Maqolada biz uning qanday ko'rinishini to'liq tushunamiz trigonometrik qiymatlar jadvali, sinus, kosinus, tangens va kotangens. Trigonometrik funksiyalarning asosiy ma'nosini 0,30,45,60,90,...,360 gradus burchakdan ko'rib chiqamiz. Keling, trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini hisoblashda ushbu jadvallardan qanday foydalanishni ko'rib chiqaylik.
Avval ko'rib chiqaylik kosinus, sinus, tangens va kotangens jadvali 0, 30, 45, 60, 90,... daraja burchakdan. Ushbu miqdorlarning ta'rifi bizga 0 va 90 daraja burchaklar funktsiyalarining qiymatini aniqlash imkonini beradi:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, 00 dan kotangens aniqlanmagan bo'ladi.
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, 90 0 dan tangens noaniq bo'ladi
Agar siz burchaklari 30 dan 90 darajagacha bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchaklarni olsangiz. Biz olamiz:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, karyola 60 0 = √3/3
Keling, barcha olingan qiymatlarni shaklda ifodalaylik trigonometrik jadval:
Sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali!
Agar biz qisqartirish formulasidan foydalansak, jadvalimiz 360 gradusgacha bo'lgan burchaklar uchun qiymatlarni qo'shib ortadi. Bu shunday ko'rinadi:
Shuningdek, davriylik xususiyatlaridan kelib chiqib, agar burchaklarni 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z bilan almashtirsak, jadvalni oshirish mumkin, bunda z butun sondir. Ushbu jadvalda bitta doiradagi nuqtalarga mos keladigan barcha burchaklarning qiymatini hisoblash mumkin.
Keling, jadvalni eritmada qanday ishlatishni ko'rib chiqaylik.
Hammasi juda oddiy. Bizga kerak bo'lgan qiymat bizga kerak bo'lgan hujayralarning kesishish nuqtasida joylashganligi sababli. Masalan, 60 graduslik burchakning kos qiymatini oling, jadvalda u quyidagicha ko'rinadi:
Trigonometrik funktsiyalarning asosiy qiymatlarining yakuniy jadvalida biz xuddi shu tarzda harakat qilamiz. Lekin bu jadvalda 1020 gradus burchakdan tangens qancha ekanligini bilish mumkin, u = -√3 1020 0 = 300 0 +360 0 *2 ni tekshiramiz. Keling, uni jadval yordamida topamiz.
Bradis stoli. Sinus, kosinus, tangens va kotangens uchun.
Bradis jadvallari bir necha qismlarga bo'lingan bo'lib, ular kosinus va sinus, tangens va kotangens jadvallaridan iborat - ular ikki qismga bo'lingan (tg 90 gradusgacha bo'lgan burchaklar va ctg kichik burchaklar).
Sinus va kosinus
tg burchak 00 dan boshlanib, 760 bilan tugaydi, ctg 140 dan boshlanib, 900 bilan tugaydi.
tg gacha 900 va ctg kichik burchaklar.
Keling, muammolarni hal qilishda Bradis jadvallaridan qanday foydalanishni aniqlaymiz.
Keling, sin belgisini topamiz (chap chetidagi ustundagi belgi) 42 daqiqa (belgi yuqori qatorda). Kesishish orqali biz belgini qidiramiz, u = 0,3040.
Daqiqa qiymatlari olti daqiqalik interval bilan ko'rsatilgan, agar bizga kerak bo'lgan qiymat aynan shu oraliqda bo'lsa, nima qilish kerak. Keling, 44 daqiqani olaylik, lekin jadvalda faqat 42 bor. Biz 42 ni asos qilib olamiz va o'ng tarafdagi qo'shimcha ustunlardan foydalanamiz, 2-tuzatishni olamiz va 0,3040 + 0,0006 ga qo'shamiz, biz 0,3046 ni olamiz.
Gunoh 47 daqiqa bilan biz 48 daqiqani asos qilib olamiz va undan 1 tuzatishni ayiramiz, ya'ni 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
Kosni hisoblashda biz gunohga o'xshash ishlaymiz, faqat jadvalning pastki qatorini asos qilib olamiz. Masalan, cos 20 0 = 0,9397
90 0 gacha bo'lgan tg burchagi va kichik burchakning karyolasi qiymatlari to'g'ri va ularda tuzatishlar yo'q. Masalan, tg 78 0 37min = 4,967 ni toping 
va ctg 20 0 13min = 25,83 
Xo'sh, biz asosiy trigonometrik jadvallarni ko'rib chiqdik. Umid qilamizki, bu ma'lumot siz uchun juda foydali bo'ldi. Jadvallar haqida savollaringiz bo'lsa, ularni sharhlarda yozishni unutmang!
Eslatma: Devor bamperlari devorlarni himoya qilish uchun bamper taxtasi. Havolaga rioya qiling ramkasiz devor bamperlari (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) va ko'proq bilib oling.
Burchakning daraja o'lchovi. Radian burchak o'lchovi. Darajani radianga va aksincha aylantirish.
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)
Oldingi darsda biz trigonometrik doiradagi burchaklarni o'lchashni o'rgangan edik. Ijobiy va manfiy burchaklarni hisoblashni o'rgandi. Biz 360 darajadan katta burchakni chizishni o'rgandik. Burchaklarni qanday o'lchash kerakligini aniqlash vaqti keldi. Ayniqsa, qiyin vazifalarda bizni chalg'itishga intiladigan "Pi" raqami bilan, ha ...
“Pi” soni bilan trigonometriyadagi standart masalalar yaxshi yechilgan. Vizual xotira yordam beradi. Ammo shablondan har qanday og'ish - bu falokat! Yiqilishning oldini olish uchun - tushunish zarur. Endi biz muvaffaqiyat bilan nima qilamiz. Aytmoqchimanki, biz hamma narsani tushunamiz!
