Na hodine geometrie na strednej škole nám všetkým hovorili o trojuholníkoch. V rámci školského vzdelávacieho programu však dostávame len tie najnutnejšie vedomosti a učíme sa najbežnejšie a štandardné spôsoby výpočtu. Existujú nejaké neobvyklé spôsoby, ako zistiť toto množstvo?
Na úvod si pripomeňme, ktorý trojuholník sa považuje za pravouhlý, a tiež označme pojem plocha.
Pravouhlý trojuholník je uzavretý geometrický útvar, ktorého jeden z uhlov sa rovná 90 0. Integrálnymi pojmami v definícii sú nohy a prepona. Nohy znamenajú dve strany, ktoré v bode spojenia tvoria pravý uhol. Prepona je strana oproti pravému uhlu. Pravouhlý trojuholník môže byť rovnoramenný (jeho dve strany budú mať rovnakú veľkosť), ale nikdy nebude rovnostranný (všetky strany budú mať rovnakú dĺžku). Nebudeme podrobne rozoberať definície výšky, mediánu, vektorov a iných matematických pojmov. Ľahko sa dajú nájsť v referenčných knihách.
Oblasť pravouhlého trojuholníka. Na rozdiel od obdĺžnikov platí pravidlo o
práca strán v určovaní neplatí. Ak hovoríme suchým spôsobom, potom sa oblasť trojuholníka chápe ako vlastnosť tohto obrázku zaberať časť roviny vyjadrenú číslom. Dosť ťažko pochopiteľné, budete súhlasiť. Nesnažme sa ponoriť hlboko do definície, to nie je naším cieľom. Prejdime k hlavnej veci - ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka? Samotné výpočty nebudeme vykonávať, iba naznačíme vzorce. Aby sme to urobili, definujme notáciu: A, B, C - strany trojuholníka, nohy - AB, BC. Uhol ACB je rovný. S je plocha trojuholníka, h n n je výška trojuholníka, kde nn je strana, na ktorú je spustený.
Metóda 1. Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka, ak je známa veľkosť jeho nôh
Metóda 2. Nájdite oblasť rovnoramenného pravouhlého trojuholníka
Metóda 3. Výpočet plochy pomocou obdĺžnika
Pravý trojuholník dotvoríme na štvorec (ak trojuholník
rovnoramenný) alebo obdĺžnik. Dostaneme jednoduchý štvoruholník zložený z 2 rovnakých pravouhlých trojuholníkov. V tomto prípade sa plocha jedného z nich bude rovnať polovici plochy výsledného čísla. S obdĺžnika sa vypočíta ako súčin strán. Označme túto hodnotu M. Požadovaná hodnota plochy sa bude rovnať polovici M.
Metóda 4. "Pytagorove nohavice." Slávna Pytagorova veta
Všetci si pamätáme jeho formuláciu: „súčet štvorcov nôh...“. Ale nie každý môže
povedzte, čo s tým majú spoločné nejaké „nohavice“? Faktom je, že Pytagoras spočiatku študoval vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka. Po identifikovaní vzorov v pomere strán štvorcov bol schopný odvodiť vzorec, ktorý je nám všetkým známy. Môže sa použiť v prípadoch, keď veľkosť jednej zo strán nie je známa.
Metóda 5. Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka pomocou Heronovho vzorca
Toto je tiež pomerne jednoduchý spôsob výpočtu. Vzorec zahŕňa vyjadrenie plochy trojuholníka prostredníctvom číselných hodnôt jeho strán. Pre výpočty potrebujete poznať veľkosti všetkých strán trojuholníka.
S = (p-AC)*(p-BC), kde p = (AB+BC+AC)*0,5
Okrem vyššie uvedeného existuje mnoho ďalších spôsobov, ako zistiť veľkosť takej záhadnej postavy ako trojuholník. Medzi nimi: výpočet metódou vpísanej alebo opísanej kružnice, výpočet pomocou súradníc vrcholov, použitie vektorov, absolútna hodnota, sínusy, dotyčnice.
V závislosti od typu trojuholníka existuje niekoľko možností, ako nájsť jeho plochu. Napríklad na výpočet plochy pravouhlého trojuholníka použite vzorec S= a * b / 2, kde a a b sú jeho nohy. Ak chcete zistiť oblasť rovnoramenného trojuholníka, musíte rozdeliť súčin jeho základne a výšky dvoma. To znamená, že S= b*h / 2, kde b je základňa trojuholníka a h je jeho výška.
Ďalej možno budete musieť vypočítať plochu rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Tu prichádza na pomoc nasledujúci vzorec: S = a* a / 2, kde nohy „a“ a „a“ musia mať nevyhnutne rovnaké hodnoty.
