Projeções de velocidade e aceleração. Velocidade de movimento Módulo de projeção da velocidade no eixo x

As projeções das velocidades de dois pontos de um corpo rígido sobre um eixo que passa por esses pontos são iguais entre si.
v UMA cos α = v B cos β.

Prova

Vamos escolher um sistema de coordenadas fixas retangulares Oxyz. Tomemos dois pontos arbitrários de um corpo rígido A e B. Deixar (xA, yA, zA) E (xB, yB, zB)- coordenadas desses pontos. Quando um corpo rígido se move, eles são funções do tempo t. Diferenciando em relação ao tempo, obtemos projeções das velocidades dos pontos.
, .

Aproveitemos o fato de que quando um corpo rígido se move, a distância | AB | entre os pontos permanece constante, ou seja, não depende do tempo t. Também constante é o quadrado da distância
.
Vamos diferenciar esta equação em relação ao tempo t, aplicando a regra de diferenciação de uma função complexa.

Vamos encurtar 2 .
(1)

Vamos apresentar o vetor
.
Então a equação (1) pode ser representado como um produto escalar de vetores.
(2)
Realizamos transformações.
;
(3) .
Pela propriedade do produto escalar
,
.
Substitua em (3) e reduzir em | AB |.
;

Q.E.D.

Velocidade relativa

Considere o movimento do ponto B em relação ao ponto A. Vamos apresentar a velocidade relativa do ponto B em relação a A.

Então a equação (2) pode ser reescrito na forma
.

Ou seja, a velocidade relativa é perpendicular ao vetor traçado do ponto A ao ponto B. Como o ponto B é tomado arbitrariamente, a velocidade relativa de qualquer ponto em um corpo rígido é perpendicular ao vetor raio desenhado a partir do ponto A. Ou seja, em relação ao ponto A, o corpo sofre movimento rotacional. A velocidade relativa dos pontos do corpo é determinada pela fórmula do movimento rotacional
.

O ponto A, em relação ao qual o movimento é considerado, é frequentemente chamado pólo.

A velocidade absoluta do ponto B em relação a um sistema de coordenadas fixo pode ser escrita da seguinte forma:
.
É igual à soma da velocidade do movimento translacional de um ponto arbitrário A (pólo) e a velocidade do movimento rotacional em relação ao pólo A.

Exemplo de solução de problema

A tarefa

Rodas 1 e 2 com raios R 1 = 0,15m e R 2 = 0,3m, respectivamente, são conectados por dobradiças a uma haste de 3 comprimentos | AB | = 0,5m. A roda 1 gira com velocidade angular ω 1 = 1rad/s. Para a posição do mecanismo mostrado na figura, determine a velocidade angular ω 2 rodas 2. Pegue L = 0,3m.

A solução do problema

O ponto A se move em um círculo raio R 1 em torno do centro de rotação O 1 . A velocidade do ponto A é determinada pela fórmula
VA = ω 1 R 1.
O vetor é direcionado verticalmente (perpendicular a O 1A).

O ponto B se move em um círculo raio R 2 em torno do centro de rotação O 2 . A velocidade do ponto B é determinada pela fórmula
V B = ω 2 R 2.
Daqui
.
O vetor é direcionado horizontalmente (perpendicular a O 2B).

Estamos construindo triângulo retângulo ABC. Aplicamos o teorema de Pitágoras.
(m)
.
O cosseno do ângulo entre o vetor velocidade e a reta AB, na direção do vetor, é igual a
.

Por teorema da projeção de velocidade dois pontos de um corpo rígido em linha reta temos:
VA cos α = V B cos β.
Daqui
.

Encontrando a velocidade angular da roda 2.
rad/s .

Movimento uniforme– trata-se de movimento em velocidade constante, ou seja, quando a velocidade não muda (v = const) e não ocorre aceleração ou desaceleração (a = 0).

Movimento em linha reta- este é o movimento em linha reta, ou seja, a trajetória do movimento retilíneo é em linha reta.