Shunday qilib, nimada burchaklar hisobga olinadimi? Maktab trigonometriyasi kursida ikkita o'lchov qo'llaniladi: burchakning daraja o'lchovi Va radian burchak o'lchovi. Keling, ushbu choralarni ko'rib chiqaylik. Busiz trigonometriyada hech qanday joy yo'q.
Burchakning daraja o'lchovi.
Biz negadir darajalarga ko‘nikdik. Biz hech bo'lmaganda geometriyadan o'tdik ... Va hayotda biz, masalan, "180 daraja burilish" iborasini tez-tez uchratamiz. Muxtasar qilib aytganda, ilmiy daraja oddiy narsa...
Ha? Unda menga javob bering daraja nima? Nima, u darhol ishlamayaptimi? Bo'ldi shu...
Darajalar Qadimgi Bobilda ixtiro qilingan. Bu ancha vaqt oldin edi... 40 asr oldin... Va ular oddiy bir fikrga kelishdi. Ular aylanani olib, 360 ta teng qismga bo'lishdi. 1 daraja aylananing 1/360 qismidir. Va tamom. Ular uni 100 bo'lakka bo'lishlari mumkin edi. Yoki 1000. Lekin ular uni 360 ga bo'lishdi. Aytgancha, nima uchun aynan 360? Qanday qilib 360 100 dan yaxshiroq? 100 qandaydir yumshoqroq ko'rinadi... Bu savolga javob berishga harakat qiling. Yoki Qadimgi Bobilga qarshi kuchsizmi?
Qadimgi Misrda bir vaqtning o'zida ularni boshqa savol qiynagan. Doira uzunligi uning diametrining uzunligidan necha marta katta? Va ular buni shunday o'lchashdi, va bu tarzda ... Hammasi uchtadan bir oz ko'proq bo'lib chiqdi. Lekin negadir shaggy, notekis bo'lib chiqdi ... Lekin ular, misrliklar, aybdor emaslar. Ulardan keyin yana 35 asr azob chekdilar. Ular oxir-oqibat aylanani teng bo'laklarga bo'lishingizdan qat'iy nazar, bunday bo'laklardan yasashingiz mumkinligini isbotlamaguncha silliq diametrining uzunligi mumkin emas ... Asos sifatida, bu mumkin emas. Xo'sh, aylana diametridan necha marta katta ekanligi aniqlandi, albatta. Taxminan. 3,1415926... marta.
Bu "Pi" raqami. Shunchalik shag'al, juda shaggy. O'nli kasrdan keyin hech qanday tartibsiz cheksiz sonlar mavjud... Bunday sonlar irratsional deb ataladi. Aytgancha, bu aylananing teng qismlaridan diametrini anglatadi silliq katlamang. Hech qachon.
Amaliy foydalanish uchun kasrdan keyin faqat ikkita raqamni eslab qolish odatiy holdir. Eslab qoling:
Doira aylanasi uning diametridan “Pi” marta katta ekanligini tushunganimiz sababli, aylana aylanasi formulasini eslab qolish mantiqan to'g'ri keladi:
Qayerda L- aylana va d- uning diametri.
Geometriyada foydali.
Umumiy ta'lim uchun men "Pi" raqami nafaqat geometriyada topilganligini qo'shib qo'yaman ... Matematikaning turli sohalarida va ayniqsa, ehtimollik nazariyasida bu raqam doimiy ravishda paydo bo'ladi! O'z-o'zidan. Bizning istaklarimizdan tashqari. Mana bunday.
Ammo darajalarga qaytaylik. Qadimgi Bobilda aylana nima uchun 360 ta teng qismga bo'linganligini tushundingizmi? Va, masalan, 100 emasmi? Yo'qmi? Ha mayli. Men sizga versiyani beraman. Qadimgi bobilliklardan so'rash mumkin emas ... Qurilish uchun, yoki, aytaylik, astronomiya, aylanani teng qismlarga bo'lish qulay. Endi u qanday raqamlarga bo'linishini aniqlang butunlay 100 va qaysi biri - 360? Va bu bo'linuvchilarning qaysi versiyasida butunlay- Ko'proq? Ushbu bo'linma odamlar uchun juda qulaydir. Lekin...
Qadimgi Bobildan ancha kechroq ma'lum bo'lishicha, hamma ham darajalarni yoqtirmaydi. Oliy matematika ularni yoqtirmaydi... Oliy matematika tabiat qonunlari asosida tashkil etilgan jiddiy xonim. Va bu xonim e'lon qiladi: "Bugun siz aylanani 360 qismga ajratdingiz, ertaga uni 100 ga, ertaga 245 ga bo'lasiz ... Va men nima qilishim kerak? Yo'q, haqiqatan ham ... "Men tinglashim kerak edi. Tabiatni alday olmaysiz...
Biz inson ixtirolariga bog'liq bo'lmagan burchak o'lchovini kiritishimiz kerak edi. Uchrashuv - radian!
Radian burchak o'lchovi.
Radian nima? Radianning ta'rifi hali ham aylanaga asoslangan. 1 radian burchak - uzunligi () bo'lgan aylanadan yoyni kesuvchi burchak. L) radius uzunligiga teng ( R). Keling, rasmlarni ko'rib chiqaylik.
Bunday kichik burchak, u deyarli yo'q ... Biz kursorni rasm ustiga siljitamiz (yoki planshetdagi rasmga tegamiz) va biz taxminan bittasini ko'ramiz. radian. L = R
Farqni his qilyapsizmi?
Bir radian bir darajadan ko'p. Necha marta?
Keling, keyingi rasmga qaraylik. Uning ustiga men yarim doira chizdim. Ochilmagan burchak tabiiy ravishda 180 ° dir.
Endi men bu yarim doirani radianlarga kesib tashlayman! Biz kursorni rasm ustiga olib boramiz va 180 ° 3 yarim radianga to'g'ri kelishini ko'ramiz.
Bu dum nimaga teng ekanligini kim taxmin qila oladi!?
Ha! Bu quyruq 0,1415926.... Salom, "Pi" raqami, biz sizni hali unutganimiz yo'q!
