do komentárov!
Poznámka: Nástenné nárazníky sú nárazníkové dosky na ochranu stien. Kliknite na odkaz bezrámové nástenné nárazníky (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) a zistite viac.
Miera stupňa uhla. Radiánová miera uhla. Prevod stupňov na radiány a naopak.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
V predchádzajúcej lekcii sme sa naučili merať uhly na trigonometrickom kruhu. Naučte sa počítať pozitívne a negatívne uhly. Naučili sme sa nakresliť uhol väčší ako 360 stupňov. Je čas prísť na to, ako merať uhly. Najmä s číslom „Pi“, ktoré sa nás snaží zmiasť v záludných úlohách, áno...
Štandardné úlohy v trigonometrii s číslom "Pi" sú vyriešené dobre. Vizuálna pamäť pomáha. Ale akákoľvek odchýlka od šablóny je katastrofa! Aby nedošlo k pádu - rozumieť nevyhnutné. Čo teraz s úspechom urobíme. Myslím, že všetko pochopíme!
takže, čo počítajú sa uhly? V školskom kurze trigonometrie sa používajú dve miery: stupeň miera uhla A miera radiánového uhla. Pozrime sa na tieto opatrenia. Bez toho nie je v trigonometrii nič.
Miera stupňa uhla.
Na stupne sme si akosi zvykli. Minimálne sme prešli geometriou... A v živote sa často stretávame napríklad s frázou „otočené o 180 stupňov“. Titul je skrátka jednoduchá vec...
Áno? Tak mi odpovedz čo je titul? Čo, nejde to hneď? to je všetko...
Stupne boli vynájdené v starovekom Babylone. Bolo to dávno... pred 40 storočiami... A prišli s jednoduchým nápadom. Vzali a rozdelili kruh na 360 rovnakých častí. 1 stupeň je 1/360 kruhu. To je všetko. Mohli ho rozbiť na 100 kúskov. Alebo 1000. Ale rozdelili to na 360. Mimochodom, prečo práve 360? V čom je 360 lepších ako 100? 100 sa zdá byť akosi plynulejšie... Skúste si odpovedať na túto otázku. Alebo slabý proti Starovekému Babylonu?
Niekde v tom istom čase, v starovekom Egypte, ich trápila iná otázka. Koľkokrát je dĺžka kruhu väčšia ako dĺžka jeho priemeru? A merali to takto a takto... Všetko vyšlo o niečo viac ako tri. Ale nejako to dopadlo strapaté, nerovnomerné... Ale oni, Egypťania, za to nemôžu. Po nich trpeli ďalších 35 storočí. Až napokon dokázali, že bez ohľadu na to, ako jemne narežete kruh na rovnaké kúsky, z takých sa dá vyrobiť hladké dĺžka priemeru je nemožná... Principiálne je to nemožné. Samozrejme, koľkokrát je obvod väčší ako priemer. Približne. 3,1415926... krát.
Toto je číslo "Pi". Taký huňatý, taký huňatý. Za desatinnou čiarkou je nekonečný počet čísel bez poradia... Takéto čísla sa nazývajú iracionálne. To, mimochodom, znamená, že z rovnakých kúskov kruhu priemer hladké nezložiť. Nikdy.
Pre praktické použitie je zvykom zapamätať si len dve číslice za desatinnou čiarkou. Pamätajte:
Keďže vieme, že obvod kruhu je väčší ako jeho priemer o „Pi“ krát, má zmysel zapamätať si vzorec pre obvod kruhu:
Kde L- obvod a d- jeho priemer.
Užitočné v geometrii.
Pre všeobecné vzdelanie dodám, že číslo „Pi“ sa vyskytuje nielen v geometrii... V rôznych odvetviach matematiky a najmä v teórii pravdepodobnosti sa toto číslo objavuje neustále! Sám od seba. Nad rámec našich túžob. Páči sa ti to.
Ale vráťme sa k stupňom. Už ste prišli na to, prečo bol v starovekom Babylone kruh rozdelený na 360 rovnakých častí? A nie napríklad o 100? nie? OK. Dám vám verziu. Nemôžete sa spýtať starých Babylončanov... Pre konštrukciu alebo, povedzme, astronómiu, je vhodné rozdeliť kruh na rovnaké časti. Teraz zistite, akými číslami je deliteľné úplne 100 a ktoré - 360? A v akej verzii týchto deliteľov úplne- viac? Toto rozdelenie je pre ľudí veľmi výhodné. Ale...
