Shkalla dhe vetitë e saj. Udhëzuesi Gjithëpërfshirës (2019)

Kur numri shumëfishohet vetë per veten time, puna thirrur shkallë.

Pra, 2.2 = 4, katror ose fuqia e dytë e 2
2.2.2 = 8, kub ose fuqi e tretë.
2.2.2.2 = 16, shkalla e katërt.

Gjithashtu, 10.10 = 100, fuqia e dytë e 10.
10.10.10 = 1000, fuqia e tretë.
10.10.10.10 = 10000 fuqia e katërt.

Dhe a.a = aa, fuqia e dytë e a
a.a.a = aaa, fuqia e tretë e a
a.a.a.a = aaaa, fuqia e katërt e a

Telefonohet numri origjinal rrënjë fuqitë e këtij numri sepse është numri nga i cili janë krijuar fuqitë.

Megjithatë, nuk është krejtësisht e përshtatshme, veçanërisht në rastin e fuqive të larta, të shënohen të gjithë faktorët që përbëjnë pushtetet. Prandaj, përdoret një metodë e shënimit stenografi. Rrënja e shkallës shkruhet vetëm një herë, dhe në të djathtë dhe pak më lart pranë saj, por me një font pak më të vogël, shkruhet sa herë. rrënja vepron si faktor. Ky numër ose shkronjë quhet eksponent ose shkallë numrat. Pra, a 2 është e barabartë me a.a ose aa, sepse rrënja a duhet të shumëzohet me vetveten dy herë për të marrë fuqinë aa. Gjithashtu, një 3 do të thotë aaa, domethënë këtu a përsëritet tri herë si shumëzues.

Eksponenti i shkallës së parë është 1, por zakonisht nuk shkruhet. Pra, një 1 shkruhet si a.

Nuk duhet të ngatërroni gradën me koeficientët. Koeficienti tregon se sa shpesh merret vlera Pjesë e gjitha. Fuqia tregon se sa shpesh merret një sasi faktor në punë.
Pra, 4a = a + a + a + a. Por a 4 = a.a.a.a

Skema e shënimit të fuqisë ka avantazhin e veçantë që na lejon të shprehemi i panjohur shkallë. Për këtë qëllim, në vend të një numri shkruhet eksponenti letër. Në procesin e zgjidhjes së një problemi, ne mund të marrim një sasi që dimë se është disa shkallë e një madhësie tjetër. Por deri tani nuk e dimë nëse është një katror, ​​një kub apo një shkallë tjetër, më e lartë. Pra, në shprehjen a x, eksponenti do të thotë që kjo shprehje ka disa shkallë, edhe pse e papërcaktuar çfarë shkalle. Pra, b m dhe d n janë ngritur në fuqitë e m dhe n. Kur të gjendet eksponenti, numri zëvendësohet në vend të shkronjës. Pra, nëse m=3, atëherë b m = b 3 ; por nëse m = 5, atëherë b m =b 5.

Metoda e shkrimit të vlerave duke përdorur fuqi është gjithashtu një avantazh i madh gjatë përdorimit shprehjet. Kështu, (a + b + d) 3 është (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), domethënë kubi i trinomit (a + b + d) . Por nëse e shkruajmë këtë shprehje pasi e ngremë në një kub, do të duket si
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Nëse marrim një seri fuqish, eksponentët e të cilëve rriten ose zvogëlohen me 1, gjejmë se produkti rritet me shumëzues i përbashkët ose zvogëlohet me pjesëtues i përbashkët, dhe ky faktor ose pjesëtues është numri origjinal që është ngritur në një fuqi.

Pra, në serialin aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
ose një 5, një 4, një 3, një 2, një 1;
treguesit, nëse numërohen nga e djathta në të majtë, janë 1, 2, 3, 4, 5; dhe ndryshimi midis vlerave të tyre është 1. Nëse fillojmë në të djathtë shumohen me a, do të marrim me sukses vlera të shumta.

Pra a.a = a 2, termi i dytë. Dhe një 3.a = a 4
a 2 .a = a 3, termi i tretë. a 4 .a = a 5 .

Nëse fillojmë majtas ndajnë tek një,
marrim një 5:a = a 4 dhe një 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Por ky proces i ndarjes mund të vazhdojë më tej, dhe ne marrim një grup të ri vlerash.

Pra, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Rreshti i plotë do të ishte: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Ose një 5, një 4, një 3, një 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Këtu janë vlerat në të djathtë nga një ka e kundërta vlerat në të majtë të njërës. Prandaj këto gradë mund të quhen fuqitë e anasjellta a. Mund të themi gjithashtu se fuqitë në të majtë janë të kundërta të fuqive në të djathtë.

Pra, 1: (1/a) = 1.(a/1) = a. Dhe 1: (1/a 3) = a 3.

Mund të zbatohet i njëjti plan regjistrimi polinomet. Pra, për a + b, marrim grupin,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3 .

Për lehtësi, përdoret një formë tjetër e shkrimit të fuqive reciproke.

Sipas kësaj forme, 1/a ose 1/a 1 = a -1. Dhe 1/aaa ose 1/a 3 = a -3 .
1/aa ose 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa ose 1/a 4 = a -4 .

Dhe për të bërë një seri të plotë me 1 si diferencë totale me eksponentë, a/a ose 1 konsiderohet si diçka që nuk ka shkallë dhe shkruhet si 0 .

Pastaj, duke marrë parasysh fuqitë e drejtpërdrejta dhe të kundërta
në vend të aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
ju mund të shkruani një 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
Ose a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

Dhe një seri vetëm gradash individuale do të duket si:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Rrënja e një shkalle mund të shprehet me më shumë se një shkronjë.