Tiež často musíme vypočítať plochu rovnostranného trojuholníka. Nájdeme ho podľa vzorca: S= a * h/ 2, kde a je strana trojuholníka a h je jeho výška. Alebo podľa tohto vzorca: S= √3/ 4 *a^2, kde a je strana.
Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka
Potrebujete nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka, ale problémové vyhlásenie neuvádza rozmery dvoch jeho nôh naraz? Potom nemôžeme použiť tento vzorec (S= a * b / 2) priamo.
Zvážte niekoľko možných riešení:
- Ak nepoznáte dĺžku jednej vetvy, ale sú uvedené rozmery prepony a druhej vetvy, potom sa obrátime na veľkého Pytagora a pomocou jeho vety (a^2+b^2=c^2) vypočítame dĺžku neznámej nohy a potom ju použijeme na výpočet plochy trojuholníka.
- Ak je daná dĺžka jednej vetvy a sklon uhla oproti nej: dĺžku druhej vetvy zistíme pomocou vzorca - a=b*ctg(C).
- Dané: dĺžka jedného ramena a sklon uhla k nemu priľahlého: na zistenie dĺžky druhého ramena použijeme vzorec - a=b*tg(C).
- A nakoniec, vzhľadom na: uhol a dĺžku prepony: dĺžku oboch jej ramien vypočítame pomocou nasledujúcich vzorcov - b=c*sin(C) a a=c*cos(C).
Ako nájsť oblasť rovnoramenného trojuholníka
Oblasť rovnoramenného trojuholníka sa dá veľmi ľahko a rýchlo nájsť pomocou vzorca S= b*h / 2, ale ak jeden z ukazovateľov chýba, úloha sa stáva oveľa komplikovanejšou. Koniec koncov, je potrebné vykonať ďalšie akcie.
Možné možnosti úloh:
- Dané: dĺžka jednej zo strán a dĺžka základne. Pomocou Pytagorovej vety zistíme výšku, teda dĺžku druhej nohy. Za predpokladu, že dĺžka základne delená dvoma je noha a pôvodne známa strana je prepona.
- Dané: základňa a uhol medzi stranou a základňou. Výšku vypočítame pomocou vzorca h=c*ctg(B)/2 (nezabudnite stranu „c“ vydeliť dvomi).
- Vzhľadom na: výšku a uhol, ktorý zvierala základňa a strana: na zistenie výšky použijeme vzorec c=h*tg(B)*2 a výsledok vynásobíme dvomi. Ďalej vypočítame plochu.
- Známe: dĺžka strany a uhol medzi ňou a výškou. Riešenie: pomocou vzorcov - c=a*sin(C)*2 a h=a*cos(C) nájdeme základňu a výšku, podľa ktorej vypočítame plochu.
Ako nájsť oblasť rovnoramenného pravouhlého trojuholníka
Ak sú známe všetky údaje, potom pomocou štandardného vzorca S= a* a / 2 vypočítame plochu rovnoramenného pravouhlého trojuholníka, ale ak niektoré indikátory nie sú v probléme uvedené, vykonajú sa ďalšie akcie.
Napríklad: nepoznáme dĺžky oboch strán (pamätáme si, že v rovnoramennom pravouhlom trojuholníku sú rovnaké), ale dĺžka prepony je daná. Aplikujme Pytagorovu vetu na nájdenie rovnakých strán „a“ a „a“. Pytagorejský vzorec: a^2+b^2=c^2. V prípade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka sa transformuje na toto: 2a^2 = c^2. Ukazuje sa, že ak chcete nájsť rameno „a“, musíte vydeliť dĺžku prepony odmocninou 2. Výsledkom riešenia bude dĺžka oboch ramien rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Ďalej nájdeme oblasť.
Ako nájsť oblasť rovnostranného trojuholníka
Pomocou vzorca S= √3/ 4*a^2 môžete ľahko vypočítať obsah rovnostranného trojuholníka. Ak je známy polomer kružnice opísanej trojuholníku, potom plochu môžeme nájsť pomocou vzorca: S= 3√3/ 4*R^2, kde R je polomer kružnice.
Pravouhlý trojuholník je trojuholník, ktorého jeden z uhlov je 90°. Jeho oblasť možno nájsť, ak sú známe dve strany. Môžete, samozrejme, ísť aj po dlhej trase - nájdite preponu a vypočítajte plochu pomocou , ale vo väčšine prípadov to zaberie len viac času. Preto vzorec pre oblasť pravouhlého trojuholníka vyzerá takto:
Plocha pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici súčinu nôh.
Príklad výpočtu plochy pravouhlého trojuholníka.
Daný pravouhlý trojuholník s nohami a= 8 cm, b= 6 cm.