Ako sa ukázalo oveľa neskôr ako v starovekom Babylone, nie každý má rád tituly. Vyššia matematika ich nemá rada... Vyššia matematika je vážna dáma, organizovaná podľa zákonov prírody. A táto dáma vyhlási: „Dnes si rozbil kruh na 360 častí, zajtra ho rozbiješ na 100, pozajtra na 245... A čo mám robiť? Nie, naozaj...“ Musel som počúvať. Prírodu neoklameš...
Museli sme zaviesť mieru uhla, ktorá nezávisela od ľudských vynálezov. Zoznámte sa - radián!
Radiánová miera uhla.
čo je radián? Definícia radiánu je stále založená na kružnici. Uhol 1 radiánu je uhol, ktorý vyreže oblúk z kruhu, ktorého dĺžka je ( L) sa rovná dĺžke polomeru ( R). Pozrime sa na obrázky.
Taký malý uhol, skoro neexistuje... Prejdeme kurzorom na obrázok (alebo sa dotkneme obrázka na tablete) a vidíme asi jeden radián. L = R
Cítiš ten rozdiel?
Jeden radián je oveľa viac ako jeden stupeň. Koľko krát?
Pozrime sa na ďalší obrázok. Na ktorý som nakreslil polkruh. Rozložený uhol je samozrejme 180°.
Teraz tento polkruh rozrežem na radiány! Prejdeme kurzorom na obrázok a vidíme, že 180° sa zmestí 3 a pol radiánu.
Kto uhádne, čomu sa rovná tento chvost!?
Áno! Tento chvost je 0,1415926.... Ahoj, číslo "Pi", ešte sme na teba nezabudli!
Skutočne, 180° stupňov obsahuje 3,1415926... radiánov. Ako sami chápete, písať stále 3,1415926... je nepohodlné. Preto namiesto tohto nekonečného čísla vždy píšu jednoducho:
Ale na internete číslo
Je nepohodlné písať... Preto do textu píšem jeho meno – „Pí“. Nenechajte sa zmiasť, dobre?...
Teraz môžeme zapísať približnú rovnosť úplne zmysluplným spôsobom:
Alebo presná rovnosť:
Určme, koľko stupňov je v jednom radiáne. Ako? Jednoducho! Ak je v 3,14 radiáne 180°, potom v 1 radiáne je 3,14-krát menej! To znamená, že prvú rovnicu (vzorec je tiež rovnica!) vydelíme 3,14:
Tento pomer je užitočné zapamätať si jeden radián je približne 60°. Pri trigonometrii často musíte odhadnúť a posúdiť situáciu. Tu tieto znalosti veľmi pomáhajú.
Ale hlavná zručnosť tejto témy je prevod stupňov na radiány a naopak.
Ak je uhol uvedený v radiánoch s číslom "Pi", všetko je veľmi jednoduché. Vieme, že "Pi" radiány = 180°. Takže nahradíme radiány za „Pi“ - 180°. Uhol dostaneme v stupňoch. Znížime to, čo sa zníži, a odpoveď je pripravená. Musíme napríklad zistiť, koľko stupňa v uhle "Pi"/2 radián? Takže píšeme:
Alebo exotickejší výraz:
Ľahké, však?
Opačný preklad je trochu komplikovanejší. Ale nie veľa. Ak je uhol daný v stupňoch, musíme zistiť, koľko sa rovná jeden stupeň v radiánoch a vynásobiť toto číslo počtom stupňov. Čomu sa rovná 1° v radiánoch?
Pozrieme sa na vzorec a uvedomíme si, že ak 180° = „Pi“ radiány, potom 1° je 180-krát menší. Alebo, inými slovami, rovnicu (aj vzorec je rovnica!) vydelíme 180. Nie je potrebné uvádzať „Pi“ ako 3,14, aj tak sa vždy píše s písmenom. Zistili sme, že jeden stupeň sa rovná:
To je všetko. Touto hodnotou vynásobíme počet stupňov a dostaneme uhol v radiánoch. Napríklad:
Alebo podobne:
Ako vidíte, v pokojnom rozhovore s lyrickými odbočkami sa ukázalo, že radiány sú veľmi jednoduché. A s prekladom nie je problém... A “Pi” je úplne znesiteľná vec... Kde sa teda berie ten zmätok!?
Prezradím tajomstvo. Faktom je, že v goniometrických funkciách je napísaný symbol stupňov. Vždy. Napríklad sin35°. Toto je sínus 35 stupňa . A ikona radiánu ( rád) - nie je napísané! Je to naznačené. Buď matematikov premohla lenivosť, alebo niečo iné... Ale rozhodli sa nepísať. Ak vnútri sínusového kotangensu nie sú žiadne symboly, potom je uhol v radiánoch ! Napríklad cos3 je kosínus troch radiánov .
