Pravý trojuholník sa v skutočnosti nachádza takmer na každom rohu. Znalosť vlastností daného útvaru, ako aj schopnosť vypočítať jeho plochu sa vám nepochybne bude hodiť nielen pri riešení geometrických úloh, ale aj v životných situáciách.
Geometria trojuholníka
V elementárnej geometrii je pravouhlý trojuholník útvar, ktorý pozostáva z troch spojených segmentov, ktoré zvierajú tri uhly (dva ostré a jeden rovný). Pravý trojuholník je originálna postava, ktorá sa vyznačuje množstvom dôležitých vlastností, ktoré tvoria základ trigonometrie. Na rozdiel od bežného trojuholníka majú strany obdĺžnikového tvaru svoje vlastné názvy:
- Prepona je najdlhšia strana trojuholníka, oproti pravému uhlu.
- Nohy sú segmenty, ktoré tvoria pravý uhol. V závislosti od uvažovaného uhla môže noha k nej priliehať (tvorí tento uhol s preponou) alebo protiľahlá (ležiaca oproti uhlu). Neexistujú žiadne nohy pre iné ako pravé trojuholníky.
Je to pomer nôh a prepony, ktorý tvorí základ trigonometrie: sínusy, dotyčnice a sečny sú definované ako pomer strán pravouhlého trojuholníka.
Pravý trojuholník v realite
Toto číslo sa v skutočnosti rozšírilo. Trojuholníky sa používajú v dizajne a technológii, takže výpočet plochy postavy musia vykonať inžinieri, architekti a dizajnéri. Základy štvorstenov alebo hranolov - trojrozmerných figúrok, ktoré sa ľahko stretávajú v každodennom živote - majú tvar trojuholníka. Okrem toho je štvorec najjednoduchším znázornením „plochého“ pravouhlého trojuholníka v skutočnosti. Štvorec je kovoobrábací, kresliaci, stavebný a tesársky nástroj, ktorý používajú na stavbu uhlov školáci aj inžinieri.
Oblasť trojuholníka
Plocha geometrického útvaru je kvantitatívny odhad toho, aká veľká časť roviny je ohraničená stranami trojuholníka. Oblasť obyčajného trojuholníka možno nájsť piatimi spôsobmi, pomocou Heronovho vzorca alebo pomocou takých premenných, ako je základňa, strana, uhol a polomer vpísanej alebo opísanej kružnice. Najjednoduchší vzorec pre oblasť je vyjadrený takto:
kde a je strana trojuholníka, h je jeho výška.
Vzorec na výpočet plochy pravouhlého trojuholníka je ešte jednoduchší:
kde a a b sú nohy.
V práci s našou online kalkulačkou môžete vypočítať plochu trojuholníka pomocou troch párov parametrov:
- dve nohy;
- noha a priľahlý uhol;
- nohu a opačný uhol.
V problémoch alebo každodenných situáciách dostanete rôzne kombinácie premenných, takže táto forma kalkulačky vám umožňuje vypočítať plochu trojuholníka niekoľkými spôsobmi. Pozrime sa na pár príkladov.
Príklady zo života
Obkladačka
Povedzme, že chcete obložiť steny kuchyne keramickými dlaždicami, ktoré majú tvar pravouhlého trojuholníka. Aby ste mohli určiť spotrebu dlaždíc, musíte zistiť plochu jedného obkladového prvku a celkovú plochu ošetrovaného povrchu. Povedzme, že potrebujete spracovať 7 metrov štvorcových. Dĺžka nôh jedného prvku je 19 cm, potom sa plocha dlaždice bude rovnať:
To znamená, že plocha jedného prvku je 24,5 štvorcových centimetrov alebo 0,01805 štvorcových metrov. Keď poznáte tieto parametre, môžete vypočítať, že na dokončenie 7 metrov štvorcových steny budete potrebovať 7/0,01805 = 387 prvkov obkladových dlaždíc.