Vypočítame plochu: 
Plocha: 24 cm2
Pytagorova veta platí aj pre pravouhlý trojuholník. – súčet druhých mocnín oboch nôh sa rovná druhej mocnine prepony.
Vzorec pre oblasť rovnoramenného pravouhlého trojuholníka sa vypočíta rovnakým spôsobom ako pre bežný pravouhlý trojuholník.
Príklad výpočtu plochy rovnoramenného pravouhlého trojuholníka:
Daný trojuholník s nohami a= 4 cm, b= 4 cm. Vypočítajte plochu:
Vypočítajte plochu: = 8 cm 2
Vzorec pre oblasť pravouhlého trojuholníka preponou možno použiť, ak je podmienka daná jednou nohou. Z Pytagorovej vety zistíme dĺžku neznámej nohy. Napríklad vzhľadom na preponu c a nohu a, noha b sa bude rovnať:
Ďalej vypočítajte plochu pomocou obvyklého vzorca. Príklad výpočtu vzorca pre oblasť pravouhlého trojuholníka na základe prepony je identický s tým, ktorý je opísaný vyššie.
Uvažujme o zaujímavom probléme, ktorý pomôže upevniť znalosti vzorcov na riešenie trojuholníka.
Úloha: Plocha pravouhlého trojuholníka je 180 metrov štvorcových. nájdite menšiu časť trojuholníka, ak je o 31 cm menšia ako druhá.
Riešenie: označme nohy a A b. Teraz nahraďme údaje do plošného vzorca: tiež vieme, že jedna noha je menšia ako druhá a – b= 31 cm
Z prvej podmienky to získame
Túto podmienku dosadíme do druhej rovnice: 
Keďže sme našli strany, odstránime znamienko mínus.
Ukazuje sa, že noha a= 40 cm, a b= 9 cm.
Ako si možno pamätáte z učebných osnov o geometrii v škole, trojuholník je obrazec vytvorený z troch segmentov spojených tromi bodmi, ktoré neležia na rovnakej priamke. Trojuholník tvorí tri uhly, odtiaľ názov obrázku. Definícia môže byť iná. Trojuholník možno nazvať aj mnohouholníkom s tromi uhlami, odpoveď bude tiež správna. Trojuholníky sú rozdelené podľa počtu rovnakých strán a veľkosti uhlov na obrázkoch. Trojuholníky sa teda rozlišujú ako rovnoramenné, rovnostranné a skalnaté, ako aj pravouhlé, ostré a tupé.
Existuje veľa vzorcov na výpočet plochy trojuholníka. Vyberte, ako nájsť oblasť trojuholníka, t.j. Ktorý vzorec použijete, je len na vás. Za zmienku však stojí len niektoré zo zápisov, ktoré sa používajú v mnohých vzorcoch na výpočet plochy trojuholníka. Takže, pamätajte:
S je plocha trojuholníka,
a, b, c sú strany trojuholníka,
h je výška trojuholníka,
R je polomer kružnice opísanej,
p je polobvod.
Tu sú základné notácie, ktoré sa vám môžu hodiť, ak ste úplne zabudli na kurz geometrie. Nižšie sú uvedené najzrozumiteľnejšie a nekomplikované možnosti na výpočet neznámej a tajomnej oblasti trojuholníka. Nie je to ťažké a bude to užitočné ako pre potreby vašej domácnosti, tak aj pre pomoc vašim deťom. Pripomeňme si, ako čo najjednoduchšie vypočítať plochu trojuholníka:
V našom prípade je plocha trojuholníka: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm2. Pamätajte, že plocha sa meria v štvorcových centimetroch (cm2).
Pravý trojuholník a jeho plocha.
Pravouhlý trojuholník je trojuholník, v ktorom sa jeden uhol rovná 90 stupňom (preto sa nazýva pravý). Pravý uhol tvoria dve na seba kolmé priamky (v prípade trojuholníka dva na seba kolmé úsečky). V pravouhlom trojuholníku môže byť iba jeden pravý uhol, pretože... súčet všetkých uhlov ktoréhokoľvek trojuholníka sa rovná 180 stupňom. Ukazuje sa, že 2 ďalšie uhly by mali rozdeliť zvyšných 90 stupňov, napríklad 70 a 20, 45 a 45 atď. Takže si pamätáte hlavnú vec, zostáva len zistiť, ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka. Predstavme si, že máme pred sebou takýto pravouhlý trojuholník a potrebujeme nájsť jeho plochu S.
1. Najjednoduchší spôsob určenia plochy pravouhlého trojuholníka sa vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca:
V našom prípade je plocha pravouhlého trojuholníka: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm2.
V zásade už nie je potrebné overovať oblasť trojuholníka inými spôsobmi, pretože Len tento bude užitočný a pomôže v každodennom živote. Existujú však aj možnosti merania plochy trojuholníka cez ostré uhly.