To vedie k zmätku... Človek vidí „Pí“ a verí, že je to 180°. Kedykoľvek a kdekoľvek. Mimochodom, toto funguje. Príklady sú zatiaľ štandardné. Ale "Pí" je číslo! Číslo je 3,14, ale nie stupňov! Toto sú radiány „Pi“ = 180°!
Ešte raz: „Pí“ je číslo! 3.14. Iracionálne, ale číslo. Rovnako ako 5 alebo 8. Môžete napríklad urobiť kroky „Pi“. Tri kroky a trochu viac. Alebo si kúpte „Pi“ kilogramy cukríkov. Ak natrafí vzdelaný predajca...
"Pí" je číslo! Čo, naštval som ťa touto frázou? Už ste všetko dávno pochopili? OK. Skontrolujme to. Povedz mi, ktoré číslo je väčšie?
Alebo čo je menej?
Toto je jedna zo série trochu neštandardných otázok, ktoré vás môžu priviesť do strnulosti...
Ak ste aj vy upadli do strnulosti, spomeňte si na kúzlo: „Pí“ je číslo! 3.14. Hneď v prvom sínuse je jasne uvedené, že uhol je v stupňoch! Preto nie je možné nahradiť „Pi“ o 180°! "Pi" stupňov je približne 3,14°. Preto môžeme napísať:
V druhom sínuse nie sú žiadne zápisy. Takže tam - radiánov! To je miesto, kde nahradenie „Pi“ o 180 ° bude fungovať dobre. Prevedením radiánov na stupne, ako je napísané vyššie, dostaneme:
Zostáva porovnať tieto dva sínusy. Čo. zabudol ako? Samozrejme pomocou trigonometrického kruhu! Nakreslite kruh, nakreslite približné uhly 60° a 1,05°. Pozrime sa, aké sínusy majú tieto uhly. V skratke je všetko popísané ako na konci témy o trigonometrickom kruhu. Na kruhu (aj na krivom!) to bude jasne vidieť sin60° výrazne viac ako sin1,05°.
Presne to isté urobíme s kosínusmi. Na kružnicu nakreslite uhly približne 4 stupňa a 4 radián(Zabudli ste, čomu sa približne rovná 1 radián?). Kruh povie všetko! Samozrejme, cos4 je menšie ako cos4°.
Precvičme si používanie uhlových mier.
Preveďte tieto uhly zo stupňov na radiány:
360°; 30°; 90°; 270 °C; 45°; 0°; 180°; 60°
Tieto hodnoty by ste mali dostať v radiánoch (v inom poradí!)
| 0 | ||||
Mimochodom, odpovede som konkrétne zvýraznil v dvoch riadkoch. No, poďme zistiť, aké sú rohy v prvom riadku? Aspoň v stupňoch, aspoň v radiánoch?
Áno! Toto sú osi súradnicového systému! Ak sa pozriete na trigonometrický kruh, potom na pohyblivú stranu uhla s týmito hodnotami presne sedí na osiach. Tieto hodnoty je potrebné poznať. A všimol som si uhol 0 stupňov (0 radiánov) z dobrého dôvodu. A potom niektorí ľudia jednoducho nevedia nájsť tento uhol na kružnici... A podľa toho sú zmätení v goniometrických funkciách nuly... Ďalšia vec je, že poloha pohyblivej strany pri nulových stupňoch sa zhoduje s polohou na 360°, takže na kruhu blízko sú vždy náhody.
V druhom riadku sú aj špeciálne uhly... Ide o 30°, 45° a 60°. A čo je na nich také zvláštne? Nič zvláštne. Jediný rozdiel medzi týmito uhlami a všetkými ostatnými je ten, že by ste o týchto uhloch mali vedieť Všetky. A kde sa nachádzajú a aké trigonometrické funkcie majú tieto uhly. Povedzme hodnotu hriech 100° nemusíš vedieť. A sin45°- buďte prosím taký láskavý! Ide o povinné znalosti, bez ktorých sa v trigonometrii nedá nič robiť... Ale o tom viac v ďalšej lekcii.
Medzitým pokračujme v tréningu. Preveďte tieto uhly z radiánu na stupeň:
Mali by ste získať takéto výsledky (v neporiadku):
210°; 150°; 135 °C; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225 °C.
Stalo? Potom to môžeme predpokladať prevod stupňov na radiány a späť- už to nie je váš problém.) Ale prekladanie uhlov je prvým krokom k pochopeniu trigonometrie. Tam je tiež potrebné pracovať so sínusom a kosínusom. A tiež s tangentami a kotangens...