Kështu, aa.aa ose (aa) 2 është fuqia e dytë e aa.
Dhe aa.aa.aa ose (aa) 3 është fuqia e tretë e aa.

Të gjitha fuqitë e numrit 1 janë të njëjta: 1.1 ose 1.1.1. do të jetë e barabartë me 1.

Shpejtësia është gjetja e vlerës së çdo numri duke e shumëzuar atë numër me vetveten. Rregulla për fuqizimin:

Shumëzojeni sasinë në vetvete aq herë sa tregohet në fuqinë e numrit.

Ky rregull është i përbashkët për të gjithë shembujt që mund të lindin gjatë procesit të fuqizimit. Por është e drejtë të jepet një shpjegim se si zbatohet në raste të veçanta.

Nëse vetëm një term është ngritur në një fuqi, atëherë ai shumëzohet në vetvete aq herë sa tregohet nga eksponenti.

Fuqia e katërt e a është 4 ose aaaa. (Neni 195.)
Fuqia e gjashtë e y është y 6 ose yyyyyy.
Fuqia e N e x është x n ose xxx..... n herë përsëritet.

Nëse është e nevojshme të ngrihet një shprehje e disa termave në një fuqi, parimi që fuqia e produktit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e këtyre faktorëve të ngritur në një fuqi.

Pra (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Por ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Pra, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Prandaj, në gjetjen e fuqisë së një produkti, ne ose mund të operojmë me të gjithë produktin në të njëjtën kohë, ose mund të operojmë me secilin faktor veç e veç dhe më pas t'i shumëzojmë vlerat e tyre me fuqitë.

Shembulli 1. Fuqia e katërt e dhy është (dhy) 4, ose d 4 h 4 y 4.

Shembulli 2. Fuqia e tretë është 4b, ka (4b) 3, ose 4 3 b 3, ose 64b 3.

Shembulli 3. Fuqia e N-të e 6ad është (6ad) n ose 6 n a n d n.

Shembulli 4. Fuqia e tretë e 3m.2y është (3m.2y) 3, ose 27m 3 .8y 3.

Shkalla e një binomi, i përbërë nga terma të lidhur me + dhe -, llogaritet duke shumëzuar termat e tij. Po,

(a + b) 1 = a + b, shkalla e parë.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, fuqia e dytë (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, fuqia e tretë.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, fuqia e katërt.

Katrori i a - b është a 2 - 2ab + b 2.

Katrori i a + b + h është a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Ushtrimi 1. Gjeni kubin a + 2d + 3

Ushtrimi 2. Gjeni fuqinë e katërt të b + 2.

Ushtrimi 3. Gjeni fuqinë e pestë të x + 1.

Ushtrimi 4. Gjeni fuqinë e gjashtë 1 - b.

Katrore shumës shumat Dhe dallimet binomet ndodhin aq shpesh në algjebër saqë është e nevojshme t'i njohim shumë mirë.

Nëse shumëzojmë a + h me vete ose a - h me vete,
marrim: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 gjithashtu, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Kjo tregon se në çdo rast, termat e parë dhe të fundit janë katrorët e a dhe h, dhe termi i mesëm është dyfishi i prodhimit të a dhe h. Nga këtu, katrori i shumës dhe ndryshimit të binomeve mund të gjendet duke përdorur rregullin e mëposhtëm.

Katrori i një binomi, të dy anëtarët e të cilit janë pozitiv, është i barabartë me katrorin e anëtarit të parë + dyfishin e produktit të të dy anëtarëve + katrorin e anëtarit të fundit.

Sheshi dallimet binomet është e barabartë me katrorin e anëtarit të parë minus dyfishin e produktit të të dy anëtarëve plus katrorin e anëtarit të dytë.

Shembulli 1. Katrori 2a + b, ka 4a 2 + 4ab + b 2.

Shembulli 2. Katrori ab + cd, ka një 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Shembulli 3. Katrori 3d - h, ka 9d 2 + 6dh + h 2.

Shembulli 4. Katrori a - 1 është 2 - 2a + 1.

Për një metodë për gjetjen e fuqive më të larta të binomeve, shihni seksionet e mëposhtme.

Në shumë raste është efektive për të shkruar gradë pa shumëzim.

Pra, katrori i a + b është (a + b) 2.
Fuqia e N-të e bc + 8 + x është (bc + 8 + x) n

Në raste të tilla, kllapat mbulojnë Të gjitha anëtarë nën diplomë.

Por nëse rrënja e shkallës përbëhet nga disa shumëzuesit, kllapat mund të mbulojnë të gjithë shprehjen ose mund të aplikohen veçmas për faktorët në varësi të komoditetit.

Kështu, katrori (a + b) (c + d) është ose [(a + b).(c + d)] 2 ose (a + b) 2 .(c + d) 2.

Për të parën nga këto shprehje, rezultati është katrori i produktit të dy faktorëve, dhe për të dytën, rezultati është prodhimi i katrorëve të tyre. Por ata janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Kubi a.(b + d), është 3, ose a 3.(b + d) 3.

Duhet të merret parasysh edhe shenja përpara anëtarëve të përfshirë. Është shumë e rëndësishme të mbani mend se kur rrënja e një diplome është pozitive, të gjitha fuqitë e saj pozitive janë gjithashtu pozitive. Por kur rrënja është negative, vlerat me i çuditshëm fuqitë janë negative, ndërsa vlerat madje gradat janë pozitive.