2. Pre iné metódy výpočtu musíte mať tabuľku kosínusov, sínusov a dotyčníc. Posúďte sami, tu je niekoľko možností na výpočet plochy pravouhlého trojuholníka, ktorý je stále možné použiť:
Rozhodli sme sa použiť prvý vzorec a s malými škvrnami (nakreslili sme ho do zošita a použili sme staré pravítko a uhlomer), ale dostali sme správny výpočet:
S = (2,5 x 2,5)/(2 x 0,9) = (3 x 3)/(2 x 1,2). Získali sme nasledujúce výsledky: 3,6=3,7, ale ak vezmeme do úvahy posun buniek, môžeme si túto nuanciu odpustiť.
Rovnoramenný trojuholník a jeho plocha.
Ak stojíte pred úlohou vypočítať vzorec pre rovnoramenný trojuholník, potom najjednoduchším spôsobom je použiť hlavný a to, čo sa považuje za klasický vzorec pre oblasť trojuholníka.
Najprv však pred nájdením oblasti rovnoramenného trojuholníka zistime, o aký druh postavy ide. Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, ktorého dve strany majú rovnakú dĺžku. Tieto dve strany sa nazývajú bočné, tretia strana sa nazýva základňa. Nemýľte si rovnoramenný trojuholník s rovnostranným trojuholníkom, t.j. pravidelný trojuholník so všetkými tromi stranami rovnakými. V takomto trojuholníku nie sú žiadne špeciálne tendencie k uhlom, alebo skôr k ich veľkosti. Avšak uhly v základni v rovnoramennom trojuholníku sú rovnaké, ale líšia sa od uhla medzi rovnakými stranami. Takže už poznáte prvý a hlavný vzorec, zostáva zistiť, aké ďalšie vzorce na určenie oblasti rovnoramenného trojuholníka sú známe.
Trojuholník je plochý geometrický útvar s jedným uhlom rovným 90°. Navyše v geometrii je často potrebné vypočítať plochu takejto postavy. Povieme vám, ako to urobiť ďalej.
Najjednoduchší vzorec na určenie plochy pravouhlého trojuholníka
Počiatočné údaje, kde: a a b sú strany trojuholníka siahajúce z pravého uhla.
To znamená, že plocha sa rovná polovici súčinu dvoch strán, ktoré vychádzajú z pravého uhla. Samozrejme, na výpočet plochy pravidelného trojuholníka sa používa Heronov vzorec, ale na určenie hodnoty potrebujete poznať dĺžku troch strán. V súlade s tým budete musieť vypočítať preponu, a to je čas navyše.
Nájdite oblasť pravouhlého trojuholníka pomocou Heronovho vzorca
Toto je dobre známy a originálny vzorec, ale na to budete musieť vypočítať preponu na dvoch nohách pomocou Pytagorovej vety.
V tomto vzorci: a, b, c sú strany trojuholníka a p je polobvod.
Nájdite oblasť pravouhlého trojuholníka pomocou prepony a uhla
Ak vo vašom probléme nie je známa žiadna z nôh, potom nebudete môcť použiť najjednoduchšiu metódu. Na určenie hodnoty je potrebné vypočítať dĺžku nôh. Dá sa to urobiť jednoducho použitím prepony a kosínusu susedného uhla.
b=c×cos(α)
Keď poznáte dĺžku jednej z nôh, pomocou Pytagorovej vety môžete vypočítať druhú stranu vychádzajúcu z pravého uhla.
b2=c2-a2
V tomto vzorci sú c a a prepona a noha. Teraz môžete vypočítať plochu pomocou prvého vzorca. Rovnakým spôsobom môžete vypočítať jednu z nôh vzhľadom na druhú a uhol. V tomto prípade sa jedna z požadovaných strán bude rovnať súčinu nohy a dotyčnice uhla. Existujú aj iné spôsoby výpočtu plochy, ale s vedomím základných teorémov a pravidiel môžete ľahko nájsť požadovanú hodnotu.
Ak nemáte žiadnu zo strán trojuholníka, ale iba stred a jeden z uhlov, môžete vypočítať dĺžku strán. Ak to chcete urobiť, použite vlastnosti mediánu na rozdelenie pravouhlého trojuholníka na dva. V súlade s tým môže pôsobiť ako prepona, ak vychádza z ostrého uhla. Použite Pytagorovu vetu a určte dĺžku strán trojuholníka vychádzajúcich z pravého uhla.
Ako vidíte, ak poznáte základné vzorce a Pytagorovu vetu, môžete vypočítať plochu pravouhlého trojuholníka, ktorý má iba jeden z uhlov a dĺžku jednej zo strán.
