O'rta maktabda geometriya darsida hammamizga uchburchaklar haqida gapirib berishardi. Biroq, maktab o'quv dasturining bir qismi sifatida biz faqat eng kerakli bilimlarni olamiz va eng keng tarqalgan va standart hisoblash usullarini o'rganamiz. Bu miqdorni topishning noodatiy usullari bormi?
Kirish sifatida, keling, qaysi uchburchak to'g'ri burchakli deb hisoblanishini eslaylik va maydon tushunchasini ham ko'rsatamiz.
To'g'ri burchakli uchburchak yopiq geometrik figura bo'lib, uning burchaklaridan biri 90 0 ga teng. Ta'rifdagi integral tushunchalar oyoqlar va gipotenuzadir. Oyoqlar ulanish nuqtasida to'g'ri burchak hosil qiluvchi ikki tomonni anglatadi. Gipotenuza to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomondir. To'g'ri burchakli uchburchak teng yonli bo'lishi mumkin (uning ikki tomoni bir xil o'lchamda bo'ladi), lekin hech qachon teng tomonli bo'lmaydi (barcha tomonlari bir xil uzunlikda bo'ladi). Biz balandlik, median, vektor va boshqa matematik atamalarning ta'riflarini batafsil muhokama qilmaymiz. Ularni ma'lumotnomalarda topish oson.
To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni. To'rtburchaklardan farqli o'laroq, qoida haqida
qarorda tomonlarning ishi qo'llanilmaydi. Agar quruq so'z bilan gapiradigan bo'lsak, unda uchburchakning maydoni bu raqamning tekislikning bir qismini egallash xususiyati sifatida tushuniladi, bu raqam bilan ifodalanadi. Tushunish juda qiyin, siz rozi bo'lasiz. Keling, ta'rifni chuqur o'rganishga urinmaylik; bu bizning maqsadimiz emas. Keling, asosiy narsaga o'tamiz - to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin? Biz hisob-kitoblarni o'zimiz qilmaymiz, biz faqat formulalarni ko'rsatamiz. Buning uchun yozuvni aniqlaymiz: A, B, C - uchburchakning tomonlari, oyoqlari - AB, BC. ACB burchagi to'g'ri. S - uchburchakning maydoni, h n n - uchburchakning balandligi, bu erda nn - u tushirilgan tomon.
1-usul. To'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlarining kattaligi ma'lum bo'lsa, uning maydonini qanday topish mumkin
2-usul. Teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchakning maydonini toping
Usul 3. To'rtburchak yordamida maydonni hisoblash
To'g'ri uchburchakni kvadratga to'ldiramiz (agar uchburchak bo'lsa
teng yon tomonli) yoki to'rtburchaklar. Biz ikkita bir xil to'g'ri burchakli uchburchakdan iborat oddiy to'rtburchakni olamiz. Bunday holda, ulardan birining maydoni olingan raqamning yarmiga teng bo'ladi. To'rtburchakning S tomonlari ko'paytmasi bilan hisoblanadi. Bu qiymatni belgilaymiz M. Kerakli maydon qiymati M yarmiga teng bo'ladi.
4-usul. “Pifagor shimlari”. Mashhur Pifagor teoremasi
Biz hammamiz uning formulasini eslaymiz: "oyoq kvadratlarining yig'indisi ...". Lekin hamma ham qila olmaydi
Aytaylik, ba'zi "shimlarning" bunga nima aloqasi bor? Gap shundaki, Pifagor dastlab to‘g‘ri burchakli uchburchak tomonlari o‘rtasidagi munosabatni o‘rgangan. Kvadrat tomonlari nisbatidagi naqshlarni aniqlab, u barchamizga ma'lum bo'lgan formulani olishga muvaffaq bo'ldi. U tomonlardan birining o'lchami noma'lum bo'lgan hollarda qo'llanilishi mumkin.
5-usul. To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini Heron formulasi yordamida qanday topish mumkin
Bu ham juda oddiy hisoblash usuli. Formula uchburchakning maydonini tomonlarning raqamli qiymatlari orqali ifodalashni o'z ichiga oladi. Hisoblash uchun siz uchburchakning barcha tomonlarining o'lchamlarini bilishingiz kerak.