Druhým mocným krokom je schopnosť určiť polohu akéhokoľvek uhla na trigonometrickom kruhu. V stupňoch aj v radiánoch. Dám vám nudné rady práve o tejto zručnosti počas trigonometrie, áno...) Ak viete všetko (alebo si myslíte, že viete všetko) o trigonometrickom kruhu a meraní uhlov na trigonometrickom kruhu, môžete si to overiť. Vyriešte tieto jednoduché úlohy:
1. Do ktorej štvrtiny spadajú uhly:
45°, 175°, 355°, 91°, 355°;
ľahko? Pokračujme:
2. Do ktorej štvrtiny spadajú rohy:
402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?
Tiež žiadny problém? No pozri...)
3. Rohy môžete umiestniť na štvrtiny:
Mohol by si? no dáš..)
4. Na ktoré osi pripadne roh:
a roh:
Je to tiež ľahké? Hm...)
5. Do ktorej štvrtiny spadajú rohy:
A podarilo sa!? Tak potom fakt neviem...)
6. Určte, do ktorej štvrtiny spadajú rohy:
1, 2, 3 a 20 radiánov.
Dám odpoveď len na poslednú otázku (je to trochu zložitá) poslednej úlohy. V prvom štvrťroku padne uhol 20 radiánov.
Ostatné odpovede neposkytnem, nie z chamtivosti.) Jednoducho, ak si sa nerozhodli niečo pochybuješ o tom ako výsledok, alebo vynaložené na úlohu č.4 viac ako 10 sekúnd, zle sa orientujete v kruhu. Toto bude váš problém v celej trigonometrii. Je lepšie sa ho okamžite zbaviť (problém, nie trigonometria!). Dá sa to urobiť v téme: Praktická práca s trigonometrickou kružnicou v sekcii 555.
Povie vám, ako takéto úlohy jednoducho a správne vyriešiť. No, tieto úlohy sú, samozrejme, vyriešené. A štvrtá úloha bola vyriešená za 10 sekúnd. Áno, bolo rozhodnuté, že to môže urobiť každý!
Ak ste si svojimi odpoveďami absolútne istý a nezaujímajú vás jednoduché a bezproblémové spôsoby práce s radiánmi, nemusíte navštevovať 555. Netrvám na tom.)
Dobré porozumenie je dostatočným dôvodom na to, aby sme sa pohli ďalej!)
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Najprv mi dovoľte pripomenúť jednoduchý, ale veľmi užitočný záver z lekcie „Čo je sínus a kosínus? Čo je tangens a kotangens?“
Toto je výstup:
Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú tesne spojené so svojimi uhlami. Vieme jednu vec, čo znamená, že vieme druhú.
Inými slovami, každý uhol má svoj vlastný konštantný sínus a kosínus. A takmer každý má svoju tangentu a kotangens. Prečo? skoro? Viac o tom nižšie.
Tieto znalosti vám veľmi pomôžu pri štúdiu! Existuje veľa úloh, pri ktorých je potrebné prejsť od sínusov k uhlom a naopak. Pre toto existuje tabuľka sínusov. Podobne pre úlohy s kosínusom - kosínusový stôl. A ako ste možno uhádli, existuje tangentová tabuľka A tabuľka kotangens.)
Tabuľky sú rôzne. Dlhé, kde môžete vidieť, čomu sa rovná, povedzme, sin37°6’. Otvoríme Bradisove stoly, hľadáme uhol tridsaťsedem stupňov šesť minút a vidíme hodnotu 0,6032. Je jasné, že toto číslo (a tisíce ďalších tabuľkových hodnôt) si vôbec nemusíte pamätať.
V skutočnosti v našej dobe nie sú naozaj potrebné dlhé tabuľky kosínusov, sínusov, dotyčníc, kotangens. Jedna dobrá kalkulačka ich úplne nahradí. Ale nie je na škodu vedieť o existencii takýchto tabuliek. Pre všeobecnú erudíciu.)
A prečo potom táto lekcia?! - pýtaš sa.
Ale prečo. Medzi nekonečným počtom uhlov existuje špeciálne, o ktorých by ste mali vedieť Všetky. Celá školská geometria a trigonometria sú postavené na týchto uhloch. Ide o akúsi „násobiacu tabuľku“ trigonometrie. Ak neviete, čomu sa rovná napríklad sin50°, nikto vás nebude súdiť.) Ak však neviete, čomu sa rovná sin30°, pripravte sa na to, že dostanete zaslúženú dvojku...