Movimento linear uniforme- este é um movimento no qual um corpo faz movimentos iguais em intervalos iguais de tempo. Por exemplo, se dividirmos um determinado intervalo de tempo em intervalos de um segundo, então, com movimento uniforme, o corpo percorrerá a mesma distância para cada um desses intervalos de tempo.

A velocidade do movimento retilíneo uniforme não depende do tempo e em cada ponto da trajetória é direcionada da mesma forma que o movimento do corpo. Ou seja, o vetor deslocamento coincide em direção com o vetor velocidade. Neste caso, a velocidade média para qualquer período de tempo é igual à velocidade instantânea: v cp = v Velocidade do movimento retilíneo uniformeé uma grandeza vetorial física igual à razão entre o movimento de um corpo durante qualquer período de tempo e o valor deste intervalo t:

Assim, a velocidade do movimento retilíneo uniforme mostra quanto movimento um ponto material faz por unidade de tempo.

Movendo-se com movimento linear uniforme é determinado pela fórmula:

Distância viajada em movimento linear é igual ao módulo de deslocamento. Se a direção positiva do eixo OX coincide com a direção do movimento, então a projeção da velocidade no eixo OX é igual à magnitude da velocidade e é positiva:

V x = v, ou seja, v > 0 A projeção do deslocamento no eixo OX é igual a: s = vt = x – x 0 onde x 0 é a coordenada inicial do corpo, x é a coordenada final do corpo (ou a coordenada do corpo a qualquer momento)

Equação de movimento, isto é, a dependência das coordenadas do corpo no tempo x = x(t), assume a forma:

X = x 0 + vt Se a direção positiva do eixo OX for oposta à direção do movimento do corpo, então a projeção da velocidade do corpo no eixo OX é negativa, a velocidade é menor que zero (v x = x 0 -vt

Dependência da velocidade, coordenadas e caminho do tempo

A dependência da projeção da velocidade do corpo no tempo é mostrada na Fig. 1.11. Como a velocidade é constante (v = const), o gráfico da velocidade é uma linha reta paralela ao eixo do tempo Ot.

Arroz. 1.11. Dependência da projeção da velocidade do corpo no tempo para movimento retilíneo uniforme.

A projeção do movimento no eixo coordenado é numericamente igual à área do retângulo OABC (Fig. 1.12), pois a magnitude do vetor movimento é igual ao produto do vetor velocidade e o tempo durante o qual o movimento foi feito.

Arroz. 1.12. Dependência da projeção do deslocamento do corpo no tempo para movimento retilíneo uniforme.

Um gráfico de deslocamento versus tempo é mostrado na Fig. 1.13. O gráfico mostra que a projeção da velocidade é igual a

V = s 1 / t 1 = tan α onde α é o ângulo de inclinação do gráfico em relação ao eixo do tempo. Quanto maior o ângulo α, mais rápido o corpo se move, ou seja, maior será sua velocidade (maior distância o corpo percorre em menos tempo). A tangente da tangente ao gráfico da coordenada versus tempo é igual à velocidade: tg α = v

Arroz. 1.13. Dependência da projeção do deslocamento do corpo no tempo para movimento retilíneo uniforme.

A dependência da coordenada no tempo é mostrada na Fig. 1.14. Pela figura fica claro que

Tg α 1 > tan α 2 portanto, a velocidade do corpo 1 é maior que a velocidade do corpo 2 (v 1 > v 2). tg α 3 = v 3 Se o corpo estiver em repouso, então o gráfico de coordenadas é uma linha reta paralela ao eixo do tempo, ou seja, x = x 0

Arroz. 1.14. Dependência das coordenadas do corpo no tempo para movimento retilíneo uniforme.

A velocidade é uma das principais características. Expressa a própria essência do movimento, ou seja, determina a diferença que existe entre um corpo estacionário e um corpo em movimento.

A unidade SI de velocidade é EM.

É importante lembrar que a velocidade é uma grandeza vetorial. A direção do vetor velocidade é determinada pelo movimento. O vetor velocidade é sempre direcionado tangencialmente à trajetória no ponto por onde passa o corpo em movimento (Fig. 1).