S = (p-AC)*(p-BC), bu yerda p = (AB+BC+AC)*0,5
Yuqoridagilardan tashqari, uchburchak kabi sirli figuraning o'lchamini topishning boshqa ko'plab usullari mavjud. Ulardan: chizilgan yoki chegaralangan doira usuli bilan hisoblash, cho'qqilarning koordinatalari yordamida hisoblash, vektorlardan foydalanish, absolyut qiymat, sinuslar, tangenslar.
Uchburchakning turiga qarab, uning maydonini topish uchun bir nechta variant mavjud. Masalan, to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblash uchun S= a * b / 2 formulasidan foydalaning, bu erda a va b - uning oyoqlari. Agar siz teng yonli uchburchakning maydonini bilmoqchi bo'lsangiz, uning asosi va balandligi mahsulotini ikkiga bo'lishingiz kerak. Ya'ni, S= b*h / 2, bu erda b - uchburchakning asosi, h esa uning balandligi.
Keyinchalik, to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblashingiz kerak bo'lishi mumkin. Bu erda quyidagi formula yordamga keladi: S = a * a / 2, bu erda "a" va "a" oyoqlari bir xil qiymatlarga ega bo'lishi kerak.
Bundan tashqari, biz ko'pincha teng qirrali uchburchakning maydonini hisoblashimiz kerak. U quyidagi formula bo'yicha topiladi: S= a * h/ 2, bu erda a - uchburchakning tomoni, h - balandligi. Yoki ushbu formula bo'yicha: S= √3/ 4 *a^2, bu erda a - tomon.
To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin
To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini topish kerakmi, lekin muammo bayonoti bir vaqtning o'zida ikkita oyog'ining o'lchamlarini ko'rsatmaydi? Keyin biz ushbu formuladan (S= a * b / 2) to'g'ridan-to'g'ri foydalana olmaymiz.
Keling, bir nechta mumkin bo'lgan echimlarni ko'rib chiqaylik:
- Agar siz bir oyoqning uzunligini bilmasangiz, lekin gipotenuzaning va ikkinchi oyoqning o'lchamlari berilgan bo'lsa, biz buyuk Pifagorga murojaat qilamiz va uning teoremasidan (a^2+b^2=c^2) foydalanamiz. Biz noma'lum oyoqning uzunligini hisoblaymiz, so'ngra uchburchakning maydonini hisoblash uchun foydalanamiz.
- Bir oyoqning uzunligi va unga qarama-qarshi burchakning gradus qiyaligi berilgan bo'lsa: a=b*ctg(C) formulasi yordamida ikkinchi oyoq uzunligini topamiz.
- Berilgan: bir oyoqning uzunligi va unga tutash burchakning graduslik qiyaligi: ikkinchi oyoq uzunligini topish uchun formuladan foydalanamiz - a=b*tg(C).
- Va nihoyat, berilgan: gipotenuzaning burchagi va uzunligi: biz uning ikkala oyog'ining uzunligini quyidagi formulalar yordamida hisoblaymiz - b=c*sin(C) va a=c*cos(C).
Teng yonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin
Teng yonli uchburchakning maydonini S = b*h / 2 formulasi yordamida juda oson va tez topish mumkin, ammo agar ko'rsatkichlardan biri etishmayotgan bo'lsa, vazifa ancha murakkablashadi. Axir, qo'shimcha harakatlarni amalga oshirish kerak.
Mumkin vazifa variantlari:
- Berilgan: tomonlardan birining uzunligi va taglikning uzunligi. Pifagor teoremasidan foydalanib, biz ikkinchi oyoqning balandligini, ya'ni uzunligini topamiz. Ikkiga bo'lingan taglikning uzunligi oyoq va dastlab ma'lum bo'lgan tomoni gipotenuza bo'lishi sharti bilan.
- Berilgan: taglik va yon va taglik orasidagi burchak. Biz balandlikni h=c*ctg(B)/2 formulasi yordamida hisoblaymiz ("c" tomonini ikkiga bo'lishni unutmang).
- Berilgan: asos va yon tomonidan hosil qilingan balandlik va burchak: balandlikni topish uchun c=h*tg(B)*2 formulasidan foydalanamiz va natijani ikkiga ko'paytiramiz. Keyin biz maydonni hisoblaymiz.
- Ma'lum: tomonning uzunligi va u bilan balandlik o'rtasida hosil bo'lgan burchak. Yechish: asos va balandlikni topish uchun - c=a*sin(C)*2 va h=a*cos(C) formulalaridan foydalanamiz, shundan so‘ng maydonni hisoblaymiz.
