A palavra “proporção” vem de uma raiz latina e significa “proporção”. As pessoas costumam usá-lo na vida diária. Falam, por exemplo, das proporções do corpo humano ou das proporções na culinária. Hoje vamos descobrir o que os matemáticos querem dizer com esta palavra.
Vamos considerar dois relacionamentos. Lembramos que uma proporção é o quociente de dois números.
Observe que tanto no primeiro quanto no segundo caso o valor do quociente é três. Diante de nós estão dois relacionamentos iguais. Vamos anotar a igualdade.
Quinze está para cinco assim como vinte e quatro está para oito. Essa igualdade é chamada de proporção. Às vezes, essa igualdade é escrita como uma igualdade de frações ordinárias.
Vamos formular uma definição: A igualdade de duas razões é chamada de proporção.
Usando letras, a proporção pode ser escrita:
Atitude a Para b igual à razão c Para d. Às vezes, a proporção é lida de forma diferente: “ a Isso se aplica á b, Como c refere-se a d». Os números envolvidos em uma proporção são chamados de termos da proporção. Todos os termos são considerados diferentes de zero.
Números a E d são chamados de termos extremos da proporção, e os números b E c- membros médios. Na verdade, na primeira variante de escrever o número b E c estão no meio, e os números a E d na borda.
Na proporção discutida anteriormente 
Vamos encontrar o produto de seus termos médios e extremos.
Observe que os dois produtos resultantes são iguais.
Formulemos a propriedade básica da proporção de forma geral.
Na proporção correta, o produto dos termos extremos é igual ao produto dos termos médios.
O inverso também é verdadeiro.
Se o produto dos termos extremos for igual ao produto dos termos médios da proporção, então a proporçãoverdadeiro.
Vamos encontrar o termo desconhecido da proporção, ou seja, resolver a proporção.
Os números 0,5 e 13 são termos extremos; números a e 2 são os termos médios. Vamos usar a propriedade básica da proporção.
Vamos resolver a proporção.
Usando a propriedade básica da proporção, obtemos:
Para se livrar do decimal no denominador, multiplique o numerador e o denominador da fração por 10. Reduza a fração resultante por 4 e novamente por 4.
Verifique se essas proporções estão corretas:
Nesta tarefa, você precisa verificar se a igualdade entre as relações realmente se mantém.
Vamos encontrar o produto das médias e o produto dos extremos para cada proporção. Se os produtos resultantes forem iguais, a proporção está correta. Caso contrário, a proporção está incorreta.
a proporção correta, porque
proporção incorreta, porque .
Se os termos médios ou extremos forem trocados na proporção correta, então as novas proporções resultantes também estarão corretas.
Isto ocorre porque com tal rearranjo o produto dos termos extremos e médios não muda.
Vejamos um exemplo. A partir desta proporção, obtenha duas novas reorganizando os termos extremos e médios. Primeiro, vamos reorganizar os termos médios (Fig. 1).
Arroz. 1. Reorganização dos termos médios
Na verdade, o produto da média e do extremo não mudou, o que significa que a proporção resultante está correta. Vamos reorganizar os termos extremos (Fig. 2).
Arroz. 2. Reorganização de membros extremos
E neste caso, o produto da média e do extremo não mudou. Conseguimos a proporção correta.
Bibliografia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemática 6º ano. - Ginásio. 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Nos bastidores de um livro de matemática. - M.: Educação, 1989.
- Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tarefas para o curso de matemática da 5ª à 6ª série. - M.: ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matemática 5-6. Um manual para alunos do 6º ano da escola por correspondência MEPhI. - M.: ZSH MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matemática: Livro didático-interlocutor para 5ª a 6ª séries do ensino médio. - M.: Educação, Biblioteca de Professores de Matemática, 1989.
- Matemática ().
- Portal da Internet Math-portal.ru ().
Trabalho de casa
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012: Nº 762 (a, d, d), Nº 765, Nº 777.
- Outras tarefas: Nº 767, Nº 775.
(de lat. rgorortio- “comensurabilidade”).
Se a proporção A: b igual à razão Com:d, então a identidade A:b=s:d chamado proporção.
Se , então a igualdade permanecerá nos seguintes casos:
(aumento proporcional),
(diminuição da proporção).
(compondo proporções por adição),
(compondo proporções por subtração).
Observe que traçar proporções é outra forma de resolver problemas que envolvem porcentagens.
Por exemplo:
O estanho é feito de um mineral chamado cassiterita. Quantas toneladas de estanho serão obtidas a partir de 25 toneladas de cassiterita se esta contiver 78% de estanho?
Solução. Deixe-os pegar um pouco de lata. Tomando a massa do mineral como 100%, escrevemos:
Resolvendo 25,78 = 100x descobrimos que x = 19,5t.