Darhaqiqat, 180 ° gradus 3,1415926 ... radianni o'z ichiga oladi. O'zingiz tushunganingizdek, har doim 3.1415926 yozish ... noqulay. Shuning uchun, bu cheksiz son o'rniga, ular har doim oddiygina yozadilar:
Ammo Internetda raqam
Yozish noqulay ... Shuning uchun uning ismini matnga yozaman - "Pi". Adashib qolmang, xo'pmi?...
Endi biz taxminiy tenglikni to'liq ma'noli tarzda yozishimiz mumkin:
Yoki aniq tenglik:
Keling, bir radianda nechta daraja borligini aniqlaymiz. Qanaqasiga? Osonlik bilan! Agar 3,14 radianda 180 ° daraja bo'lsa, u holda 1 radianda 3,14 marta kamroq bo'ladi! Ya'ni, birinchi tenglamani (formula ham tenglama!) 3,14 ga bo'lamiz:
Bu nisbatni eslab qolish foydalidir.Bir radian taxminan 60° ga teng. Trigonometriyada siz tez-tez vaziyatni taxmin qilishingiz va baholashingiz kerak. Bu erda bu bilim ko'p yordam beradi.
Ammo bu mavzuning asosiy mahorati darajalarni radianga aylantirish va aksincha.
Agar burchak "Pi" raqami bilan radianlarda berilgan bo'lsa, hamma narsa juda oddiy. Biz bilamizki, "Pi" radianlari = 180 °. Shunday qilib, biz "Pi" uchun radianlarni almashtiramiz - 180 °. Biz burchakni darajalarda olamiz. Biz qisqartirilgan narsani kamaytiramiz va javob tayyor. Misol uchun, biz qancha ekanligini aniqlashimiz kerak daraja"Pi" / 2 burchagida radian? Shunday qilib, biz yozamiz:
Yoki yanada ekzotik ifoda:
Oson, to'g'rimi?
Teskari tarjima biroz murakkabroq. Lekin ko'p emas. Agar burchak darajalarda berilgan bo'lsa, biz bir daraja radianlarda nimaga teng ekanligini aniqlashimiz va bu raqamni darajalar soniga ko'paytirishimiz kerak. Radianlarda 1° nimaga teng?
Biz formulaga qaraymiz va agar 180 ° = "Pi" radian bo'lsa, 1 ° 180 marta kichik ekanligini tushunamiz. Yoki boshqacha qilib aytganda, tenglamani (formula ham tenglamadir!) 180 ga bo'lamiz. “Pi”ni 3.14 deb ko'rsatishning hojati yo'q, baribir u har doim harf bilan yoziladi. Biz bir darajaga teng ekanligini topamiz:
Ana xolos. Biz bu qiymatga darajalar sonini ko'paytiramiz va burchakni radianlarda olamiz. Masalan:
Yoki shunga o'xshash:
Ko'rib turganingizdek, lirik chekinishlar bilan bemalol suhbatda radianlar juda oddiy ekanligi ma'lum bo'ldi. Tarjima esa hech qanday muammo emas... Va "Pi" butunlay chidab bo'ladigan narsa ... Xo'sh, chalkashlik qaerdan kelib chiqadi!?
Men sirni ochib beraman. Gap shundaki, trigonometrik funktsiyalarda daraja belgisi yoziladi. Har doim. Masalan, sin35°. Bu sinus 35 daraja . Va radian belgisi ( xursand) - yozilmagan! Bu nazarda tutilgan. Yo matematiklarni dangasalik bosib ketdimi, yo boshqa narsa... Lekin yozmaslikka qaror qilishdi. Agar sinus-kotangens ichida belgilar bo'lmasa, u holda burchak radianlarda ! Masalan, cos3 uchta kosinusdir radianlar .
Bu chalkashlikka olib keladi ... Bir kishi "Pi" ni ko'radi va 180 ° ekanligiga ishonadi. Istalgan vaqtda va istalgan joyda. Aytgancha, bu ishlaydi. Hozircha misollar standartdir. Ammo "Pi" bu raqam! Raqam 3.14, lekin daraja emas! Bu "Pi" radianlari = 180 °!
Yana bir bor: "Pi" - bu raqam! 3.14. Mantiqsiz, lekin raqam. 5 yoki 8 bilan bir xil. Masalan, "Pi" qadamlarini bajarishingiz mumkin. Uch qadam va bir oz ko'proq. Yoki "Pi" kilogramm konfet sotib oling. Agar ziyoli sotuvchi duch kelsa...
"Pi" - bu raqam! Nima, bu ibora bilan sizni bezovta qildimmi? Siz allaqachon hamma narsani allaqachon tushunganmisiz? Ha mayli. Keling, tekshiramiz. Ayting-chi, qaysi raqam kattaroq?
Yoki nima kamroq?
Bu sizni aqldan ozdirishi mumkin bo'lgan bir qator nostandart savollardan biridir...
Agar siz ham ahmoq bo'lib qolgan bo'lsangiz, afsunni eslang: "Pi" - bu raqam! 3.14. Birinchi sinusda burchak ekanligi aniq ko'rsatilgan darajalarda! Shuning uchun, "Pi" ni 180 ° ga almashtirish mumkin emas! "Pi" darajalari taxminan 3,14 ° dir. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:
Ikkinchi sinusda yozuvlar yo'q. Shunday qilib, u erda - radianlar! Bu erda "Pi" ni 180 ° ga almashtirish juda yaxshi ishlaydi. Yuqorida yozilganidek, radianlarni darajaga aylantirsak, biz quyidagilarni olamiz:
Bu ikki sinusni solishtirish qoladi. Nima. qanday qilib unutdingizmi? Albatta, trigonometrik doiradan foydalanish! Doira chizing, 60° va 1,05° ga yaqin burchaklarni chizing. Keling, bu burchaklarning sinuslari qanday ekanligini ko'rib chiqaylik. Qisqasi, hamma narsa trigonometrik doira haqidagi mavzu oxirida tasvirlangan. Aylanada (hatto egri bo'lsa ham!) Bu aniq ko'rinadi sin60° dan sezilarli darajada ko'p sin1,05°.