To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin
Agar barcha ma'lumotlar ma'lum bo'lsa, S= a* a / 2 standart formulasidan foydalanib, biz teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblaymiz, ammo agar muammoda ba'zi ko'rsatkichlar ko'rsatilmagan bo'lsa, qo'shimcha harakatlar bajariladi.
Masalan: biz ikkala tomonning uzunligini bilmaymiz (biz eslaymizki, teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakda ular tengdir), lekin gipotenuzaning uzunligi berilgan. Bir xil “a” va “a” tomonlarini topish uchun Pifagor teoremasini qo‘llaylik. Pifagor formulasi: a^2+b^2=c^2. To'g'ri burchakli uchburchak bo'lsa, u quyidagicha aylanadi: 2a ^ 2 = c ^ 2. Ma’lum bo‘lishicha, “a” oyog‘ini topish uchun gipotenuzaning uzunligini 2 ning ildiziga bo‘lish kerak. Yechim natijasi teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchakning ikkala oyog‘ining uzunligi bo‘ladi. Keyin biz maydonni topamiz.
Teng tomonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin
S= √3/ 4*a^2 formulasidan foydalanib, teng tomonli uchburchakning maydonini osongina hisoblashingiz mumkin. Agar uchburchakning aylana radiusi ma'lum bo'lsa, u holda maydonni quyidagi formula yordamida topish mumkin: S= 3√3/ 4*R^2, bu erda R - aylananing radiusi.
To'g'ri burchakli uchburchak - bu burchaklaridan biri 90 ° bo'lgan uchburchak. Ikki tomoni ma'lum bo'lsa, uning maydonini topish mumkin. Siz, albatta, uzoq yo'lni tanlashingiz mumkin - gipotenuzani toping va yordamida maydonni hisoblang, lekin ko'p hollarda bu faqat qo'shimcha vaqtni oladi. Shuning uchun to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni formulasi quyidagicha ko'rinadi:
To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni oyoqlar mahsulotining yarmiga teng.
To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblash misoli.
Oyoqlari bilan to'g'ri burchakli uchburchak berilgan a= 8 sm, b= 6 sm.
Biz maydonni hisoblaymiz: 
Maydoni: 24 sm 2
Pifagor teoremasi to'g'ri burchakli uchburchak uchun ham amal qiladi. – ikki oyoq kvadratlari yig‘indisi gipotenuzaning kvadratiga teng.
To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uchun formula oddiy to'g'ri burchakli uchburchak bilan bir xil tarzda hisoblanadi.
To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblash misoli:
Oyoqlari bo'lgan uchburchak berilgan a= 4 sm, b= 4 sm. Maydonni hisoblang:
Maydonni hisoblang: = 8 sm 2
To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuza maydoni uchun formuladan, agar shart bitta oyoq berilgan bo'lsa, ishlatilishi mumkin. Pifagor teoremasidan biz noma'lum oyoq uzunligini topamiz. Masalan, gipotenuza berilgan c va oyoq a, oyoq b teng bo'ladi:
Keyinchalik, odatdagi formuladan foydalanib, maydonni hisoblang. Gipotenuzaga asoslangan to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uchun formulani hisoblash misoli yuqorida tavsiflanganga o'xshashdir.
Keling, uchburchakni yechish formulalari haqidagi bilimlarni mustahkamlashga yordam beradigan qiziqarli masalani ko'rib chiqaylik.
Vazifa: To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni 180 kvadrat metr. qarang, agar uchburchakning ikkinchisidan 31 sm kichik bo'lsa, uning kichikroq oyog'ini toping.
Yechim: keling, oyoqlarni belgilaymiz a Va b. Endi ma'lumotlarni maydon formulasiga almashtiramiz: biz bir oyog'i ikkinchisidan kichikroq ekanligini ham bilamiz a – b= 31 sm
Birinchi shartdan biz buni olamiz
Bu shartni ikkinchi tenglamaga almashtiramiz: 
Yon tomonlarni topganimiz uchun biz minus belgisini olib tashlaymiz.
Ma'lum bo'lishicha, oyoq a= 40 sm, a b= 9 sm.