Por exemplo, considere o volante de um carro em movimento. A roda gira e todos os pontos da roda se movem em círculos. Os respingos que saem da roda voarão tangentes a esses círculos, indicando as direções dos vetores de velocidade de pontos individuais da roda.

Assim, a velocidade caracteriza a direção do movimento de um corpo (direção do vetor velocidade) e a velocidade do seu movimento (módulo do vetor velocidade).

Velocidade negativa

A velocidade de um corpo pode ser negativa? Sim talvez. Se a velocidade de um corpo for negativa, isso significa que o corpo está se movendo na direção oposta à direção do eixo de coordenadas no sistema de referência escolhido. A Figura 2 mostra o movimento de um ônibus e de um carro. A velocidade do carro é negativa e a velocidade do ônibus é positiva. Deve-se lembrar que quando falamos em sinal de velocidade, queremos dizer a projeção do vetor velocidade no eixo de coordenadas.

Movimento uniforme e desigual

Em geral, a velocidade depende do tempo. De acordo com a natureza da dependência da velocidade em relação ao tempo, o movimento pode ser uniforme ou irregular.

DEFINIÇÃO

Movimento uniforme– este é um movimento com uma velocidade de módulo constante.

Em caso de movimento irregular falamos de:

Exemplos de resolução de problemas no tema “Velocidade”

EXEMPLO 1

Exercício	O carro percorreu a primeira metade do trajeto entre dois povoados a uma velocidade de 90 km/h, e a segunda metade a uma velocidade de 54 km/h. Determine a velocidade média do carro.
Solução	Seria incorreto calcular a velocidade média de um carro como a média aritmética das duas velocidades indicadas. Vamos usar a definição de velocidade média: Como é assumido movimento retilíneo uniforme, os sinais dos vetores podem ser omitidos. Tempo gasto pelo carro para percorrer toda a distância: onde é o tempo gasto para completar a primeira metade do caminho e é o tempo gasto para completar a segunda metade do caminho. O movimento total é igual à distância entre áreas povoadas, ou seja, . Substituindo essas relações na fórmula da velocidade média, obtemos: Vamos converter as velocidades em seções individuais para o sistema SI: Então a velocidade média do carro é: (EM)
Responder	A velocidade média do carro é 18,8 m/s

EXEMPLO 2

Exercício	Um carro viaja por 10 segundos a uma velocidade de 10 m/s e depois anda por mais 2 minutos a uma velocidade de 25 m/s. Determine a velocidade média do carro.
Solução	Vamos fazer um desenho.

3.1. Movimento uniforme em linha reta.

3.1.1. Movimento uniforme em linha reta- movimento em linha reta com aceleração constante em magnitude e direção:

3.1.2. Aceleração()- uma grandeza vetorial física que mostra o quanto a velocidade mudará em 1 s.

Em forma vetorial:

onde está a velocidade inicial do corpo, é a velocidade do corpo no momento t.

Em projeção no eixo Boi:

onde está a projeção da velocidade inicial no eixo Boi, - projeção da velocidade do corpo no eixo Boi em um momento t.

Os sinais das projeções dependem da direção dos vetores e do eixo Boi.

3.1.3. Gráfico de projeção de aceleração versus tempo.

Com movimento uniformemente alternado, a aceleração é constante, portanto aparecerá como linhas retas paralelas ao eixo do tempo (ver figura):

3.1.4. Velocidade durante movimento uniforme.

Em forma vetorial:

Em projeção no eixo Boi:

Para movimento uniformemente acelerado:

Para câmera lenta uniforme:

3.1.5. Gráfico de projeção de velocidade versus tempo.

O gráfico da projeção da velocidade versus tempo é uma linha reta.

Direção do movimento: se o gráfico (ou parte dele) estiver acima do eixo do tempo, então o corpo está se movendo na direção positiva do eixo Boi.

Valor de aceleração: quanto maior a tangente do ângulo de inclinação (quanto mais íngreme sobe ou desce), maior é o módulo de aceleração; onde está a mudança na velocidade ao longo do tempo

Interseção com o eixo do tempo: se o gráfico cruza o eixo do tempo, então antes do ponto de interseção o corpo desacelerou (movimento uniformemente lento) e após o ponto de interseção começou a acelerar na direção oposta (movimento uniformemente acelerado).