Biz kosinuslar bilan xuddi shunday qilamiz. Doira ustida taxminan 4 ga teng burchaklarni chizing daraja va 4 radian(1 radian taxminan nimaga teng ekanligini unutdingizmi?). Doira hamma narsani aytadi! Albatta, cos4 cos4° dan kichik.
Keling, burchak o'lchovlari yordamida mashq qilaylik.
Bu burchaklarni gradusdan radianga aylantiring:
360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°
Siz bu qiymatlarni radyanlarda olishingiz kerak (boshqa tartibda!)
| 0 | ||||
Aytgancha, men javoblarni ikkita qatorda alohida ta'kidladim. Xo'sh, birinchi qatorda qanday burchaklar borligini aniqlaylik? Hech bo'lmaganda darajalarda, hech bo'lmaganda radyanlarda?
Ha! Bular koordinata tizimining o'qlari! Agar trigonometrik doiraga qarasangiz, u holda bu qiymatlar bilan burchakning harakatlanuvchi tomoni o'qlarga to'liq mos keladi. Bu qadriyatlarni bilish kerak. Va men yaxshi sabablarga ko'ra 0 daraja (0 radian) burchagini qayd etdim. Va keyin ba'zi odamlar shunchaki aylanada bu burchakni topa olmaydilar ... Va shunga ko'ra, ular nolning trigonometrik funktsiyalarida chalkashib ketishadi ... Yana bir narsa, harakatlanuvchi tomonning nol gradusdagi pozitsiyasi pozitsiyasiga to'g'ri keladi. 360 ° da, shuning uchun yaqin doirada har doim tasodiflar mavjud.
Ikkinchi qatorda ham maxsus burchaklar mavjud ... Bu 30 °, 45 ° va 60 °. Va ularning o'ziga xos xususiyati nimada? Hech qanday maxsus narsa yo'q. Bu burchaklarning boshqalardan farqi shundaki, siz bu burchaklar haqida bilishingiz kerak Hammasi. Va ular qayerda joylashgan va bu burchaklar qanday trigonometrik funktsiyalarga ega. Keling, qiymatni aytaylik sin100° bilishingiz shart emas. A sin45°- iltimos, juda mehribon bo'ling! Bu majburiy bilimdir, ularsiz trigonometriyada hech qanday ish yo'q ... Lekin bu haqda keyingi darsda ko'proq.
Hozircha mashg'ulotlarni davom ettiramiz. Bu burchaklarni radiandan gradusga aylantiring:
Siz shunday natijalarga erishishingiz kerak (tartibsizlikda):
210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.
Bo'ldimi? Shunda biz buni taxmin qilishimiz mumkin darajalarni radianga va orqaga aylantirish- endi sizning muammoingiz emas.) Lekin burchaklarni tarjima qilish trigonometriyani tushunish uchun birinchi qadamdir. U erda siz sinuslar va kosinuslar bilan ishlashingiz kerak. Tangentlar va kotangentlar bilan ham ...
Ikkinchi kuchli qadam trigonometrik doiradagi har qanday burchakning o'rnini aniqlash qobiliyati. Ham darajalarda, ham radianlarda. Men sizga trigonometriya boʻylab shu mahorat haqida zerikarli maslahatlar beraman, ha...) Agar trigonometrik doira va trigonometrik doiradagi burchaklarni oʻlchash haqida hamma narsani bilsangiz (yoki hamma narsani bilaman deb oʻylaysiz), buni tekshirib koʻrishingiz mumkin. Ushbu oddiy vazifalarni hal qiling:
1. Burchaklar qaysi chorakga to'g'ri keladi?
45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?
Osonmi? Davom etaylik:
2. Burchaklar qaysi chorakka to'g'ri keladi:
402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?
Muammo ham yo'qmi? Xo'sh, qarang ...)
3. Burchaklarni choraklarga joylashtirishingiz mumkin:
Bajara olasizmi? Xo'sh, berasiz..)
4. Burchak qaysi o‘qlarga tushadi:
va burchak:
Bu ham osonmi? Hm...)
5. Burchaklar qaysi chorakka to'g'ri keladi?
Va u ishladi!? Xo'sh, men haqiqatan ham bilmayman ...)
6. Burchaklar qaysi chorakka to'g'ri kelishini aniqlang:
1, 2, 3 va 20 radian.
Men oxirgi vazifaning oxirgi savoliga javob beraman (bu biroz qiyin). Birinchi chorakda 20 radianlik burchak tushadi.
Qolgan javoblarni ochko'zlikdan emas, bermayman.) Oddiygina, agar siz qaror qilmagan nimadur siz bunga shubha qilasiz natijada yoki 4-sonli vazifaga sarflanadi 10 soniyadan ortiq, siz aylanada yomon yo'naltirilgansiz. Bu barcha trigonometriyada sizning muammoingiz bo'ladi. Undan darhol qutulish yaxshiroqdir (muammo, trigonometriya emas!). Buni mavzu bo'yicha bajarish mumkin: 555-bo'limda trigonometrik doira bilan amaliy ish.
Bunday vazifalarni qanday qilib oddiy va to'g'ri hal qilish kerakligini aytadi. Xo'sh, bu vazifalar hal qilindi, albatta. Va to'rtinchi vazifa 10 soniyada hal qilindi. Ha, hamma buni qila oladi, deb qaror qilindi!
Agar siz javoblaringizga mutlaqo ishonchingiz komil bo'lsa va radianlar bilan ishlashning oddiy va muammosiz usullari sizni qiziqtirmasa, 555 ga tashrif buyurishingiz shart emas. Men turib olmayman.)
Yaxshi tushunish davom etish uchun etarli sababdir!)