Shkalla e dytë (- a) është +a 2
Shkalla e tretë (-a) është -a 3
Fuqia e katërt (-a) është +a 4
Fuqia e pestë (-a) është -a 5

Prandaj ndonjë i çuditshëm shkalla ka të njëjtën shenjë me numrin. Por madje shkalla është pozitive pavarësisht nëse numri ka shenjë negative apo pozitive.
Pra, +a.+a = +a 2
Dhe -a.-a = +a 2

Një sasi që tashmë është ngritur në një fuqi rritet përsëri në një fuqi duke shumëzuar eksponentët.

Fuqia e tretë e një 2 është një 2.3 = a 6.

Për një 2 = aa; kubi aa është aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; që është fuqia e gjashtë e a, por fuqia e tretë e a 2.

Fuqia e katërt e a 3 b 2 është a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

Fuqia e tretë e 4a 2 x është 64a 6 x 3.

Fuqia e pestë e (a + b) 2 është (a + b) 10.

Fuqia e N-të e një 3 është një 3n

Fuqia e N-të e (x - y) m është (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Rregulli zbatohet njëlloj për negativ gradë.

Shembulli 1. Fuqia e tretë e a -2 është a -3.3 =a -6.

Për një -2 = 1/aa, dhe fuqia e tretë e kësaj
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Fuqia e katërt e një 2 b -3 është një 8 b -12 ose a 8 /b 12.

Katrori është b 3 x -1, ka b 6 x -2.

Fuqia e N-të e ax -m është x -mn ose 1/x.

Megjithatë, këtu duhet të kujtojmë se nëse shenja e mëparshme shkalla është "-", atëherë duhet të ndryshohet në "+" sa herë që shkalla është numër çift.

Shembulli 1. Katrori -a 3 është +a 6. Katrori i -a 3 është -a 3 .-a 3, i cili, sipas rregullave të shenjave në shumëzim, është +a 6.

2. Por kubi -a 3 është -a 9. Për -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. Fuqia e N-të -a 3 është një 3n.

Këtu rezultati mund të jetë pozitiv ose negativ në varësi të faktit nëse n është çift apo tek.

Nëse fraksionështë ngritur në një fuqi, atëherë numëruesi dhe emëruesi janë ngritur në një fuqi.

Katrori i a/b është a 2 /b 2 . Sipas rregullit të shumëzimit të thyesave,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Fuqitë e dytë, të tretë dhe të n-të të 1/a janë 1/a 2, 1/a 3 dhe 1/a n.

Shembuj binomet, në të cilin një nga termat është një thyesë.

1. Gjeni katrorin x + 1/2 dhe x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Katrori i a + 2/3 është një 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Katrori x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Katrori i x - b/m është x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Më parë u tregua se koeficienti i pjesshëm mund të zhvendoset nga numëruesi në emërues ose nga emëruesi në numërues. Duke përdorur skemën për shkrimin e kompetencave reciproke, është e qartë se ndonjë shumëzues gjithashtu mund të zhvendoset, nëse ndryshohet shenja e gradës.

Pra, në thyesën ax -2 /y, ne mund ta zhvendosim x nga numëruesi në emërues.
Pastaj ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Në thyesën a/nga 3, mund të kalojmë y nga emëruesi në numërues.
Pastaj a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Në të njëjtën mënyrë, ne mund të zhvendosim një faktor që ka një eksponent pozitiv në numërues ose një faktor me një eksponent negativ në emërues.

Pra, sëpatë 3 /b = a/bx -3. Për x 3 anasjelltas është x -3 , që është x 3 = 1/x -3 .

Prandaj, emëruesi i çdo thyese mund të hiqet plotësisht, ose numëruesi mund të reduktohet në një, pa ndryshuar kuptimin e shprehjes.

Pra, a/b = 1/ba -1, ose ab -1.

Në këtë artikull do të kuptojmë se çfarë është shkalla e. Këtu do të japim përkufizime të fuqisë së një numri, ndërsa do të shqyrtojmë në detaje të gjithë eksponentët e mundshëm, duke filluar nga eksponenti natyror dhe duke përfunduar me atë irracional. Në material do të gjeni shumë shembuj të gradave, duke mbuluar të gjitha hollësitë që dalin.

Navigimi i faqes.

Fuqia me eksponent natyror, katrori i një numri, kubi i një numri

Le të fillojmë me. Duke parë përpara, le të themi se përkufizimi i fuqisë së një numri a me eksponent natyror n është dhënë për a, të cilin do ta quajmë bazën e shkallës, dhe n, të cilat do t'i quajmë eksponent. Vëmë re gjithashtu se një shkallë me një eksponent natyror përcaktohet përmes një produkti, kështu që për të kuptuar materialin e mëposhtëm duhet të keni një kuptim të shumëzimit të numrave.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri me eksponent natyror nështë shprehje e formës a n, vlera e së cilës është e barabartë me produktin e n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a, pra .
Në veçanti, fuqia e një numri a me eksponent 1 është vetë numri a, domethënë a 1 =a.

Vlen të përmendet menjëherë për rregullat për leximin e gradave. Mënyra universale për të lexuar shënimin a n është: "a në fuqinë e n". Në disa raste, opsionet e mëposhtme janë gjithashtu të pranueshme: "a në fuqinë e n-të" dhe "fuqia e n-të e a". Për shembull, le të marrim fuqinë 8 12, kjo është "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "fuqia e dymbëdhjetë e tetë".

Fuqia e dytë e një numri, si dhe fuqia e tretë e një numri, kanë emrat e tyre. Fuqia e dytë e një numri quhet katrore numrin, për shembull, 7 2 lexohet si "shtatë në katror" ose "katrori i numrit shtatë". Fuqia e tretë e një numri quhet numrat në kub, për shembull, 5 3 mund të lexohet si "pesë kube" ose mund të thoni "kubi i numrit 5".