3.1.6. Significado geométrico da área sob o gráfico nos eixos

Área sob o gráfico quando no eixo Oi a velocidade está atrasada e no eixo Boi- o tempo é o caminho percorrido pelo corpo.

Na Fig. 3.5 mostra o caso de movimento uniformemente acelerado. O caminho neste caso será igual à área do trapézio: (3.9)

3.1.7. Fórmulas para calcular caminho

Movimento uniformemente acelerado	Câmera lenta igual
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

Todas as fórmulas apresentadas na tabela funcionam apenas quando a direção do movimento é mantida, ou seja, até que a reta cruze o eixo do tempo no gráfico da projeção da velocidade versus tempo.

Se a interseção ocorreu, é mais fácil dividir o movimento em duas etapas:

antes de cruzar (frenagem):

Após o cruzamento (aceleração, movimento na direção oposta)

Nas fórmulas acima - o tempo desde o início do movimento até a intersecção com o eixo do tempo (tempo antes de parar), - o caminho que o corpo percorreu desde o início do movimento até a intersecção com o eixo do tempo, - o tempo decorrido desde o momento de cruzar o eixo do tempo até este momento t, - o caminho que o corpo percorreu na direção oposta durante o tempo decorrido desde o momento de cruzar o eixo do tempo até este momento t, - o módulo do vetor de deslocamento para todo o tempo de movimento, eu- o caminho percorrido pelo corpo durante todo o movimento.

3.1.8. Movimento no décimo segundo.

Durante esse tempo o corpo percorrerá a seguinte distância:

Durante esse tempo o corpo percorrerá a seguinte distância:

Então, durante o intervalo, o corpo percorrerá a seguinte distância:

Qualquer período de tempo pode ser considerado um intervalo. Na maioria das vezes com.

Então, em 1 segundo, o corpo percorre a seguinte distância:

Em 2 segundos:

Em 3 segundos:

Se olharmos com atenção, veremos isso, etc.

Assim, chegamos à fórmula:

Em palavras: os caminhos percorridos por um corpo em períodos sucessivos de tempo estão relacionados entre si como uma série de números ímpares, e isso não depende da aceleração com que o corpo se move. Ressaltamos que esta relação é válida para

3.1.9. Equação das coordenadas do corpo para movimento uniforme

Equação de coordenadas

Os sinais das projeções da velocidade e aceleração iniciais dependem da posição relativa dos vetores correspondentes e do eixo Boi.

Para resolver problemas, é necessário adicionar à equação a equação para alterar a projeção da velocidade no eixo:

3.2. Gráficos de grandezas cinemáticas para movimento retilíneo

3.3. Corpo em queda livre

Por queda livre entendemos o seguinte modelo físico:

1) A queda ocorre sob a influência da gravidade:

2) Não há resistência do ar (em problemas às vezes escrevem “negligenciar a resistência do ar”);

3) Todos os corpos, independente da massa, caem com a mesma aceleração (às vezes acrescentam “independentemente da forma do corpo”, mas estamos considerando o movimento apenas de um ponto material, então a forma do corpo não é mais tomada em conta);

4) A aceleração da gravidade é direcionada estritamente para baixo e é igual na superfície da Terra (em problemas que muitas vezes assumimos por conveniência de cálculos);

3.3.1. Equações de movimento em projeção no eixo Oi

Ao contrário do movimento ao longo de uma linha reta horizontal, quando nem todas as tarefas envolvem uma mudança na direção do movimento, em queda livre é melhor usar imediatamente as equações escritas em projeções no eixo Oi.

Equação de coordenadas do corpo:

Equação de projeção de velocidade:

Via de regra, em problemas é conveniente selecionar o eixo Oi Da seguinte maneira:

Eixo Oi direcionado verticalmente para cima;

A origem coincide com o nível da Terra ou com o ponto mais baixo da trajetória.