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)
Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)
Avvalo, “Sinus va kosinus nima, tangens va kotangens nima?” darsidan oddiy, ammo juda foydali xulosani eslatib o'taman.
Bu chiqish:
Sinus, kosinus, tangens va kotangens ularning burchaklari bilan chambarchas bog'langan. Biz bir narsani bilamiz, demak, boshqasini bilamiz.
Boshqacha qilib aytganda, har bir burchak o'zining doimiy sinusiga va kosinusiga ega. Va deyarli har bir kishi o'z tangensi va kotangensiga ega. Nima uchun deyarli? Bu haqda quyida batafsilroq.
Bu bilim sizning o'qishingizda ko'p yordam beradi! Sinuslardan burchaklarga va aksincha o'tish kerak bo'lgan juda ko'p vazifalar mavjud. Buning uchun bor sinuslar jadvali. Xuddi shunday, kosinusli vazifalar uchun - kosinuslar jadvali. Va, siz taxmin qilganingizdek, bor tangens jadvali Va kotangentlar jadvali.)
Jadvallar boshqacha. Uzun bo'lganlar, qaerda siz ko'rishingiz mumkin, deylik, sin37°6' ga teng. Biz Bradis jadvallarini ochamiz, olti daqiqada o'ttiz yetti daraja burchakni qidiramiz va 0,6032 qiymatini ko'ramiz. Bu raqamni (va boshqa minglab jadval qiymatlarini) eslab qolishning mutlaqo hojati yo'qligi aniq.
Aslida, bizning davrimizda kosinuslar, sinuslar, tangenslar, kotangentlarning uzun jadvallari juda kerak emas. Bitta yaxshi kalkulyator ularni butunlay almashtiradi. Ammo bunday jadvallarning mavjudligi haqida bilish zarar qilmaydi. Umumiy bilim uchun.)
Va nima uchun bu dars ?! - deb so'rayapsiz.
Lekin nega. Cheksiz sonli burchaklar orasida bor maxsus, bu haqda bilishingiz kerak Hammasi. Barcha maktab geometriyasi va trigonometriyasi shu burchaklar asosida qurilgan. Bu trigonometriyaning o'ziga xos "ko'paytirish jadvali" dir. Agar siz sin50° nimaga tengligini bilmasangiz, masalan, sizni hech kim hukm qilmaydi.) Ammo sin30° nimaga teng ekanligini bilmasangiz, munosib ikkitasini olishga tayyor bo'ling...
Bunday maxsus Burchaklar ham juda yaxshi. Maktab darsliklari odatda yod olishni taklif qiladi sinus jadvali va kosinus jadvali o'n etti burchak uchun. Va, albatta, tangens jadvali va kotangens jadvali bir xil o'n etti burchak uchun ... ya'ni. 68 ta qiymatni eslab qolish taklif etiladi. Aytgancha, bir-biriga juda o'xshash, vaqti-vaqti bilan takrorlanadi va belgilarni o'zgartiradi. Mukammal vizual xotiraga ega bo'lmagan odam uchun bu juda qiyin vazifa ...)
Biz boshqa yo'ldan boramiz. Keling, eslab yodlashni mantiq va topqirlikka almashtiraylik. Keyin sinuslar jadvali va kosinuslar jadvali uchun 3 (uch!) qiymatni eslab qolishimiz kerak bo'ladi. Tangentlar jadvali va kotangentlar jadvali uchun 3 (uch!) qiymat. Va tamom. Menimcha, oltita qiymatni eslab qolish 68 dan osonroqdir...)
Biz ushbu oltitadan boshqa barcha kerakli qiymatlarni kuchli qonuniy cheat varaqlaridan foydalanib olamiz - trigonometrik doira. Agar siz ushbu mavzuni o'rganmagan bo'lsangiz, havolaga o'ting, dangasa bo'lmang. Bu doira faqat shu dars uchun kerak emas. U almashtirib bo'lmaydigan bir vaqtning o'zida barcha trigonometriya uchun. Bunday vositadan foydalanmaslik oddiygina gunohdir! Siz xohlamaysizmi? Bu sizning ishingiz. Yodlab oling sinuslar jadvali. Kosinuslar jadvali. Tangenslar jadvali. Kotangentlar jadvali. Turli burchaklar uchun barcha 68 qiymat.)
Shunday ekan, boshlaylik. Birinchidan, barcha bu maxsus burchaklarni uchta guruhga ajratamiz.
Birinchi guruh burchaklar.
Keling, birinchi guruhni ko'rib chiqaylik o'n etti burchak maxsus. Bular 5 ta burchak: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Bu burchaklar uchun sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali shunday ko'rinadi:
Burchak x
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Burchak x
|
0 |
||||
gunoh x |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
chunki x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg x |
0 |
ism |
0 |
ism |
0 |
ctg x |
ism |
0 |
ism |
0 |
ism |
Eslamoqchi bo'lganlar eslasin. Ammo men darhol aytamanki, bularning barchasi va nollarning barchasi boshda chalkashib ketadi. Siz xohlaganingizdan ancha kuchliroq.) Shuning uchun biz mantiq va trigonometrik doirani yoqamiz.
Biz doira chizamiz va uning ustida bir xil burchaklarni belgilaymiz: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °. Men bu burchaklarni qizil nuqta bilan belgiladim:
Bu burchaklarning o'ziga xos xususiyati darhol ayon bo'ladi. Ha! Bu tushadigan burchaklar aynan koordinata o'qida! Aslida, shuning uchun odamlar sarosimaga tushishadi ... Lekin biz adashmaymiz. Keling, bu burchaklarning trigonometrik funktsiyalarini ko'p yodlamasdan qanday topish mumkinligini aniqlaylik.
Aytgancha, burchak pozitsiyasi 0 daraja butunlay mos keladi 360 daraja burchak pozitsiyasi bilan. Demak, bu burchaklarning sinuslari, kosinuslari va tangenslari aynan bir xil. Doirani bajarish uchun 360 graduslik burchakni belgiladim.