Takéto špeciálne Uhly sú tiež celkom dobré. Školské učebnice zvyčajne láskavo ponúkajú zapamätanie sínusová a kosínusová tabuľka pre sedemnásť uhlov. A samozrejme, tangens tabuľka a kotangens tabuľka pre tých istých sedemnásť uhlov... t.j. Navrhuje sa zapamätať si 68 hodnôt. Ktoré, mimochodom, sú si navzájom veľmi podobné, každú chvíľu sa opakujú a menia znamenia. Pre človeka bez dokonalej vizuálnej pamäte je to celkom náročná úloha...)
Pôjdeme inou cestou. Nahraďte memorovanie naspamäť logikou a vynaliezavosťou. Potom si budeme musieť zapamätať 3 (tri!) hodnoty pre tabuľku sínusov a tabuľku kosínusov. A 3 (tri!) hodnoty pre tabuľku dotyčníc a tabuľku kotangens. To je všetko. Šesť hodnôt je ľahšie zapamätateľných ako 68, zdá sa mi...)
Všetky ostatné potrebné hodnoty získame z týchto šiestich pomocou výkonného právneho podvodného listu - trigonometrický kruh. Ak ste túto tému neštudovali, kliknite na odkaz, nebuďte leniví. Tento kruh nie je potrebný len pre túto lekciu. Je nenahraditeľný pre celú trigonometriu naraz. Nepoužívať takýto nástroj je jednoducho hriech! Nechcete? To je tvoja vec. Zapamätať si sínusová tabuľka. Tabuľka kosínusov. Tabuľka dotyčníc. Tabuľka kotangens. Všetkých 68 hodnôt pre rôzne uhly.)
Takže, začnime. Najprv si rozdeľme všetky tieto špeciálne uhly do troch skupín.
Prvá skupina uhlov.
Zoberme si prvú skupinu sedemnásť uhlov špeciálne. Ide o 5 uhlov: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Takto vyzerá tabuľka sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens pre tieto uhly:
Uhol x
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Uhol x
|
0 |
||||
hriech x |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
cos x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg x |
0 |
podstatné meno |
0 |
podstatné meno |
0 |
ctg x |
podstatné meno |
0 |
podstatné meno |
0 |
podstatné meno |
Kto si chce pamätať, nech si zapamätá. Ale hneď poviem, že všetky tieto jednotky a nuly sú v hlave veľmi zmätené. Oveľa silnejšie, ako chcete.) Preto zapneme logiku a trigonometrický kruh.
Nakreslíme kruh a vyznačíme na ňom tieto rovnaké uhly: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Tieto rohy som označil červenými bodkami:
Okamžite je zrejmé, čo je na týchto uhloch zvláštne. Áno! Toto sú uhly, ktoré padajú presne na súradnicovej osi! V skutočnosti sú preto ľudia zmätení... Ale my sa nenecháme zmiasť. Poďme zistiť, ako nájsť goniometrické funkcie týchto uhlov bez veľkého zapamätania.
Mimochodom, poloha uhla je 0 stupňov úplne sa zhoduje s polohou uhla 360 stupňov. To znamená, že sínusy, kosínusy a tangenty týchto uhlov sú úplne rovnaké. Na dokončenie kruhu som označil 360 stupňový uhol.
Predpokladajme, že v ťažkom stresovom prostredí Jednotnej štátnej skúšky ste akosi zapochybovali... Aký je sínus 0 stupňov? Vyzerá to ako nula... Čo ak je to jedna?! Mechanické zapamätanie je taká vec. V drsných podmienkach začínajú hlodať pochybnosti...)
Pokojne, len pokojne!) Poviem vám praktickú techniku, ktorá vám dá 100% správnu odpoveď a úplne odstráni všetky pochybnosti.
Ako príklad poďme zistiť, ako jasne a spoľahlivo určiť, povedzme, sínus 0 stupňov. A zároveň kosínus 0. Práve v týchto hodnotách sa ľudia, napodiv, často mýlia.
Ak to chcete urobiť, nakreslite kruh svojvoľný rohu X. V prvom štvrťroku bolo takmer 0 stupňov. Označme sínus a kosínus tohto uhla na osiach X, všetko je v poriadku. Páči sa ti to:
A teraz - pozor! Zmenšme uhol X, priblížte pohyblivú stranu k osi OH. Umiestnite kurzor myši na obrázok (alebo klepnite na obrázok na tablete) a uvidíte všetko.
Teraz zapnime elementárnu logiku! Pozrime sa a zamyslime sa: Ako sa správa sinx, keď sa uhol x zmenšuje? Ako sa uhol blíži k nule? Zmenšuje sa! A cosx sa zvyšuje! Zostáva zistiť, čo sa stane so sínusom, keď sa uhol úplne zrúti? Kedy sa pohyblivá strana uhla (bod A) usadí na osi OX a uhol sa rovná nule? Je zrejmé, že sínus uhla pôjde na nulu. A kosínus sa zvýši na... až... Aká je dĺžka pohyblivej strany uhla (polomer trigonometrickej kružnice)? Jeden!