Është koha për të sjellë shembuj të shkallëve me eksponentë natyrorë. Le të fillojmë me shkallën 5 7, këtu 5 është baza e shkallës dhe 7 është eksponenti. Le të japim një shembull tjetër: 4.32 është baza, dhe numri natyror 9 është eksponenti (4.32) 9 .

Ju lutemi vini re se në shembullin e fundit, baza e fuqisë 4.32 është shkruar në kllapa: për të shmangur mospërputhjet, ne do të vendosim në kllapa të gjitha bazat e fuqisë që janë të ndryshme nga numrat natyrorë. Si shembull, japim shkallët e mëposhtme me eksponentë natyrorë , bazat e tyre nuk janë numra natyrorë, ndaj shkruhen në kllapa. Epo, për qartësi të plotë, në këtë pikë do të tregojmë ndryshimin që përmbahen në regjistrimet e formës (−2) 3 dhe −2 3. Shprehja (−2) 3 është një fuqi prej −2 me një eksponent natyror 3, dhe shprehja −2 3 (mund të shkruhet si −(2 3) ) korrespondon me numrin, vlerën e fuqisë 2 3 .

Vini re se ekziston një shënim për fuqinë e një numri a me një eksponent n të formës a^n. Për më tepër, nëse n është një numër natyror me shumë vlera, atëherë eksponenti merret në kllapa. Për shembull, 4^9 është një tjetër shënim për fuqinë e 4 9 . Dhe këtu janë disa shembuj të tjerë të shkrimit të shkallëve duke përdorur simbolin "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . Në atë që vijon, ne do të përdorim kryesisht shënimin e shkallës së formës a n.

Një nga problemet e anasjellta të rritjes në një fuqi me një eksponent natyror është problemi i gjetjes së bazës së një fuqie nga një vlerë e njohur e fuqisë dhe një eksponent i njohur. Kjo detyrë çon në.

Dihet se bashkësia e numrave racionalë përbëhet nga numra të plotë dhe thyesa, dhe secila thyesë mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme pozitive ose negative. Ne përcaktuam një shkallë me një eksponent numër të plotë në paragrafin e mëparshëm, prandaj, për të plotësuar përkufizimin e një shkalle me një eksponent racional, duhet t'i japim kuptim shkallës së numrit a me një eksponent thyesor m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror. Le ta bejme.

Le të shqyrtojmë një shkallë me një eksponent thyesor të formës . Që prona fuqi-fuqi të mbetet e vlefshme, barazia duhet të mbahet . Nëse marrim parasysh barazinë që rezulton dhe mënyrën se si përcaktuam , atëherë është logjike ta pranojmë atë me kusht që për m, n dhe a të dhëna të ketë kuptim shprehja.

Është e lehtë të kontrollohet nëse të gjitha vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë janë të vlefshme (kjo është bërë në seksionin vetitë e një shkalle me një eksponent racional).

Arsyetimi i mësipërm na lejon të bëjmë sa vijon përfundimi: nëse jepen m, n dhe a shprehja ka kuptim, atëherë fuqia e a-së me një eksponent thyesor m/n quhet rrënja e n-të e a-së në fuqinë e m.

Ky pohim na afron me përkufizimin e një shkalle me një eksponent thyesor. Mbetet vetëm për të përshkruar atë që m, n dhe a ka kuptim shprehja. Në varësi të kufizimeve të vendosura në m, n dhe a, ekzistojnë dy qasje kryesore.

Mënyra më e lehtë është të vendosësh një kufizim mbi a duke marrë a≥0 për m pozitive dhe a>0 për m negative (pasi për m≤0 shkalla 0 e m nuk është e përcaktuar). Pastaj marrim përkufizimin e mëposhtëm të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri pozitiv a me eksponent thyesor m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror, quhet rrënja e n-të e numrit a në fuqinë e m, domethënë .

Fuqia fraksionale e zeros përcaktohet gjithashtu me paralajmërimin e vetëm që treguesi duhet të jetë pozitiv.

Përkufizimi.

Fuqia zero me eksponent pozitiv thyesor m/n, ku m është një numër i plotë pozitiv dhe n është një numër natyror, përkufizohet si .
Kur shkalla nuk përcaktohet, domethënë, shkalla e numrit zero me një eksponent negativ thyesor nuk ka kuptim.

Duhet të theksohet se me këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor, ka një paralajmërim: për disa negative a dhe disa m dhe n, shprehja ka kuptim dhe ne i hodhëm këto raste duke futur kushtin a≥0. Për shembull, hyrjet kanë kuptim ose , dhe përkufizimi i dhënë më sipër na detyron të themi se fuqitë me një eksponent thyesor të formës nuk kanë kuptim, pasi baza nuk duhet të jetë negative.

Një qasje tjetër për përcaktimin e një shkalle me një eksponent thyesor m/n është të merren parasysh veçmas eksponentët çift dhe tek të rrënjës. Kjo qasje kërkon një kusht shtesë: fuqia e numrit a, eksponenti i të cilit është , konsiderohet të jetë fuqia e numrit a, eksponenti i të cilit është thyesa përkatëse e pakësueshme (do të shpjegojmë rëndësinë e kësaj gjendjeje më poshtë ). Kjo do të thotë, nëse m/n është një thyesë e pakalueshme, atëherë për çdo numër natyror k shkalla zëvendësohet fillimisht me .

Për n dhe pozitiv m, shprehja ka kuptim për çdo jonegativ a (një rrënjë çift i një numri negativ nuk ka kuptim); për negativ m, numri a duhet të jetë ende i ndryshëm nga zero (përndryshe do të ketë ndarje me zero). Dhe për n tek dhe m pozitiv, numri a mund të jetë çdo (rrënja e një shkalle tek përcaktohet për çdo numër real), dhe për negativ m, numri a duhet të jetë i ndryshëm nga zero (në mënyrë që të mos ketë pjesëtim me zero).