Aytaylik, Yagona davlat imtihonining og'ir stressli muhitida siz qandaydir tarzda shubha qildingiz ... 0 daraja sinus nima? Nolga o'xshaydi... Bir bo'lsa-chi?! Mexanik yodlash - bu shunday narsa. Og'ir sharoitlarda shubhalar kemirila boshlaydi...)
Tinchlaning, tinchlaning!) Men sizga 100% to'g'ri javob beradigan va barcha shubhalarni butunlay yo'q qiladigan amaliy texnikani aytib beraman.
Misol tariqasida, keling, 0 daraja sinusni qanday aniq va ishonchli aniqlashni aniqlaylik. Va shu bilan birga, kosinus 0. Aynan shu qiymatlarda, g'alati, odamlar ko'pincha chalkashib ketishadi.
Buning uchun aylana bo'ylab chizilgan o'zboshimchalik bilan burchak X. Birinchi chorakda u 0 darajaga yaqin edi. Ushbu burchakning sinusi va kosinusini o'qlarga belgilaymiz X, hammasi yaxshi. Mana bunday:
Va endi - diqqat! Keling, burchakni kamaytiraylik X, harakatlanuvchi tomonni o'qga yaqinlashtiring OH. Kursorni rasm ustiga olib boring (yoki planshetdagi rasmga teging) va siz hamma narsani ko'rasiz.
Endi elementar mantiqni yoqaylik! Keling, ko'rib chiqaylik va o'ylaymiz: x burchagi pasayganda sinx o'zini qanday tutadi? Burchak nolga yaqinlashganda? Kichrayib bormoqda! Va cosx ortadi! Burchak butunlay yiqilib tushganda sinus bilan nima bo'lishini aniqlash qoladi? Qachon burchakning harakatlanuvchi tomoni (A nuqta) OX o'qiga joylashadi va burchak nolga teng bo'ladi? Shubhasiz, burchakning sinusi nolga tushadi. Kosinus esa... ga oshadi... Burchakning harakatlanuvchi tomonining uzunligi (trigonometrik doira radiusi) qancha? Bir!
Mana javob. 0 gradusning sinusi 0 ga teng. 0 gradusning kosinasi 1 ga teng. Mutlaqo temir bilan qoplangan va hech qanday shubhasiz!) Shunchaki, chunki aks holda bo'lishi mumkin emas.
Xuddi shu tarzda, masalan, 270 daraja sinusni topishingiz (yoki aniqlashtirishingiz) mumkin. Yoki kosinus 180. Doira chizing, o'zboshimchalik bilan Bizni qiziqtirgan koordinata o'qi yonidagi chorakdagi burchakni, burchak tomonini aqliy ravishda siljiting va burchak tomoni o'qga tushganda sinus va kosinus qanday bo'lishini tushunib oling. Ana xolos.
Ko'rib turganingizdek, bu burchaklar guruhi uchun hech narsani yodlashning hojati yo'q. Bu yerda kerak emas sinuslar jadvali ... Ha va kosinuslar jadvali- ham.) Aytgancha, trigonometrik doiradan bir necha marta foydalanilgandan so'ng, bu qiymatlarning barchasi o'z-o'zidan eslab qoladi. Agar ular unutib qo'ysa, men 5 soniyada aylana chizib, aniqlab berdim. Do'stingizga hojatxonadan qo'ng'iroq qilish va sertifikatingizni xavf ostiga qo'yishdan ko'ra osonroq, shunday emasmi?)
Tangens va kotangensga kelsak, hamma narsa bir xil. Biz aylana bo'ylab tangens (kotangent) chiziq chizamiz - va hamma narsa darhol ko'rinadi. Ular nolga teng bo'lgan joyda va ular mavjud bo'lmagan joylarda. Nima, siz tangens va kotangens chiziqlar haqida bilmaysizmi? Bu qayg'uli, ammo tuzatib bo'ladigan.) Biz 555-bo'limga tashrif buyurdik, trigonometrik doiradagi tangent va kotangens - va hech qanday muammo yo'q!
Agar siz ushbu besh burchak uchun sinus, kosinus, tangens va kotangensni qanday aniq belgilashni aniqlagan bo'lsangiz, tabriklaymiz! Har holda, siz endi funksiyalarni belgilashingiz mumkinligini sizga xabar qilaman o'qlarga tushadigan har qanday burchaklar. Va bu 450 °, va 540 ° va 1800 ° va cheksiz ko'p boshqalar ...) Men aylanadagi burchakni (to'g'ri!) hisobladim - va funktsiyalar bilan bog'liq muammolar yo'q.
Lekin aynan burchaklarni o'lchash bilan muammolar va xatolar yuzaga keladi ... Ulardan qanday qochish kerakligi darsda yozilgan: Trigonometrik doiradagi istalgan burchakni darajalarda qanday chizish (hisoblash). Boshlang'ich, ammo xatolarga qarshi kurashda juda foydali.)
Mana bir saboq: trigonometrik doiradagi istalgan burchakni radianlarda qanday chizish (o'lchash) - bu sovuqroq bo'ladi. Imkoniyatlar nuqtai nazaridan. Aytaylik, burchak to'rt yarim o'qning qaysi biriga to'g'ri kelishini aniqlang
buni bir necha soniya ichida qilishingiz mumkin. Men hazillashmayman! Bir necha soniya ichida. Xo'sh, albatta, nafaqat 345 pi ...) Va 121, va 16 va -1345. Har qanday butun son koeffitsienti bir zumda javob berish uchun javob beradi.
Va agar burchak bo'lsa
Faqat o'ylab ko'ring! To'g'ri javob 10 soniyada olinadi.Maxrajida ikkita bo'lgan radianlarning har qanday kasr qiymati uchun.
Aslida, bu trigonometrik doira haqida yaxshi narsa. Chunki u bilan ishlash qobiliyati biroz burchaklarga u avtomatik ravishda kengayadi cheksiz to'plam burchaklar
Shunday qilib, biz o'n etti burchakdan beshta burchakni ajratdik.