Tu je odpoveď. Sínus 0 stupňov sa rovná 0. Kosínus 0 stupňov sa rovná 1. Absolútne opláštený a nepochybne!) Jednoducho preto, že inak to nemôže byť.
Presne rovnakým spôsobom môžete zistiť (alebo objasniť) napríklad sínus 270 stupňov. Alebo kosínus 180. Nakreslite kruh, svojvoľný uhol v štvrtine vedľa súradnicovej osi, ktorá nás zaujíma, v duchu posuňte stranu uhla a uchopte, čím sa stane sínus a kosínus, keď strana uhla padne na os. To je všetko.
Ako vidíte, pre túto skupinu uhlov sa netreba nič učiť naspamäť. Tu netreba sínusová tabuľka...Áno a kosínusový stôl- tiež.) Mimochodom, po niekoľkých použitiach trigonometrického kruhu si všetky tieto hodnoty zapamätajú samy. A ak zabudnú, za 5 sekúnd som nakreslil kruh a objasnil. Oveľa jednoduchšie ako zavolať priateľovi z toalety a riskovať svoj certifikát, však?)
Čo sa týka tangens a kotangens, všetko je rovnaké. Na kružnicu nakreslíme dotyčnicu (kotangentu) - a všetko je okamžite viditeľné. Kde sa rovnajú nule a kde neexistujú. Čo, neviete o tangens a kotangens čiary? Je to smutné, ale opraviteľné.) Navštívili sme sekciu 555 tangens a kotangens na trigonometrickom kruhu - a nie sú žiadne problémy!
Ak ste prišli na to, ako jasne definovať sínus, kosínus, tangens a kotangens pre týchto päť uhlov, gratulujeme! Pre každý prípad vás informujem, že teraz môžete definovať funkcie akékoľvek uhly dopadajúce na osi. A toto je 450°, a 540° a 1800° a nekonečne veľa ďalších...) Počítal som (správne!) uhol na kruhu - a s funkciami nie sú žiadne problémy.
Ale práve pri meraní uhlov vznikajú problémy a chyby... Ako sa im vyhnúť je napísané v lekcii: Ako nakresliť (spočítať) ľubovoľný uhol na trigonometrickom kruhu v stupňoch. Základné, ale veľmi užitočné v boji proti chybám.)
Tu je lekcia: Ako nakresliť (zmerať) akýkoľvek uhol na trigonometrickom kruhu v radiánoch - bude to chladnejšie. Z hľadiska možností. Povedzme, určte, na ktorú zo štyroch poloosí pripadá uhol
zvládnete to za pár sekúnd. Nerobím si srandu! Len za pár sekúnd. No, samozrejme, nielen 345 pi...) A 121, a 16 a -1345. Akýkoľvek celočíselný koeficient je vhodný na okamžitú odpoveď.
A ak roh
Len si pomysli! Správnu odpoveď získate za 10 sekúnd. Pre ľubovoľnú zlomkovú hodnotu radiánov s dvojkou v menovateli.
V skutočnosti je to dobré na trigonometrickom kruhu. Pretože schopnosť pracovať s niektoré rohov, do ktorých sa automaticky roztiahne nekonečná množina rohy
Takže sme vytriedili päť rohov zo sedemnástich.
Druhá skupina uhlov.
Ďalšou skupinou uhlov sú uhly 30°, 45° a 60°. Prečo práve tieto a nie napríklad 20, 50 a 80? Áno, nejako to dopadlo takto... Historicky.) Ďalej sa ukáže, prečo sú tieto uhly dobré.
Tabuľka sínusových kosínusových dotyčníc kotangens kotangens pre tieto uhly vyzerá takto:
Uhol x
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
Uhol x
|
0 |
||||
hriech x |
0 |
1 |
|||
cos x |
1 |
0 |
|||
tg x |
0 |
1 |
podstatné meno |
||
ctg x |
podstatné meno |
1 |
0 |
Na dokreslenie som nechal hodnoty pre 0° a 90° z predchádzajúcej tabuľky.) Aby ste videli, že tieto uhly ležia v prvej štvrtine a zväčšujú sa. Od 0 do 90. Bude sa nám to hodiť neskôr.
Treba si zapamätať tabuľkové hodnoty pre uhly 30°, 45° a 60°. Ak chcete, zapamätajte si to. Ale aj tu je možnosť, ako si uľahčiť život.) Venujte pozornosť hodnoty sínusovej tabuľky tieto uhly. A porovnajte s hodnoty kosínusovej tabuľky...