Com esta escolha, as equações e serão reescritas da seguinte forma:

3.4. Movimento em um avião Oxi.

Consideramos o movimento de um corpo com aceleração ao longo de uma linha reta. No entanto, o movimento uniformemente variável não se limita a isso. Por exemplo, um corpo lançado em ângulo com a horizontal. Nesses problemas, é necessário levar em consideração o movimento ao longo de dois eixos ao mesmo tempo:

Ou em forma vetorial:

E alterando a projeção da velocidade em ambos os eixos:

3.5. Aplicação do conceito de derivada e integral

Não forneceremos uma definição detalhada de derivada e integral aqui. Para resolver problemas precisamos apenas de um pequeno conjunto de fórmulas.

Derivado:

Onde A, B e isto é, valores constantes.

Integrante:

Agora vamos ver como os conceitos de derivada e integral se aplicam às grandezas físicas. Em matemática, a derivada é denotada por """, em física, a derivada em relação ao tempo é denotada por "∙" acima da função.

Velocidade:

isto é, a velocidade é uma derivada do vetor raio.

Para projeção de velocidade:

Aceleração:

isto é, a aceleração é uma derivada da velocidade.

Para projeção de aceleração:

Assim, se a lei do movimento for conhecida, poderemos facilmente encontrar a velocidade e a aceleração do corpo.

Agora vamos usar o conceito de integral.

Velocidade:

isto é, a velocidade pode ser encontrada como a integral temporal da aceleração.

Vetor de raio:

isto é, o vetor raio pode ser encontrado tomando a integral da função velocidade.

Assim, se a função for conhecida, podemos facilmente encontrar a velocidade e a lei do movimento do corpo.

As constantes nas fórmulas são determinadas a partir das condições iniciais - valores e no momento

3.6. Triângulo de velocidade e triângulo de deslocamento

3.6.1. Triângulo de velocidade

Na forma vetorial com aceleração constante, a lei da mudança de velocidade tem a forma (3.5):

Esta fórmula significa que um vetor é igual à soma vetorial dos vetores e a soma vetorial sempre pode ser representada em uma figura (ver figura).

Em cada problema, dependendo das condições, o triângulo de velocidades terá sua própria forma. Esta representação permite a utilização de considerações geométricas na solução, o que muitas vezes simplifica a solução do problema.

3.6.2. Triângulo de movimentos

Na forma vetorial, a lei do movimento com aceleração constante tem a forma:

Ao resolver um problema, pode-se escolher o sistema de referência da forma mais conveniente, portanto, sem perder a generalidade, podemos escolher o sistema de referência de tal forma que, ou seja, coloquemos a origem do sistema de coordenadas no ponto onde o corpo está localizado no momento inicial. Então

isto é, o vetor é igual à soma vetorial dos vetores e vamos representá-lo na figura (ver figura).

Como no caso anterior, dependendo das condições, o triângulo de deslocamento terá forma própria. Esta representação permite a utilização de considerações geométricas na solução, o que muitas vezes simplifica a solução do problema.

1.2. Movimento em linha reta

1.2.3. Cálculo gráfico de grandezas cinemáticas

Algumas características cinemáticas do movimento podem ser calculadas graficamente.

Definição de velocidade projetada

Usando gráficos da dependência da coordenada no tempo x (t) (ou da distância percorrida no tempo S (t)), você pode calcular o correspondente projeção de velocidade v x em um determinado momento (Fig. 1.11), por exemplo t = t 1.

Para fazer isso você deve:

1) marcar no eixo do tempo o valor indicado do momento t 1;

2) restaurar a perpendicular à intersecção com o gráfico x (t);

5) determine a projeção da velocidade no eixo do Boi como a tangente do ângulo tangente à direção positiva do eixo do tempo:

v x (t 1) = tan α 1 .

Deve-se notar que a projeção da velocidade v x é

• positivo se a tangente ao gráfico formar um ângulo agudo com a direção do eixo t (ver Fig. 1.11);
• negativo se a tangente ao gráfico formar um ângulo obtuso com a direção do eixo t (Fig. 1.12).