Ikkinchi guruh burchaklar.
Keyingi burchaklar guruhi 30 °, 45 ° va 60 ° burchaklardir. Nega aynan bular, masalan, 20, 50 va 80 emas? Ha, qandaydir tarzda shunday bo'lib chiqdi... Tarixiy jihatdan.) Keyinchalik bu burchaklar nima uchun yaxshi ekanligi ko'rinadi.
Ushbu burchaklar uchun sinuslar kosinuslar tangenslari kotangentlari jadvali quyidagicha ko'rinadi:
Burchak x
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
Burchak x
|
0 |
||||
gunoh x |
0 |
1 |
|||
chunki x |
1 |
0 |
|||
tg x |
0 |
1 |
ism |
||
ctg x |
ism |
1 |
0 |
Rasmni toʻldirish uchun oldingi jadvaldagi 0° va 90° qiymatlarini qoldirdim.) Shunday qilib, bu burchaklar birinchi chorakda yotganini va ortib borishini koʻrishingiz mumkin. 0 dan 90 gacha. Bu bizga keyinroq foydali bo'ladi.
30 °, 45 ° va 60 ° burchaklar uchun jadval qiymatlarini eslab qolish kerak. Agar xohlasangiz, eslab qoling. Lekin bu erda ham hayotingizni osonlashtirish imkoniyati mavjud.) E'tibor bering sinus jadval qiymatlari bu burchaklar. Va bilan solishtiring kosinuslar jadvali qiymatlari ...
Ha! Ular bir xil! Faqat teskari tartibda joylashtirilgan. Burchaklar ortishi (0, 30, 45, 60, 90) - va sinus qiymatlari kattalashtirish; ko'paytirish 0 dan 1 gacha. Kalkulyator yordamida tekshirishingiz mumkin. Va kosinus qiymatlari kamayib bormoqda 1 dan nolga qadar. Bundan tashqari, o'zlarini qadrlashadi bir xil. 20, 50, 80 burchaklar uchun bu ishlamaydi ...
Bu foydali xulosa. O'rganish uchun etarli uch 30, 45, 60 daraja burchaklar uchun qiymatlar. Va unutmangki, ular sinus uchun ko'payadi va kosinus uchun ular kamayadi. Sinus tomon.) Ular yarmida (45°) uchrashadi, ya'ni 45 graduslik sinus 45 gradus kosinusga teng. Va keyin ular yana ajraladilar ... Uchta ma'noni o'rganish mumkin, to'g'rimi?
Tangenslar - kotangentlar bilan rasm aynan bir xil. Birga bir. Faqat ma'nolari boshqacha. Bu qadriyatlarni (yana uchtasi!) ham o'rganish kerak.
Xo'sh, deyarli barcha yodlash tugadi. Siz (umid qilamanki) o'qga tushadigan beshta burchak uchun qiymatlarni qanday aniqlashni tushundingiz va 30, 45, 60 daraja burchaklar uchun qiymatlarni o'rgandingiz. Jami 8.
9 burchakdan iborat oxirgi guruh bilan shug'ullanish qoladi.
Bu burchaklar:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Ushbu burchaklar uchun siz sinuslar jadvalini, kosinuslar jadvalini va boshqalarni bilishingiz kerak.
Dahshatli tush, to'g'rimi?)
Va agar siz bu erga burchaklarni qo'shsangiz, masalan: 405 °, 600 ° yoki 3000 ° va juda ko'p, bir xil darajada chiroyli?)
Yoki burchaklar radianda? Masalan, burchaklar haqida:
va boshqa ko'p narsalarni bilishingiz kerak Hammasi.
Eng kulgili narsa buni bilishdir Hammasi - printsipial jihatdan mumkin emas. Agar siz mexanik xotiradan foydalansangiz.
Va bu juda oson, aslida elementar - agar siz trigonometrik doiradan foydalansangiz. Trigonometrik doira bilan ishlashni o'rganganingizdan so'ng, darajalardagi barcha qo'rqinchli burchaklarni osongina va oqlangan tarzda eski modaga qisqartirish mumkin:
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)
Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
TRIGONOMETRIK FUNKSIYALARNING QIMMATLARI JADVALI
Trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvali 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 va 360 gradus burchaklar va vradiandagi mos burchak qiymatlari uchun tuzilgan. Jadvalda trigonometrik funktsiyalardan sinus, kosinus, tangens, kotangent, sekant va kosekant ko'rsatilgan. Maktab misollarini echish qulayligi uchun jadvaldagi trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari sonlarning kvadrat ildizini olish belgilarini saqlab qolgan holda kasr shaklida yoziladi, bu ko'pincha murakkab matematik ifodalarni kamaytirishga yordam beradi. Tangens va kotangens uchun ba'zi burchaklarning qiymatlarini aniqlab bo'lmaydi. Bunday burchaklarning tangens va kotangens qiymatlari uchun trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvalida chiziqcha mavjud. Bunday burchaklarning tangensi va kotangensi cheksizlikka teng ekanligi umumiy qabul qilingan. Alohida sahifada trigonometrik funktsiyalarni kamaytirish uchun formulalar mavjud.
Trigonometrik sinus funktsiyasi uchun qiymatlar jadvali quyidagi burchaklar uchun qiymatlarni ko'rsatadi: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 daraja, bu mos keladi. sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi burchaklarning radian o‘lchovida. Sinuslar maktab jadvali.
Trigonometrik kosinus funktsiyasi uchun jadvalda quyidagi burchaklar uchun qiymatlar ko'rsatilgan: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360, bu cos 0 pi ga to'g'ri keladi. , burchaklarning radian o'lchovida cos pi 6, cos pi 4, cos pi 3, cos pi 2, cos pi, cos 3 pi 2, cos 2 pi. Kosinuslar maktab jadvali.