Školská úloha
Povedzme, že v školskom geometrickom probléme musíte nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka, pričom viete, že strana jednej nohy je 5 cm a opačný uhol je 30 stupňov. Naša online kalkulačka sa dodáva s ilustráciou zobrazujúcou strany a uhly pravouhlého trojuholníka. Ak strana a = 5 cm, potom jej opačný uhol je uhol alfa, ktorý sa rovná 30 stupňom. Zadajte tieto údaje do formulára kalkulačky a získajte výsledok:
Kalkulačka teda nielen vypočíta plochu daného trojuholníka, ale určí aj dĺžku susedného ramena a prepony, ako aj hodnotu druhého uhla.
Záver
Pravé trojuholníky nájdeme v našich životoch doslova na každom rohu. Určenie oblasti takýchto figúr vám bude užitočné nielen pri riešení školských úloh v geometrii, ale aj pri každodenných a profesionálnych činnostiach.
V závislosti od typu trojuholníka existuje niekoľko možností, ako nájsť jeho plochu. Napríklad na výpočet plochy pravouhlého trojuholníka použite vzorec S= a * b / 2, kde a a b sú jeho nohy. Ak chcete zistiť oblasť rovnoramenného trojuholníka, musíte rozdeliť súčin jeho základne a výšky dvoma. To znamená, že S= b*h / 2, kde b je základňa trojuholníka a h je jeho výška.
Ďalej možno budete musieť vypočítať plochu rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Tu prichádza na pomoc nasledujúci vzorec: S = a* a / 2, kde nohy „a“ a „a“ musia mať nevyhnutne rovnaké hodnoty.
Tiež často musíme vypočítať plochu rovnostranného trojuholníka. Nájdeme ho podľa vzorca: S= a * h/ 2, kde a je strana trojuholníka a h je jeho výška. Alebo podľa tohto vzorca: S= √3/ 4 *a^2, kde a je strana.
Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka
Potrebujete nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka, ale problémové vyhlásenie neuvádza rozmery dvoch jeho nôh naraz? Potom nemôžeme použiť tento vzorec (S= a * b / 2) priamo.
Zvážte niekoľko možných riešení:
- Ak nepoznáte dĺžku jednej vetvy, ale sú uvedené rozmery prepony a druhej vetvy, potom sa obrátime na veľkého Pytagora a pomocou jeho vety (a^2+b^2=c^2) vypočítame dĺžku neznámej nohy a potom ju použijeme na výpočet plochy trojuholníka.
- Ak je daná dĺžka jednej vetvy a sklon uhla oproti nej: dĺžku druhej vetvy zistíme pomocou vzorca - a=b*ctg(C).
- Dané: dĺžka jedného ramena a sklon uhla k nemu priľahlého: na zistenie dĺžky druhého ramena použijeme vzorec - a=b*tg(C).
- A nakoniec, vzhľadom na: uhol a dĺžku prepony: dĺžku oboch jej ramien vypočítame pomocou nasledujúcich vzorcov - b=c*sin(C) a a=c*cos(C).
Ako nájsť oblasť rovnoramenného trojuholníka
Oblasť rovnoramenného trojuholníka sa dá veľmi ľahko a rýchlo nájsť pomocou vzorca S= b*h / 2, ale ak jeden z ukazovateľov chýba, úloha sa stáva oveľa komplikovanejšou. Koniec koncov, je potrebné vykonať ďalšie akcie.
Možné možnosti úloh:
- Dané: dĺžka jednej zo strán a dĺžka základne. Pomocou Pytagorovej vety zistíme výšku, teda dĺžku druhej nohy. Za predpokladu, že dĺžka základne delená dvoma je noha a pôvodne známa strana je prepona.
- Dané: základňa a uhol medzi stranou a základňou. Výšku vypočítame pomocou vzorca h=c*ctg(B)/2 (nezabudnite stranu „c“ vydeliť dvomi).
- Vzhľadom na: výšku a uhol, ktorý zvierala základňa a strana: na zistenie výšky použijeme vzorec c=h*tg(B)*2 a výsledok vynásobíme dvomi. Ďalej vypočítame plochu.