Áno! Oni rovnaké! Len usporiadané v opačnom poradí. Nárast uhlov (0, 30, 45, 60, 90) - a sínusové hodnoty zvýšiť od 0 do 1. Môžete to skontrolovať pomocou kalkulačky. A hodnoty kosínusu sú klesajú od 1 do nuly. Navyše, samotné hodnoty rovnaký. Pre uhly 20, 50, 80 by to nefungovalo...
Toto je užitočný záver. Dosť na učenie tri hodnoty pre uhly 30, 45, 60 stupňov. A pamätajte, že pre sínus sa zvyšujú a pre kosínus sa zmenšujú. Smerom k sínusu.) Stretnú sa v polovici cesty (45°), to znamená, že sínus 45 stupňov sa rovná kosínusu 45 stupňov. A potom sa opäť rozchádzajú... Tri významy sa dajú naučiť, nie?
S tangentami - kotangens je obraz úplne rovnaký. Jeden na jedného. Len významy sú odlišné. Tieto hodnoty (ďalšie tri!) sa tiež musia naučiť.
No a takmer všetko zapamätanie sa skončilo. Už ste (dúfajme) pochopili, ako určiť hodnoty pre päť uhlov dopadajúcich na os a naučili ste sa hodnoty pre uhly 30, 45, 60 stupňov. Celkom 8.
Zostáva sa vysporiadať s poslednou skupinou 9 rohov.
Toto sú uhly:
120°; 135 °C; 150°; 210°; 225 °C; 240°; 300°; 315°; 330°. Pre tieto uhly potrebujete poznať tabuľku sínusov, tabuľku kosínusov atď.
Nočná mora, však?)
A ak sem pridáte uhly, ako napríklad: 405°, 600° alebo 3000° a veľa, veľa rovnako krásnych?)
Alebo uhly v radiánoch? Napríklad o uhloch:
a mnoho ďalších, ktoré by ste mali vedieť Všetky.
Najzábavnejšie je to vedieť Všetky - v princípe nemožné. Ak používate mechanickú pamäť.
A je to veľmi jednoduché, v skutočnosti elementárne - ak použijete trigonometrický kruh. Akonáhle sa naučíte pracovať s trigonometrickým kruhom, všetky tie obávané uhly v stupňoch sa dajú ľahko a elegantne zredukovať na tie staré dobré:
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
TABUĽKA HODNOT TRIGONOMETRICKÝCH FUNKCIÍ
Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií je zostavená pre uhly 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 a 360 stupňov a zodpovedajúce hodnoty uhla vo vradiánoch. Z goniometrických funkcií sú v tabuľke uvedené sínus, kosínus, tangens, kotangens, sekans a kosekans. Pre uľahčenie riešenia školských príkladov sú hodnoty goniometrických funkcií v tabuľke zapísané vo forme zlomku pri zachovaní znakov na extrakciu druhej odmocniny čísel, čo veľmi často pomáha znižovať zložité matematické výrazy. Pre tangens a kotangens nie je možné určiť hodnoty niektorých uhlov. Pre hodnoty tangens a kotangens takýchto uhlov je v tabuľke hodnôt goniometrických funkcií pomlčka. Všeobecne sa uznáva, že dotyčnica a kotangens takýchto uhlov sa rovná nekonečnu. Na samostatnej stránke sú vzorce na redukciu goniometrických funkcií.
Tabuľka hodnôt pre trigonometrickú funkciu sínus ukazuje hodnoty pre nasledujúce uhly: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 v stupňoch, čo zodpovedá sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi v radiánovej miere uhlov. Školská tabuľka sínusov.
Pre goniometrickú kosínusovú funkciu sú v tabuľke uvedené hodnoty pre nasledujúce uhly: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 v stupňoch, čo zodpovedá cos 0 pi , cos pi x 6, cos pi x 4, cos pi x 3, cos pi x 2, cos pi, cos 3 pi x 2, cos 2 pi v radiánovej miere uhlov. Školský stôl kosínusov.
Goniometrická tabuľka pre funkciu trigonometrickej tangens udáva hodnoty pre tieto uhly: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 v mierke stupňov, čo zodpovedá tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi v radiánovej miere uhlov. Nasledujúce hodnoty trigonometrických tangensových funkcií nie sú definované tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 a považujú sa za rovné nekonečnu.
Pre goniometrickú funkciu kotangens v trigonometrickej tabuľke sú uvedené hodnoty nasledujúcich uhlov: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 v mierke stupňov, čo zodpovedá ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 v radiánovej miere uhlov. Nasledujúce hodnoty trigonometrických kotangens funkcií nie sú definované ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi a považujú sa za rovné nekonečnu.