O conceito de proporção está intimamente relacionado com a proporcionalidade. Proporcionalidade- esta é uma proporção constante de duas quantidades entre si. Por exemplo, quanto mais pisamos no acelerador de um carro, mais rápido ele irá.
A proporcionalidade pode ser direta ou inversa.
Proporcionalidade direta - o crescimento de um valor acarreta o crescimento de outro.
A proporcionalidade inversa existe quando um aumento em um valor várias vezes diminui outro na mesma quantidade. Continuando do anterior exemplo- proporcionalidade inversa entre o acionamento do pedal do freio e a velocidade do carro - quanto mais pisamos no freio, menor é a velocidade.
3,6:1,2 e 6,3:2,1 são iguais, pois os valores dos quocientes são iguais a 3. Portanto, podemos escrever a igualdade 3,6:1,2 = 6,3:2,1, ou
A igualdade de duas razões é chamada de proporção.
Usando letras, a proporção é escrita assim: a:b = c:d ou
Essas entradas dizem: “A proporção de a para b é igual à proporção de c para d >>
ou “a está para b assim como c está para d >>
.
Em proporção, ou a:b=c:d,
Os números a e d são chamados de termos extremos, e os números b e c são chamados de termos médios. A seguir assumiremos que todos os termos da proporção são diferentes de zero: .
Numa proporção encontramos o produto dos seus termos extremos e o produto dos seus termos médios.
Obtemos 3,6 2,1 = 7,56; 1,2 6,3 = 7,56. Portanto, 3,6 2,1 = 1,2 6,3.
Na proporção correta, o produto dos termos extremos é igual ao produto dos termos médios. A afirmação inversa também é verdadeira: se o produto dos termos extremos for igual ao produto dos termos médios da proporção, então a proporção está correta.
Esta propriedade é chamada de propriedade básica da proporção.
A proporção 20:16 = 5:4 está correta, pois 20 4 = 16 5 = 80. Vamos trocar os termos médios nesta proporção.
Obtemos uma nova proporção: 20:5 = 16:4. Também está correto, pois com tal rearranjo o produto dos extremos e o produto dos termos médios não mudou. Estes produtos não mudarão se os termos extremos na proporção 20:5 = 16:4 forem trocados.
Se os membros intermediários ou extremos forem trocados na proporção correta, as novas proporções resultantes também estarão corretas.
748. Ao reorganizar os termos médios ou extremos da proporção, crie três novas proporções corretas a partir da proporção:
749. Usando a igualdade correta 4 9 = 0,2 180, crie quatro proporções corretas.
P 750. Calcule verbalmente:
751. Qual sinal de ação deve ser substituído em vez de * para obter a igualdade correta:
752. Encontre a proporção das quantidades:
a) 1,5 me 30 cm;
b) 1kg e 250g;
c) 1 hora e 15 minutos;
d) 50 cm 2 e 1 dm 2.
753. os números são iguais a este número. O que é isso número?
754. Que número deve ser adicionado ao numerador e ao denominador de uma fração para obter uma fração?
M 755. Quais das figuras (Fig. 33) são desenvolvimentos:
a) prisma quadrangular; b) prisma triangular; c) uma pirâmide triangular?
756. 50 tiros foram disparados de uma arma, com 5 balas voando além do alvo. Definir.
757. O ângulo A é 30° e o ângulo B é 50°. Que parte do ângulo A é do ângulo B? Quantas vezes o ângulo B é maior que o ângulo A?
758. A brigada foi incumbida de recolher 280 centners de uvas. Ela coletou 350 quintais. Em que porcentagem a equipe excedeu a tarefa? Até que porcentagem a equipe concluiu a tarefa?
759. Bordos e carvalhos foram plantados no parque, com um carvalho para cada 4 bordos. Qual porcentagem de todas as árvores plantadas são bordos? Quantas árvores foram plantadas no parque se 480 bordos foram plantados?
D 760. A proporção está correta:
a) 2,04:0,6 = 2,72:0,8; b) 0,0112:0,28=0,204:0,51?
761. Resolva a equação:
762. De 225 kg de minério foram obtidos 34,2 kg de cobre. Qual é a porcentagem de cobre no minério?
763. 2 horas após sair da estação A, a locomotiva a diesel aumentou sua velocidade em 12 km/h e 5 horas após o início do movimento chegou ao destino B. Qual era a velocidade da locomotiva a diesel no início da viagem, se o a distância de A a B é de 261 km?
764. Se você adicionar 0,8 a um número desconhecido, obterá 1,2. Encontre o número desconhecido.
765. Siga estes passos:
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I.Zhokhov, Matemática para a 6ª série, livro didático para o ensino médio
Planejamento temático-calendário em matemática, vídeo sobre matemática online, download de matemática na escola