- Známe: dĺžka strany a uhol medzi ňou a výškou. Riešenie: pomocou vzorcov - c=a*sin(C)*2 a h=a*cos(C) nájdeme základňu a výšku, podľa ktorej vypočítame plochu.
Ako nájsť oblasť rovnoramenného pravouhlého trojuholníka
Ak sú známe všetky údaje, potom pomocou štandardného vzorca S= a* a / 2 vypočítame plochu rovnoramenného pravouhlého trojuholníka, ale ak niektoré indikátory nie sú v probléme uvedené, vykonajú sa ďalšie akcie.
Napríklad: nepoznáme dĺžky oboch strán (pamätáme si, že v rovnoramennom pravouhlom trojuholníku sú rovnaké), ale dĺžka prepony je daná. Aplikujme Pytagorovu vetu na nájdenie rovnakých strán „a“ a „a“. Pytagorejský vzorec: a^2+b^2=c^2. V prípade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka sa transformuje na toto: 2a^2 = c^2. Ukazuje sa, že ak chcete nájsť rameno „a“, musíte vydeliť dĺžku prepony odmocninou 2. Výsledkom riešenia bude dĺžka oboch ramien rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Ďalej nájdeme oblasť.
Ako nájsť oblasť rovnostranného trojuholníka
Pomocou vzorca S= √3/ 4*a^2 môžete ľahko vypočítať obsah rovnostranného trojuholníka. Ak je známy polomer kružnice opísanej trojuholníku, potom plochu môžeme nájsť pomocou vzorca: S= 3√3/ 4*R^2, kde R je polomer kružnice.
V elementárnej geometrii je pravouhlý trojuholník útvar pozostávajúci z troch segmentov spojených v bodoch, z ktorých dva sú ostré a jeden rovný (to znamená 90°). Správny trojuholník sa vyznačuje množstvom dôležitých vlastností, z ktorých mnohé tvoria základ trigonometrie (napríklad vzťah medzi jej stranami a uhlami). Už od školy všetci vieme počítať oblasť pravouhlého trojuholníka a v každodennom živote sa s touto geometrickou postavou stretávame pomerne často, niekedy bez toho, aby sme si to všimli. V technike nachádza pomerne široké uplatnenie a preto musia inžinieri, dizajnéri a architekti často takýto problém riešiť.
Architekti musia určiť túto hodnotu, keď navrhujú budovy s štítmi, ktoré sú dokončením fasád a majú trojuholníkový tvar ohraničený rímsou a po stranách šikminami strechy. Uhol medzi svahmi je často rovný av takýchto prípadoch má štítok tvar pravouhlého trojuholníka. Jeho plochu je potrebné určiť z jednoduchého dôvodu, že je potrebné presne poznať množstvo stavebného materiálu potrebného na jeho usporiadanie. Treba poznamenať, že štíty sú povinnými prvkami nízkopodlažných budov (vidiecke domy, chaty, chaty).
Nájdenie oblasti pravouhlého trojuholníka
| S | ab |
a- noha
b- noha
S- oblasť pravouhlého trojuholníka
Formulár správny trojuholník majú veľa detailov, z ktorých sa vyrába moderný nábytok. Ako viete, aby sa čo najefektívnejšie využil priestor v miestnosti, všetky prvky zariadenia musia byť v nej umiestnené optimálnym spôsobom. Plochy, ako sú rohy, môžete dobre využiť pomocou stolov trojuholníkového tvaru, ktorých vrcholy sú vo väčšine prípadov pravouhlé trojuholníky s nohami priliehajúcimi k stenám. Pri navrhovaní a výpočte týchto prvkov používajú dizajnéri výroby nábytku vzorec, podľa ktorého nájdenie oblasti pravouhlého trojuholníka sa vykonáva na základe dĺžky jeho strán. Okrem toho musia často vyvíjať návrhy stolov pripevnených priamo na steny, ktorých súčasťou sú nosné prvky, ktoré tiež predstavujú pravouhlé trojuholníky.
Stavitelia, ktorí sa zaoberajú obkladovými prácami, musia vo svojej profesionálnej činnosti často používať keramické dlaždice v tvare pravouhlého trojuholníka s nohami rovnakej alebo rôznej dĺžky. Musia tiež určiť oblasť týchto prvkov, aby zistili požadovaný počet.