Hodnoty trigonometrických funkcií sečna a kosekans sú uvedené pre rovnaké uhly v stupňoch a radiánoch ako sínus, kosínus, tangens, kotangens.
Tabuľka hodnôt goniometrických funkcií neštandardných uhlov zobrazuje hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens pre uhly v stupňoch 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 stupňov a v radiánoch pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radiánov. Hodnoty goniometrických funkcií sú vyjadrené ako zlomky a druhé odmocniny, aby sa uľahčilo zmenšovanie zlomkov v školských príkladoch.
Tri ďalšie trigonometrické príšery. Prvý je tangens 1,5 jeden a pol stupňa alebo pí delený 120. Druhý je kosínus pí delený 240, pí/240. Najdlhší je kosínus pí delený 17, pí/17.
Trigonometrický kruh hodnôt funkcií sínus a kosínus vizuálne predstavuje znaky sínusu a kosínusu v závislosti od veľkosti uhla. Najmä pre blondínky sú hodnoty kosínusu podčiarknuté zelenou pomlčkou, aby sa obmedzil zmätok. Konverzia stupňov na radiány je tiež veľmi jasne prezentovaná, keď sú radiány vyjadrené v pí.
Táto trigonometrická tabuľka predstavuje hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens pre uhly od 0 do 90 deväťdesiat stupňov v intervaloch jedného stupňa. Pre prvých štyridsaťpäť stupňov by ste sa mali pozrieť na názvy goniometrických funkcií v hornej časti tabuľky. Prvý stĺpec obsahuje stupne, v ďalších štyroch stĺpcoch sú zapísané hodnoty sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens.
Pre uhly od štyridsaťpäť stupňov do deväťdesiatich stupňov sú názvy goniometrických funkcií napísané v spodnej časti tabuľky. Posledný stĺpec obsahuje stupne, hodnoty kosínusov, sínusov, kotangens a dotyčníc sú zapísané v predchádzajúcich štyroch stĺpcoch. Mali by ste byť opatrní, pretože názvy goniometrických funkcií v spodnej časti goniometrickej tabuľky sa líšia od názvov v hornej časti tabuľky. Sínusy a kosínusy sú zamenené, rovnako ako tangens a kotangens. Je to spôsobené symetriou hodnôt goniometrických funkcií.
Značky goniometrických funkcií sú znázornené na obrázku vyššie. Sínus má kladné hodnoty od 0 do 180 stupňov alebo od 0 do pi. Sínus má záporné hodnoty od 180 do 360 stupňov alebo od pi do 2 pi. Hodnoty kosínusu sú kladné od 0 do 90 a 270 až 360 stupňov alebo 0 až 1/2 pi a 3/2 až 2 pi. Tangenta a kotangens majú kladné hodnoty od 0 do 90 stupňov a od 180 do 270 stupňov, čo zodpovedá hodnotám od 0 do 1/2 pi a pi až 3/2 pi. Záporné hodnoty tangens a kotangens sú od 90 do 180 stupňov a od 270 do 360 stupňov alebo od 1/2 pi do pi a od 3/2 pi do 2 pi. Pri určovaní znamienok goniometrických funkcií pre uhly väčšie ako 360 stupňov alebo 2 pi by ste mali použiť vlastnosti periodicity týchto funkcií.
Goniometrické funkcie sínus, tangens a kotangens sú nepárne funkcie. Hodnoty týchto funkcií pre záporné uhly budú záporné. Kosínus je párna trigonometrická funkcia – kosínusová hodnota pre záporný uhol bude kladná. Pri násobení a delení goniometrických funkcií treba dodržiavať znamienkové pravidlá.
Tabuľka hodnôt pre trigonometrickú sínusovú funkciu zobrazuje hodnoty pre nasledujúce uhly
DokumentNa samostatnej stránke sú redukčné vzorce trigonometrickéfunkcie. IN tabuľkyhodnotyPretrigonometrickéfunkciesínusdanýhodnotyPrenasledujúcirohy: hriech 0, hriech 30, hriech 45 ...
Navrhovaný matematický aparát je úplnou analógiou komplexného počtu pre n-rozmerné hyperkomplexné čísla s ľubovoľným počtom stupňov voľnosti n a je určený na matematické modelovanie nelineárnych
Dokument... funkcie rovná sa funkcie Snímky. Z tejto vety by mal, Čo Pre zistenie súradníc U, V, stačí vypočítať funkciu... geometria; polynár funkcie(viacrozmerné analógy dvojrozmerných trigonometrickéfunkcie), ich vlastnosti, tabuľky a aplikácia; ...
-