Sizning maktab geometriya o'quv dasturidan eslaganingizdek, uchburchak - bu bir xil to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bilan bog'langan uchta segmentdan hosil bo'lgan shakl. Uchburchak uchta burchak hosil qiladi, shuning uchun raqam nomi. Ta'rif boshqacha bo'lishi mumkin. Uchburchakni uchta burchakli ko'pburchak deb ham atash mumkin, javob ham to'g'ri bo'ladi. Uchburchaklar teng tomonlar soniga va shakllardagi burchaklarning o'lchamiga ko'ra bo'linadi. Shunday qilib, uchburchaklar mos ravishda teng yonli, teng qirrali va masshtabli, shuningdek to'rtburchaklar, o'tkir va o'tkir burchaklar sifatida ajratiladi.
Uchburchakning maydonini hisoblash uchun juda ko'p formulalar mavjud. Uchburchakning maydonini qanday topishni tanlang, ya'ni. Qaysi formuladan foydalanish sizga bog'liq. Ammo uchburchakning maydonini hisoblash uchun ko'plab formulalarda qo'llaniladigan ba'zi belgilarni ta'kidlash kerak. Shunday qilib, esda tuting:
S - uchburchakning maydoni,
a, b, c - uchburchakning tomonlari,
h - uchburchakning balandligi,
R - aylananing radiusi,
p - yarim perimetr.
Agar siz geometriya kursingizni butunlay unutgan bo'lsangiz, sizga foydali bo'lishi mumkin bo'lgan asosiy belgilar. Quyida uchburchakning noma'lum va sirli maydonini hisoblashning eng tushunarli va murakkab bo'lmagan variantlari keltirilgan. Bu qiyin emas va sizning uy ehtiyojlaringiz uchun ham, bolalaringizga yordam berish uchun ham foydali bo'ladi. Keling, uchburchakning maydonini iloji boricha osonroq hisoblashni eslaylik:
Bizning holatda, uchburchakning maydoni: S = ½ * 2,2 sm * 2,5 sm = 2,75 kv.sm. Maydon kvadrat santimetrda (sqcm) o'lchanganini unutmang.
To'g'ri burchakli uchburchak va uning maydoni.
To'g'ri burchakli uchburchak - bir burchagi 90 gradusga teng bo'lgan uchburchak (shuning uchun o'ng deb ataladi). To'g'ri burchak ikkita perpendikulyar chiziqdan (uchburchakda ikkita perpendikulyar segment) hosil bo'ladi. To'g'ri burchakli uchburchakda faqat bitta to'g'ri burchak bo'lishi mumkin, chunki ... har qanday uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 180 darajaga teng. Ma'lum bo'lishicha, qolgan 90 gradusni boshqa ikkita burchak bo'lishi kerak, masalan, 70 va 20, 45 va 45 va hokazo. Shunday qilib, siz asosiy narsani eslaysiz, qolgan narsa to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topishni bilishdir. Tasavvur qilaylik, bizning oldimizda shunday to'g'ri burchakli uchburchak bor va biz uning S maydonini topishimiz kerak.
1. To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini aniqlashning eng oddiy usuli quyidagi formula yordamida hisoblanadi:
Bizning holatda, to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni: S = 2,5 sm * 3 sm / 2 = 3,75 kv.sm.
Aslida, endi uchburchakning maydonini boshqa usullar bilan tekshirishning hojati yo'q, chunki Faqat bu foydali bo'ladi va kundalik hayotda yordam beradi. Ammo uchburchakning maydonini o'tkir burchaklar orqali o'lchash variantlari ham mavjud.
2. Boshqa hisoblash usullari uchun sizda kosinuslar, sinuslar va tangenslar jadvali bo'lishi kerak. O'zingiz uchun hukm qiling, bu erda hali ham ishlatilishi mumkin bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblashning ba'zi variantlari mavjud:
Biz birinchi formuladan va bir nechta kichik dog'lar bilan foydalanishga qaror qildik (biz uni daftarga chizdik va eski o'lchagich va transport vositasidan foydalandik), ammo biz to'g'ri hisobni oldik:
S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Biz quyidagi natijalarga erishdik: 3,6=3,7, lekin hujayralarning siljishini hisobga olsak, bu nuanceni kechira olamiz.
Izossellar uchburchagi va uning maydoni.
Agar siz teng yonli uchburchak formulasini hisoblash vazifasiga duch kelsangiz, unda eng oson yo'li uchburchak maydoni uchun asosiy va klassik formuladan foydalanishdir.