Trigonometrik tangens funksiyasi uchun trigonometrik jadval quyidagi burchaklar uchun qiymatlarni beradi: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360, bu tg 0 pi, tg pi/6 ga mos keladi, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi burchaklarning radian o'lchovida. Trigonometrik tangens funksiyalarining quyidagi qiymatlari tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 aniqlanmagan va cheksizlikka teng deb hisoblanadi.
Trigonometrik funktsiya kotangenti uchun trigonometrik jadvalda quyidagi burchaklarning qiymatlari berilgan: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270, bu ctg pi/6, ctg pi/4 ga mos keladi. , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 burchaklarning radian o'lchovida. Trigonometrik kotangent funksiyalarning quyidagi qiymatlari aniqlanmagan ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi va cheksizlikka teng deb hisoblanadi.
Trigonometrik funktsiyalarning sekant va kosekant qiymatlari sinus, kosinus, tangens, kotangens kabi daraja va radianlarda bir xil burchaklar uchun berilgan.
Nostandart burchaklarning trigonometrik funktsiyalari qiymatlari jadvalida 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 daraja burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari va pi/12 radianlarda ko'rsatilgan. , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radian. Maktab misollarida kasrlarni kamaytirishni osonlashtirish uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari kasrlar va kvadrat ildizlar bilan ifodalanadi.
Yana uchta trigonometriya hayvonlari. Birinchisi, 1,5 bir yarim daraja tangensi yoki pi ning 120 ga bo'linishi. Ikkinchisi, pi kosinasi 240 ga bo'lingan, pi/240. Eng uzuni - pi kosinasi 17 ga bo'lingan, pi/17.
Sinus va kosinus funktsiyalari qiymatlarining trigonometrik doirasi burchakning kattaligiga qarab sinus va kosinus belgilarini vizual tarzda ifodalaydi. Ayniqsa blondalar uchun chalkashlikni kamaytirish uchun kosinus qiymatlari yashil chiziq bilan chizilgan. Radianlar pi bilan ifodalanganda darajalarni radianga aylantirish ham juda aniq ko'rsatilgan.
Ushbu trigonometrik jadvalda bir daraja oraliqda 0 noldan 90 to'qson darajagacha bo'lgan burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlari keltirilgan. Birinchi qirq besh daraja uchun trigonometrik funktsiyalarning nomlari jadvalning yuqori qismida ko'rib chiqilishi kerak. Birinchi ustun darajalarni o'z ichiga oladi, keyingi to'rtta ustunda sinuslar, kosinuslar, tangenslar va kotangentlar qiymatlari yoziladi.
Qirq besh darajadan to'qson gradusgacha bo'lgan burchaklar uchun trigonometrik funktsiyalarning nomlari jadvalning pastki qismida yoziladi. Oxirgi ustun darajalarni o'z ichiga oladi; kosinuslar, sinuslar, kotangentlar va tangenslarning qiymatlari oldingi to'rtta ustunda yozilgan. Siz ehtiyot bo'lishingiz kerak, chunki trigonometrik jadvalning pastki qismidagi trigonometrik funktsiyalarning nomlari jadvalning yuqori qismidagi nomlardan farq qiladi. Sinuslar va kotangenslar xuddi tangens va kotangens kabi almashinadi. Bu trigonometrik funktsiyalar qiymatlarining simmetriyasi bilan bog'liq.
Trigonometrik funktsiyalarning belgilari yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan. Sinus 0 dan 180 darajagacha yoki 0 dan pigacha ijobiy qiymatlarga ega. Sinus 180 dan 360 darajagacha yoki pi dan 2 pi gacha salbiy qiymatlarga ega. Kosinus qiymatlari 0 dan 90 gacha va 270 dan 360 darajagacha ijobiy yoki 0 dan 1/2 pi va 3/2 dan 2 pi gacha. Tangens va kotangens 0 dan 90 darajagacha va 180 dan 270 darajagacha bo'lgan ijobiy qiymatlarga ega bo'lib, 0 dan 1/2 pi va pi dan 3/2 pi gacha bo'lgan qiymatlarga mos keladi. Tangens va kotangensning salbiy qiymatlari 90 dan 180 darajagacha va 270 dan 360 darajagacha yoki 1/2 pi dan pi va 3/2 pi dan 2 pi gacha. 360 gradus yoki 2 pi dan katta burchaklar uchun trigonometrik funktsiyalarning belgilarini aniqlashda ushbu funktsiyalarning davriylik xususiyatlaridan foydalanish kerak.
Trigonometrik funksiyalar sinus, tangens va kotangens toq funksiyalardir. Salbiy burchaklar uchun ushbu funktsiyalarning qiymatlari salbiy bo'ladi. Kosinus teng trigonometrik funktsiyadir - manfiy burchak uchun kosinus qiymati ijobiy bo'ladi. Trigonometrik funktsiyalarni ko'paytirish va bo'lishda belgi qoidalariga rioya qilish kerak.
Trigonometrik sinus funktsiyasi uchun qiymatlar jadvali quyidagi burchaklar uchun qiymatlarni ko'rsatadi
HujjatAlohida sahifada qisqartirish formulalari mavjud trigonometrikfunktsiyalari. IN stolqiymatlarUchuntrigonometrikfunktsiyalarisinusberilganqiymatlarUchunquyidagiburchaklar: gunoh 0, gunoh 30, gunoh 45 ...
Taklif etilayotgan matematik apparat har qanday miqdordagi erkinlik darajasi n bo'lgan n o'lchovli giperkompleks sonlar uchun kompleks hisoblashning to'liq analogidir va chiziqli bo'lmaganlarni matematik modellashtirish uchun mo'ljallangan.
Hujjat... funktsiyalari teng funktsiyalari Tasvirlar. Bu teoremadan kerak, Nima Uchun U, V koordinatalarini topish, hisoblash kifoya funktsiyasi... geometriya; polinar funktsiyalari(ikki o'lchovli ko'p o'lchovli analoglar trigonometrikfunktsiyalari), ularning xususiyatlari, jadvallar va ariza; ...
-