Arsyetimi i mësipërm na çon në këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Le të jetë m/n një thyesë e pakalueshme, m një numër i plotë dhe n një numër natyror. Për çdo thyesë të reduktueshme, shkalla zëvendësohet me . Fuqia e një numri me një eksponent thyesor të pakalueshëm m/n është për



Le të shpjegojmë pse një shkallë me një eksponent thyesor të reduktueshëm zëvendësohet fillimisht nga një shkallë me një eksponent të pareduktueshëm. Nëse thjesht do ta përkufizonim shkallën si , dhe nuk do të bënim një rezervë për pakësueshmërinë e thyesës m/n, atëherë do të përballeshim me situata të ngjashme me sa vijon: meqenëse 6/10 = 3/5, atëherë barazia duhet të jetë , Por , A .

Shkalla e

Pra, le të kuptojmë se çfarë është fuqia e një numri. Për të shkruar prodhimin e një numri në vetvete, shënimi i shkurtuar përdoret disa herë. Pra, në vend të produktit të gjashtë faktorëve identikë 4. 4 . 4 . 4 . 4 . 4 shkruhet 4 6 dhe shqiptohet "katër deri në fuqinë e gjashtë".
4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 6

Shprehja 4 6 quhet fuqi e një numri, ku:
. 4 - shkalla bazë;
. 6 është eksponenti.

Në përgjithësi, një shkallë me bazë "a" dhe eksponent "n" shkruhet duke përdorur shprehjen:

• Fuqia e një numri "a" me një eksponent natyror "n" më të madh se 1 është prodhimi i "n" faktorëve identikë, secili prej të cilëve është i barabartë me numrin "a".

Hyrja a n lexohet kështu: "a në fuqinë e n" ose "fuqia e n e a".

Përjashtimet janë shënimet e mëposhtme:
. a 2 - mund të shqiptohet si "a në katror";
. a 3 - mund të shqiptohet si "një kub".

• Fuqia e numrit "a" me eksponent n = 1 është vetë ky numër:
• a 1 = a
• Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një.
• a 0 = 1
• Zero për çdo fuqi natyrore është e barabartë me zero.
• 0 n = 0
• Një për çdo fuqi është e barabartë me 1.
• 1 n = 1

Shprehja 0 0 (zero në fuqinë e zeros) konsiderohet e pakuptimtë.
. (-32) 0 = 1
. 0 234 = 0
. 1 4 = 1
Kur zgjidhni shembuj, duhet të mbani mend se ngritja në një fuqi do të thotë të gjesh vlerën e një fuqie.

Shembull. Ngritja në një fuqi.
. 5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
. 2.5 2 = 2.5 . 2.5 = 6.25
. (3 ) 4 = 3. 3. 3. 3 = 81
4 4 4 4 4 256

Ngritja e një numri negativ në fuqi
Baza (numri që është ngritur në fuqi) mund të jetë çdo numër - pozitiv, negativ ose zero.

• Ngritja e një numri pozitiv në një fuqi prodhon një numër pozitiv.

Kur zero ngrihet në një fuqi natyrore, rezultati është zero.
Kur një numër negativ rritet në një fuqi, rezultati mund të jetë ose një numër pozitiv ose një numër negativ. Varet nëse eksponenti ishte numër çift apo tek.

Le të shohim shembuj të rritjes së numrave negativë në fuqi.


Nga shembujt e shqyrtuar, është e qartë se nëse një numër negativ ngrihet në një fuqi tek, atëherë fitohet një numër negativ. Meqenëse produkti i një numri tek faktorët negativ është negativ.

Nëse një numër negativ ngrihet në një fuqi çift, ai bëhet numër pozitiv. Meqenëse produkti i një numri çift faktorësh negativ është pozitiv.

Një numër negativ i ngritur në një fuqi çift është një numër pozitiv.

• Një numër negativ i ngritur në një fuqi tek është një numër negativ.
• Katrori i çdo numri është një numër pozitiv ose zero, domethënë:
• a 2 ≥ 0 për çdo a.

2 . (- 3) 2 = 2 . (- 3) . (- 3) = 2 . 9 = 18
. - 5 . (- 2) 3 = - 5 . (- 8) = 40

Shënim!
Gjatë zgjidhjes së shembujve të fuqizimit, shpesh bëhen gabime, duke harruar se shënimet (- 5) 4 dhe -5 4 janë shprehje të ndryshme. Rezultatet e ngritjes së këtyre shprehjeve në pushtet do të jenë të ndryshme.

Llogaritni (- 5) 4 do të thotë të gjeni vlerën e fuqisë së katërt të një numri negativ.
(- 5) 4 = (- 5) . (- 5) . (- 5) . (- 5) = 625

Ndërsa gjetja -5 4 do të thotë që shembulli duhet të zgjidhet në 2 hapa:
1. Ngrini numrin pozitiv 5 në fuqinë e katërt.
5 4 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625
2. Vendosni një shenjë minus përpara rezultatit të marrë (d.m.th., kryeni një veprim zbritjeje).
-5 4 = - 625
Shembull. Llogaritni: - 6 2 - (- 1) 4
- 6 2 - (- 1) 4 = - 37

1. 6 2 = 6 . 6 = 36
2. -6 2 = - 36
3. (- 1) 4 = (- 1) . (- 1) . (- 1) . (- 1) = 1
4. - (- 1) 4 = - 1
5. - 36 - 1 = - 37

Procedura në shembuj me gradë
Llogaritja e një vlere quhet veprimi i fuqizimit. Ky është veprimi i fazës së tretë.