Ammo birinchi navbatda, teng yonli uchburchakning maydonini topishdan oldin, keling, bu qanday shakl ekanligini bilib olaylik. Teng yon tomonli uchburchak - bu ikki tomoni bir xil uzunlikka ega bo'lgan uchburchak. Bu ikki tomon lateral deb ataladi, uchinchi tomon asos deb ataladi. Teng yonli uchburchak bilan teng yonli uchburchakni aralashtirmang, ya'ni. uch tomoni teng bo'lgan muntazam uchburchak. Bunday uchburchakda burchaklarga, to'g'rirog'i, ularning o'lchamiga nisbatan alohida tendentsiyalar yo'q. Biroq, teng yonli uchburchakda poydevordagi burchaklar teng, lekin teng tomonlar orasidagi burchakdan farq qiladi. Shunday qilib, siz birinchi va asosiy formulani allaqachon bilasiz, teng burchakli uchburchakning maydonini aniqlash uchun yana qanday formulalar ma'lum ekanligini bilish qoladi.
Uchburchak - bu bir burchagi 90 ° ga teng bo'lgan tekis geometrik figura. Bundan tashqari, geometriyada ko'pincha bunday raqamning maydonini hisoblash kerak bo'ladi. Buni qanday qilish kerakligini sizga aytib beramiz.
To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini aniqlashning eng oddiy formulasi
Dastlabki ma'lumotlar, bu erda: a va b - uchburchakning to'g'ri burchakdan cho'zilgan tomonlari.
Ya'ni, maydon to'g'ri burchakdan chiqqan ikki tomonning ko'paytmasining yarmiga teng. Albatta, oddiy uchburchakning maydonini hisoblash uchun Heron formulasi mavjud, ammo qiymatni aniqlash uchun siz uchta tomonning uzunligini bilishingiz kerak. Shunga ko'ra, siz gipotenuzani hisoblashingiz kerak bo'ladi va bu qo'shimcha vaqt.
Heron formulasidan foydalanib, to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini toping
Bu taniqli va o'ziga xos formuladir, ammo buning uchun siz Pifagor teoremasidan foydalanib, ikki oyoqdagi gipotenuzani hisoblashingiz kerak bo'ladi.
Bu formulada: a, b, c uchburchakning tomonlari, p esa yarim perimetrdir.
Gipotenuza va burchak yordamida to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini toping
Agar muammoingizda oyoqlarning hech biri ma'lum bo'lmasa, unda siz eng oddiy usuldan foydalana olmaysiz. Qiymatni aniqlash uchun siz oyoqlarning uzunligini hisoblashingiz kerak. Buni oddiygina gipotenuza va qo'shni burchakning kosinuslari yordamida amalga oshirish mumkin.
b=c×cos(a)
Oyoqlardan birining uzunligini bilganingizdan so'ng, Pifagor teoremasidan foydalanib, to'g'ri burchakdan chiqadigan ikkinchi tomonni hisoblashingiz mumkin.
b 2 =c 2 -a 2
Bu formulada c va a mos ravishda gipotenuza va oyoqdir. Endi siz birinchi formuladan foydalanib, maydonni hisoblashingiz mumkin. Xuddi shu tarzda, ikkinchi va burchakni hisobga olgan holda, oyoqlardan birini hisoblashingiz mumkin. Bunday holda, kerakli tomonlardan biri oyoqning mahsulotiga va burchakning tangensiga teng bo'ladi. Hududni hisoblashning boshqa usullari mavjud, ammo asosiy teoremalar va qoidalarni bilib, kerakli qiymatni osongina topishingiz mumkin.
Agar sizda uchburchakning birorta tomoni bo'lmasa, faqat mediana va burchaklardan biri bo'lsa, unda siz tomonlarning uzunligini hisoblashingiz mumkin. Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ikkiga bo'lish uchun mediananing xususiyatlaridan foydalaning. Shunga ko'ra, u o'tkir burchakdan chiqsa, gipotenuza vazifasini bajarishi mumkin. Pifagor teoremasidan foydalaning va to'g'ri burchakdan keladigan uchburchak tomonlarining uzunligini aniqlang.
Ko'rib turganingizdek, asosiy formulalar va Pifagor teoremasini bilib, siz faqat bitta burchakka va tomonlardan birining uzunligiga ega bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin.