Na Fig. A Figura 1.12 mostra um gráfico da coordenada versus tempo x (t). Para determinar a projeção da velocidade no eixo do Boi no tempo t 3, uma perpendicular t = t 3 é desenhada. No ponto de intersecção da perpendicular com a dependência x (t) é traçada uma linha tangente. Forma um ângulo obtuso com o eixo t. Portanto, a projeção da velocidade v x no eixo do Boi no tempo indicado é um valor negativo:

v x (t 3) = − | tan α 3 | .

Arroz. 1.12

Definição de projeção de aceleração

Usando o gráfico da projeção da velocidade em função do tempo v x (t), você pode calcular a projeção da aceleração a x no eixo correspondente em um determinado momento (Fig. 1.13), por exemplo t = t 2.

Para fazer isso você deve:

1) marcar no eixo do tempo o valor indicado do momento t 2;

2) restaurar a perpendicular à intersecção com o gráfico v x (t);

3) traçar uma reta tangente ao gráfico no ponto de sua intersecção com a perpendicular;

5) determine a projeção da aceleração no eixo do Boi como a tangente do ângulo tangente à direção positiva do eixo do tempo:

a x (t 2) = tan α 2 .

Deve-se notar que a projeção da aceleração a x é

• positivo se a tangente ao gráfico formar um ângulo agudo com a direção do eixo t (ver Fig. 1.13);

Arroz. 1.13

• negativo se a tangente ao gráfico formar um ângulo obtuso com a direção do eixo t (Fig. 1.14).

Arroz. 1.14

Explicação do uso do algoritmo. Na Fig. A Figura 1.14 mostra um gráfico da projeção da velocidade versus tempo v x (t). Para determinar a projeção da aceleração no eixo do Boi no tempo t 4, uma perpendicular t = t 4 é desenhada. No ponto de intersecção da perpendicular com a dependência v x (t) uma linha tangente é desenhada. Forma um ângulo obtuso com o eixo t. Portanto, a projeção da aceleração a x no eixo do Boi no tempo especificado é um valor negativo:

uma x (t 4) = − | tgα4 | .

Determinação da distância percorrida e módulo de deslocamento (combinação de movimento uniforme e uniformemente acelerado)

Usando o gráfico da projeção da velocidade em função do tempo v x (t), você pode calcular a distância percorrida e módulo de viagem ponto material (corpo) por um determinado período de tempo ∆t = t 2 − t 1 .

Para calcular as características especificadas usando um gráfico contendo apenas seções uniformemente acelerado e movimento uniforme, segue:

4) calcule a distância percorrida S e o módulo de deslocamento ∆r como somas:

∆r = S 1 + S 2 + ... + S n,

onde S 1, S 2, ..., S n são os caminhos percorridos pelo ponto material em cada uma das seções de movimento uniformemente acelerado e uniforme.

Na Fig. A Figura 1.15 mostra a dependência da projeção da velocidade com o tempo para um ponto material (corpo) movendo-se uniformemente acelerado na seção AB, uniformemente na seção BC, uniformemente acelerado na seção CD, mas com uma aceleração diferente da aceleração na seção AB.

Arroz. 1,15

Neste caso, a distância percorrida S e o módulo de deslocamento ∆r coincidem e são calculados pelas fórmulas:

S = S 1 + S 2 + S 3,

∆r = S 1 + S 2 + S 3,

onde S 1 é o caminho percorrido por um ponto material (corpo) na seção AB; S 2 - caminho percorrido no trecho BC; S 3 - caminho percorrido no trecho CD; S 1 , S 2 , S 3 são calculados de acordo com o algoritmo fornecido acima.

Determinação da distância percorrida e módulo de deslocamento (combinação de movimento uniforme, uniformemente acelerado e uniformemente desacelerado)

Para calcular as características indicadas utilizando o gráfico v x (t), contendo seções não apenas uniformemente aceleradas e uniformes, mas também igualmente lento movimento, você deve:

1) marque o intervalo de tempo especificado ∆t no eixo do tempo;

2) restaurar perpendiculares dos pontos t = t 1 e t = t 2 até que se cruzem com o gráfico v x (t);

4) calcule a distância percorrida S como a soma:

S = S 1 + S 2 + ... + S n,

onde S 1, S 2, ..., S n são os caminhos percorridos pelo ponto material em cada uma das seções;

5) calcular módulo de viagem como a diferença entre o caminho total percorrido pelo ponto material até o ponto de parada e o caminho percorrido pelo ponto material após a parada.