• Në shprehjet me fuqi që nuk përmbajnë kllapa, fillimisht kryhet fuqizimi, pastaj shumëzimi dhe pjesëtimi dhe në fund mbledhja dhe zbritja.
• Nëse shprehja përmban kllapa, atëherë së pari kryeni veprimet në kllapa në rendin e treguar më sipër dhe më pas kryeni veprimet e mbetura në të njëjtin rend nga e majta në të djathtë.

Shembull. Llogaritni:

Vetitë e gradës

Një fuqi me një eksponent natyror ka disa veti të rëndësishme që na lejojnë të thjeshtojmë llogaritjet në shembujt me fuqi.
Prona nr 1
Produkt i fuqive

• Kur shumëzohen fuqitë me të njëjtat baza, baza mbetet e pandryshuar dhe shtohen eksponentët e fuqive.
• jam. a n = a m+n , ku a është çdo numër dhe m, n janë çdo numër natyror.

Kjo veti e fuqive vlen edhe për produktin e tre ose më shumë fuqive.
Shembuj.
. Thjeshtoni shprehjen.
b. b 2 . b 3. b 4. b 5 = b 1+2+3+4+5 = b 15

6 15 . 36 = 6 15 . 6 2 = 6 15+2 = 6 17

Paraqisni atë si diplomë.
(0,8) 3 . (0,8) 12 = (0,8) 3+12 = (0,8) 15

• Ju lutemi vini re se në pronën e treguar po flisnim vetëm për shumëzimin e fuqive me të njëjtat baza. Nuk vlen për shtimin e tyre.
• Ju nuk mund ta zëvendësoni shumën (3 3 + 3 2) me 3 3. Kjo është e kuptueshme nëse numëroni 3 3 = 27 dhe 3 2 = 9; 27 + 9 = 36 dhe 3 5 = 243

Pasuria nr 2
Grada të pjesshme

• Kur ndahen fuqitë me të njëjtat baza, baza mbetet e pandryshuar, dhe eksponenti i pjesëtuesit zbritet nga eksponenti i dividentit.
• jam. a n = a m-n, ku a është çdo numër jo i barabartë me zero, dhe m, n janë çdo numër natyror i tillë që m > n.

Shembuj.
. Shkruani herësin si fuqi
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5-3 = (2b) 2

Shembull. Zgjidhe ekuacionin. Ne përdorim vetinë e fuqive herës.
3 8: t = 3 4

t = 3 8: 3 4

t = 3 8-4

t = 3 4

Përgjigje: t = 3 4 = 81

Duke përdorur vetitë nr. 1 dhe nr. 2, mund të thjeshtoni lehtësisht shprehjet dhe të kryeni llogaritjet.
. Shembull. Thjeshtoni shprehjen.
4 5m+6 . 4 m+2: 4 4m+3 = 4 5m+6+m+2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

Ju lutemi vini re se në Pronën 2 po flisnim vetëm për ndarjen e fuqive me të njëjtat baza.
Ju nuk mund ta zëvendësoni diferencën (4 3 - 4 2) me 4 1. Kjo është e kuptueshme nëse numëroni 4 3 = 64 dhe 4 2 = 16; 64 - 16 = 48 dhe 4 1 = 4
Bej kujdes!

Pasuria nr.3
Ngritja e një shkalle në një fuqi

• Kur ngrihet një shkallë në një fuqi, baza e shkallës mbetet e pandryshuar dhe eksponentët shumëzohen.
• (a n) m = a n . m, ku a është çdo numër dhe m, n janë çdo numër natyror.

Shembull.
(a 4) 6 = a 4 . 6 = a 24
. Shembull. Shprehni 3 20 si fuqi me bazë 32.
Nga vetia e ngritjes së një shkalle në një fuqi Dihet se kur ngrihen në një fuqi, eksponentët shumëzohen, që do të thotë:

Vetitë 4
Fuqia e produktit

• Kur një fuqi ngrihet në fuqinë e produktit, çdo faktor ngrihet në atë fuqi dhe rezultatet shumëzohen.
• (a . b) n = a n . b n , ku a, b janë çdo numër racional; n - çdo numër natyror.

Shembulli 1.

(6 . a 2 . b 3 . c) 2 = 6 2 . a 2. 2. b 3. 2. nga 1. 2 = 36 a 4 . b 6. nga 2

Shembulli 2.

(- x 2 . y) 6 = ((- 1) 6 . x 2 . 6 . y 1 . 6) = x 12 . y 6

Ju lutemi vini re se vetia nr. 4, si vetitë e tjera të gradave, zbatohet gjithashtu në rend të kundërt.
(a n . b n)= (a . b) n

Kjo do të thotë, për të shumëzuar fuqitë me të njëjtët eksponentë, mund të shumëzoni bazat, por ta lini eksponentin të pandryshuar.
. Shembull. Llogaritni.

2 4 . 5 4 = (2 . 5) 4 = 10 4 = 10 000

Shembull. Llogaritni.

0,5 16 . 2 16 = (0,5 . 2) 16 = 1

Në shembujt më të ndërlikuar, mund të ketë raste kur shumëzimi dhe pjesëtimi duhet të kryhen mbi fuqitë me baza të ndryshme dhe eksponentë të ndryshëm. Në këtë rast, ju këshillojmë të bëni sa më poshtë.
Për shembull, 4 5. 3 2 = 4 3. 4 2. 3 2 = 4 3. (4 . 3) 2 = 64 . 12 2 = 64. 144 = 9216

Një shembull i ngritjes së një dhjetore në një fuqi.
4 21 . (-0,25) 20 = 4 . 4 20 . (-0,25) 20 = 4 . (4 . (-0,25)) 20 = 4 . (- 1) 20 = 4 . 1 = 4

Vetitë 5
Fuqia e një herësi (fraksioni)

• Për të ngritur një koeficient në një fuqi, mund të ngrini dividentin dhe pjesëtuesin veçmas në këtë fuqi dhe rezultatin e parë ta ndani me të dytin.
• (a: b) n = a n: b n, ku a, b janë çdo numër racional, b ≠ 0, n është çdo numër natyror.