Formulár správny trojuholník Má tiež taký dôležitý a potrebný merací nástroj, akým je štvorec. Používa sa na konštrukciu a ovládanie pravých uhlov a používa sa veľmi široko a mnohými: od bežných školákov na hodinách geometrie až po dizajnérov špičkových technológií.
Ako si možno pamätáte z učebných osnov o geometrii v škole, trojuholník je obrazec vytvorený z troch segmentov spojených tromi bodmi, ktoré neležia na rovnakej priamke. Trojuholník tvorí tri uhly, odtiaľ názov obrázku. Definícia môže byť iná. Trojuholník možno nazvať aj mnohouholníkom s tromi uhlami, odpoveď bude tiež správna. Trojuholníky sú rozdelené podľa počtu rovnakých strán a veľkosti uhlov na obrázkoch. Trojuholníky sa teda rozlišujú ako rovnoramenné, rovnostranné a skalnaté, ako aj pravouhlé, ostré a tupé.
Existuje veľa vzorcov na výpočet plochy trojuholníka. Vyberte, ako nájsť oblasť trojuholníka, t.j. Ktorý vzorec použijete, je len na vás. Za zmienku však stojí len niektoré zo zápisov, ktoré sa používajú v mnohých vzorcoch na výpočet plochy trojuholníka. Takže, pamätajte:
S je plocha trojuholníka,
a, b, c sú strany trojuholníka,
h je výška trojuholníka,
R je polomer kružnice opísanej,
p je polobvod.
Tu sú základné notácie, ktoré sa vám môžu hodiť, ak ste úplne zabudli na kurz geometrie. Nižšie sú uvedené najzrozumiteľnejšie a nekomplikované možnosti na výpočet neznámej a tajomnej oblasti trojuholníka. Nie je to ťažké a bude to užitočné ako pre potreby vašej domácnosti, tak aj pre pomoc vašim deťom. Pripomeňme si, ako čo najjednoduchšie vypočítať plochu trojuholníka:
V našom prípade je plocha trojuholníka: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm2. Pamätajte, že plocha sa meria v štvorcových centimetroch (cm2).
Pravý trojuholník a jeho plocha.
Pravouhlý trojuholník je trojuholník, v ktorom sa jeden uhol rovná 90 stupňom (preto sa nazýva pravý). Pravý uhol tvoria dve na seba kolmé priamky (v prípade trojuholníka dva na seba kolmé úsečky). V pravouhlom trojuholníku môže byť iba jeden pravý uhol, pretože... súčet všetkých uhlov ktoréhokoľvek trojuholníka sa rovná 180 stupňom. Ukazuje sa, že 2 ďalšie uhly by mali rozdeliť zvyšných 90 stupňov, napríklad 70 a 20, 45 a 45 atď. Takže si pamätáte hlavnú vec, zostáva len zistiť, ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka. Predstavme si, že máme pred sebou takýto pravouhlý trojuholník a potrebujeme nájsť jeho plochu S.
1. Najjednoduchší spôsob určenia plochy pravouhlého trojuholníka sa vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca:
V našom prípade je plocha pravouhlého trojuholníka: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm2.
V zásade už nie je potrebné overovať oblasť trojuholníka inými spôsobmi, pretože Len tento bude užitočný a pomôže v každodennom živote. Existujú však aj možnosti merania plochy trojuholníka cez ostré uhly.
2. Pre iné metódy výpočtu musíte mať tabuľku kosínusov, sínusov a dotyčníc. Posúďte sami, tu je niekoľko možností na výpočet plochy pravouhlého trojuholníka, ktorý je stále možné použiť:
Rozhodli sme sa použiť prvý vzorec a s malými škvrnami (nakreslili sme ho do zošita a použili sme staré pravítko a uhlomer), ale dostali sme správny výpočet:
S = (2,5 x 2,5)/(2 x 0,9) = (3 x 3)/(2 x 1,2). Získali sme nasledujúce výsledky: 3,6=3,7, ale ak vezmeme do úvahy posun buniek, môžeme si túto nuanciu odpustiť.