Shembull. Paraqisni shprehjen si herës fuqish.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Ngritja e një fraksioni në një fuqi

• Kur ngrini një thyesë në një fuqi, duhet të ngrini si numëruesin ashtu edhe emëruesin në një fuqi.

Shembuj të rritjes së thyesave në fuqi.

Si të ngrihet një numër i përzier në një fuqi
Për të ngritur një numër të përzier në një fuqi, së pari heqim qafe pjesën e plotë, duke e kthyer numrin e përzier në një fraksion të papërshtatshëm. Pas kësaj, ne e ngremë si numëruesin ashtu edhe emëruesin në një fuqi.
Shembull.

Formula për ngritjen e një fraksioni në një fuqi përdoret si nga e majta në të djathtë dhe nga e djathta në të majtë, domethënë, për të ndarë shkallët në njëra-tjetrën me të njëjtët eksponentë, mund të ndani një bazë me tjetrën dhe të lini eksponentin e pandryshuar.

Shembull. Gjeni kuptimin e shprehjes në mënyrë racionale.

Vetitë e gradave

fuqia e tretë e numrit

Përshkrime alternative

Trup gjeometrik

Figura gjeometrike

Enë për distilimin dhe zierjen e lëngjeve

Treshja e matematikës

Sheshi vëllimor

Polyedron i rregullt

Bima nga e cila nxirrej bojë vat

Shkalla e tretë (matematikore)

Gjashtëkëndësh

Një rast i veçantë i një prizmi

Masa e volumit

Forma e regjistrit

Heksahedron

Gjashtëkëndësh i saktë

Kripa e tryezës dhe sulfuri i zinkut kristalizohen në formën e kësaj figure gjeometrike.

Ky poliedron i rregullt ka 6 fytyra

Ky poliedron i rregullt ka 8 kulme

Çfarë figure gjeometrike ka shenjtërorja e lashtë e Qabes?

Trupi katror në të gjitha anët

Një trup gjeometrik, tre projeksionet e të cilit janë të gjitha katrore

Numri shumëzuar tre herë

Njësia në të cilën matet druri i prerë

Një nga format e mbulimit të shtëpive me trungje

Shkalla e tretë (matematika.)

Hexahedron në një mënyrë të thjeshtë

katror 3D

Heksahedron i rregullt

Bën një deuce një tetë

Gjashtëkëndësh i djathtë

Polyedron

Masa e drurit të prerë

Forma e shenjtërores së Qabes

Shkalla e tretë për matematikan

Polyedron me 8 kulme

Forma e kristalit të kripës

Të gjitha projeksionet e tij janë katrore

Matja e volumit për shkrimet

Duke kombinuar 6 katrorë

Posedues i gjashtë brinjëve

Shkalla e tretë në matematikë

Zotërues i dymbëdhjetë brinjëve

Distilimi...

Gjashtëkëndësh i saktë

Trup gjeometrik, shumëfaqësh i rregullt

Enë për distilimin dhe zierjen e lëngjeve

Polyedron i rregullt me ​​gjashtë fytyra

M. enë distilimi, alembic, predhë për distilimin e lëngjeve, esp. verë Kubi mund të jetë qelqi, balte, bakri etj., të madhësive dhe llojeve të ndryshme; mbulohet fort me një kapak dhe lëngu i distilimit shkon në çifte në fyt, qafë dhe prej andej në frigorifer dhe derdhet në marrës. gjeometri. një trup drejtkëndor, barabrinjës i kufizuar nga gjashtë katrorë të barabartë: një kub ose gjoks, i cili ka katër anët, një kapak dhe një fund të një mase, përfaqëson një kub. aritmetike produkt, nga shumëzimi i çdo numri dy herë në vetvete: kubi i 4. Kub gjak-thithës, predhë shëruese, për prerjen e lëkurës; bankat. Kub dhjami, kamç. lëkura e fokës, e mbushur me dhjamin e kafshëve të detit dhe e qepur përreth; Kutyr. Bimë. kubik, Lejla, nga e cila nxirret bojë kubike. Kubi do të zvogëlohet. në përgjithësi një njësi e masës kub; ndër ekskavatorë, kubik. Hiqni kubet e tokës. Bimë. Picris hieracioides, patë druri. Kubik, që i përket një kubi, i lidhur. Hekur kubik, hekur kazan, fletë të trasha. Bojë vat, bojë bimore blu e bërë nga bimët. kub, indigo. Kubovik novg. Një sarafanë blu e kanavacës, ndryshe e lyer ose e nxirë, quhet sarafanë pune, verkhnik, dubenik, sandalnik. Kub, -formë, duke formuar një kub, në një gjeometër. dhe aritmetike kuptimi Kuti kubike, numri; rrënjë, një numër nga i cili, kur shumëzohej dy herë me vete, formohej një kub; do të jetë rrënja kubike e 8. Masa kubike, e trashë, masa e trashësisë: shtrirja nga pika në pikë matet me masë lineare, lineare; rrafsh, sipërfaqe me masë nga vija në vijë, nga skaji në buzë, me masë të sheshtë, katror; dhe çdo rrjedhë ose kapacitet midis dy rrafsheve është një masë e trashësisë, kubike, e trashë. Kuboid, blloqe, kuboidë, në formë, pothuajse kub, në pamje afër kubit, gjoks. Prisni diçka, ndajeni, copëtoni në kube, kube. Pritini sheqerin në kubikë dhe derdhni në kubikë. Kubike tokën, copëtoje në kube me një vizatim; bëni llogaritje kubike. Kripa e malit copëtohet, ndahet, shpërbëhet në kubikë. Kubatura f. një kub i barabartë në trashësi me një trup të caktuar, për shembull. top

Çfarë forme gjeometrike ka shenjtërorja e lashtë e Qabes?

Ju lutemi vini re se ky seksion diskuton konceptin gradë vetëm me eksponent natyror dhe zero.

Koncepti dhe vetitë e fuqive me eksponentë racional (me negativ dhe thyesor) do të diskutohen në mësimet për klasën 8.

Pra, le të kuptojmë se çfarë është fuqia e një numri. Për të shkruar prodhimin e një numri në vetvete, shënimi i shkurtuar përdoret disa herë.

Në vend të prodhimit të gjashtë faktorëve identikë 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4, shkruani 4 6 dhe thoni "katër në fuqinë e gjashtë".

4 4 4 4 4 4 = 4 6

Shprehja 4 6 quhet fuqi e një numri, ku:

• 4 — bazë e shkallës;
• 6 — eksponent.

Në përgjithësi, një shkallë me bazë "a" dhe eksponent "n" shkruhet duke përdorur shprehjen:

Mbani mend!

Fuqia e një numri "a" me një eksponent natyror "n" më të madh se 1 është prodhimi i "n" faktorëve identikë, secili prej të cilëve është i barabartë me numrin "a".

Hyrja "a n" lexohet kështu: "a në fuqinë e n" ose "fuqia n e numrit a".

Përjashtimet janë shënimet e mëposhtme:

• a 2 - mund të shqiptohet si "a në katror";
• a 3 - mund të shqiptohet si "një kub".

• a 2 - "a në fuqinë e dytë";
• a 3 - "a në fuqinë e tretë".

Raste të veçanta lindin nëse eksponenti është i barabartë me një ose zero (n = 1; n = 0).

Mbani mend!

Fuqia e numrit "a" me eksponent n = 1 është vetë ky numër:
a 1 = a

Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një.
a 0 = 1

Zero për çdo fuqi natyrore është e barabartë me zero.
0 n = 0

Një për çdo fuqi është e barabartë me 1.
1 n = 1

Shprehja 0 0 ( zero në fuqinë zero) konsiderohen të pakuptimta.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Kur zgjidhni shembuj, duhet të mbani mend se ngritja në një fuqi është gjetja e një vlere numerike ose shkronjash pas ngritjes së saj në një fuqi.

Shembull. Ngritja në një fuqi.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Ngritja e një numri negativ në fuqi

Baza (numri që është ngritur në fuqi) mund të jetë çdo numër - pozitiv, negativ ose zero.

Mbani mend!

Ngritja e një numri pozitiv në një fuqi prodhon një numër pozitiv.

Kur zero ngrihet në një fuqi natyrore, rezultati është zero.

Kur një numër negativ rritet në një fuqi, rezultati mund të jetë ose një numër pozitiv ose një numër negativ. Varet nëse eksponenti ishte numër çift apo tek.

Le të shohim shembuj të rritjes së numrave negativë në fuqi.

Nga shembujt e shqyrtuar, është e qartë se nëse një numër negativ ngrihet në një fuqi tek, atëherë fitohet një numër negativ. Meqenëse produkti i një numri tek faktorët negativ është negativ.

Nëse një numër negativ ngrihet në një fuqi çift, ai bëhet numër pozitiv. Meqenëse produkti i një numri çift faktorësh negativ është pozitiv.

Mbani mend!

Një numër negativ i ngritur në një fuqi çift është një numër pozitiv.

Një numër negativ i ngritur në një fuqi tek është një numër negativ.

Katrori i çdo numri është një numër pozitiv ose zero, domethënë:

a 2 ≥ 0 për çdo a.

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Shënim!

Gjatë zgjidhjes së shembujve të fuqizimit, shpesh bëhen gabime, duke harruar se hyrjet (−5) 4 dhe −5 4 janë shprehje të ndryshme. Rezultatet e ngritjes së këtyre shprehjeve në pushtet do të jenë të ndryshme.

Llogaritja e (−5) 4 nënkupton gjetjen e vlerës së fuqisë së katërt të një numri negativ.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

Ndërsa gjetja e "−5 4" do të thotë që shembulli duhet të zgjidhet në 2 hapa:

1. Ngrini numrin pozitiv 5 në fuqinë e katërt.
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. Vendosni një shenjë minus përpara rezultatit të marrë (d.m.th., kryeni një veprim zbritjeje).
   −5 4 = −625

Shembull. Njehsoni: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Procedura në shembuj me gradë

Llogaritja e një vlere quhet veprimi i fuqizimit. Ky është veprimi i fazës së tretë.

Mbani mend!

Në shprehjet me fuqi që nuk përmbajnë kllapa, së pari bëni fuqizimi, pastaj shumëzimi dhe pjesëtimi, dhe në fund mbledhje dhe zbritje.

Nëse shprehja përmban kllapa, atëherë së pari kryeni veprimet në kllapa në rendin e treguar më sipër dhe më pas kryeni veprimet e mbetura në të njëjtin rend nga e majta në të djathtë.

Shembull. Llogaritni:

Për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e shembujve, është e dobishme të njihni dhe përdorni tabelën e gradave, të cilën mund ta shkarkoni falas në faqen tonë të internetit.

Për të kontrolluar rezultatet tuaja, mund të përdorni kalkulatorin në faqen tonë të internetit "