Rovnoramenný trojuholník a jeho plocha.
Ak stojíte pred úlohou vypočítať vzorec pre rovnoramenný trojuholník, potom najjednoduchším spôsobom je použiť hlavný a to, čo sa považuje za klasický vzorec pre oblasť trojuholníka.
Najprv však pred nájdením oblasti rovnoramenného trojuholníka zistime, o aký druh postavy ide. Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, ktorého dve strany majú rovnakú dĺžku. Tieto dve strany sa nazývajú bočné, tretia strana sa nazýva základňa. Nemýľte si rovnoramenný trojuholník s rovnostranným trojuholníkom, t.j. pravidelný trojuholník so všetkými tromi stranami rovnakými. V takomto trojuholníku nie sú žiadne špeciálne tendencie k uhlom, alebo skôr k ich veľkosti. Avšak uhly v základni v rovnoramennom trojuholníku sú rovnaké, ale líšia sa od uhla medzi rovnakými stranami. Takže už poznáte prvý a hlavný vzorec, zostáva zistiť, aké ďalšie vzorce na určenie oblasti rovnoramenného trojuholníka sú známe.
Trojuholník je plochý geometrický útvar s jedným uhlom rovným 90°. Navyše v geometrii je často potrebné vypočítať plochu takejto postavy. Povieme vám, ako to urobiť ďalej.
Najjednoduchší vzorec na určenie plochy pravouhlého trojuholníka
Počiatočné údaje, kde: a a b sú strany trojuholníka siahajúce z pravého uhla.
To znamená, že plocha sa rovná polovici súčinu dvoch strán, ktoré vychádzajú z pravého uhla. Samozrejme, na výpočet plochy pravidelného trojuholníka sa používa Heronov vzorec, ale na určenie hodnoty potrebujete poznať dĺžku troch strán. V súlade s tým budete musieť vypočítať preponu, a to je čas navyše.
Nájdite oblasť pravouhlého trojuholníka pomocou Heronovho vzorca
Toto je dobre známy a originálny vzorec, ale na to budete musieť vypočítať preponu na dvoch nohách pomocou Pytagorovej vety.
V tomto vzorci: a, b, c sú strany trojuholníka a p je polobvod.
Nájdite oblasť pravouhlého trojuholníka pomocou prepony a uhla
Ak vo vašom probléme nie je známa žiadna z nôh, potom nebudete môcť použiť najjednoduchšiu metódu. Na určenie hodnoty je potrebné vypočítať dĺžku nôh. Dá sa to urobiť jednoducho použitím prepony a kosínusu susedného uhla.
b=c×cos(α)
Keď poznáte dĺžku jednej z nôh, pomocou Pytagorovej vety môžete vypočítať druhú stranu vychádzajúcu z pravého uhla.
b2=c2-a2
V tomto vzorci sú c a a prepona a noha. Teraz môžete vypočítať plochu pomocou prvého vzorca. Rovnakým spôsobom môžete vypočítať jednu z nôh vzhľadom na druhú a uhol. V tomto prípade sa jedna z požadovaných strán bude rovnať súčinu nohy a dotyčnice uhla. Existujú aj iné spôsoby výpočtu plochy, ale s vedomím základných teorémov a pravidiel môžete ľahko nájsť požadovanú hodnotu.
Ak nemáte žiadnu zo strán trojuholníka, ale iba stred a jeden z uhlov, môžete vypočítať dĺžku strán. Ak to chcete urobiť, použite vlastnosti mediánu na rozdelenie pravouhlého trojuholníka na dva. V súlade s tým môže pôsobiť ako prepona, ak vychádza z ostrého uhla. Použite Pytagorovu vetu a určte dĺžku strán trojuholníka vychádzajúcich z pravého uhla.
Ako vidíte, ak poznáte základné vzorce a Pytagorovu vetu, môžete vypočítať plochu pravouhlého trojuholníka, ktorý má iba jeden z uhlov a dĺžku jednej zo strán.