Explicação do uso do algoritmo. Na Fig. A Figura 1.16 mostra a dependência da velocidade em relação ao tempo para um ponto material (corpo) movendo-se uniformemente acelerado na seção AB, uniformemente na seção BC, uniformemente lento na seção CF.

Arroz. 1.16

No caso em que há um trecho de câmera lenta uniformemente (incluindo um ponto de parada - ponto D), a distância percorrida S e o módulo de deslocamento ∆r não coincidem. A distância percorrida é calculada usando a fórmula

S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4,

onde S 1 é o caminho percorrido por um ponto material (corpo) na seção AB; S 2 - caminho percorrido no trecho BC; S 3 - caminho percorrido no trecho CD; S 4 - caminho percorrido no trecho DF; S 1 , S 2 , S 3 , S 4 são calculados de acordo com o algoritmo fornecido acima; Deve-se notar que o valor de S 4 é positivo.

O módulo de deslocamento é calculado usando a fórmula

∆r = S 1 + S 2 + S 3 − S 4,

subtraindo o caminho percorrido pelo ponto material (corpo) após a rotação.

Determinação do módulo de mudança de velocidade

A partir do gráfico da projeção da aceleração em função do tempo a x (t) pode-se encontrar módulo de mudança de velocidade∆v de um ponto material (corpo) para um determinado intervalo de tempo ∆t = t 2 − t 1 (Fig. 1.17).

Para fazer isso você deve:

1) marque o intervalo de tempo especificado ∆t no eixo do tempo;

2) restaurar perpendiculares dos pontos t = t 1 e t = t 2 até que se cruzem com o gráfico a x (t);

4) calcule o módulo de mudança na velocidade para o intervalo de tempo especificado como uma área.

Exemplo 4. O gráfico da projeção da velocidade do primeiro corpo no eixo do Boi em função do tempo é representado por uma reta que passa pelos pontos (0; 6) e (3; 0), a segunda - pelos pontos ( 0; 0) e (8; 4), onde a velocidade é dada em metros por segundo, o tempo - em segundos. Quantas vezes os módulos de aceleração do primeiro e do segundo corpo diferem?

Solução. Gráficos de projeções de velocidade versus tempo para ambos os corpos são mostrados na figura.

A projeção da aceleração do primeiro corpo é definida como a tangente do ângulo obtuso α 1 ; seu módulo é calculado pela fórmula

| um x 1 | = | tan α 1 | = | tg (180 − α 3) | = 6 3 = 2 m/s 2.

O primeiro corpo se move igualmente devagar; o módulo de sua aceleração é a 1 = = 2 m/s 2.

A projeção da aceleração do segundo corpo é definida como a tangente do ângulo agudo α 2 ; seu módulo é calculado pela fórmula

a x 2 = tan α 2 = 4 8 = 0,5 m/s 2.

O segundo corpo se move com aceleração uniforme; o módulo de sua aceleração é a 2 = 0,5 m/s 2.

A proporção necessária dos módulos de aceleração do primeiro e segundo corpos é igual a:

uma 1 uma 2 = 2 0,5 = 4 .

A aceleração do primeiro corpo é 4 vezes maior que a aceleração do segundo corpo.

Exemplo 5. O gráfico da coordenada y versus tempo para o primeiro corpo é representado como uma linha reta que passa pelos pontos (0; 0) e (5; 3), o segundo - pelos pontos (3; 0) e (6; 6), onde a coordenada é dada em metros, o tempo em segundos. Determine a razão dos módulos das projeções de velocidade dos corpos indicados.

Solução. Gráficos da coordenada y versus tempo para ambos os corpos são mostrados na figura.

A projeção da velocidade do primeiro corpo é definida como a tangente do ângulo α 1; seu módulo é calculado pela fórmula

v y 1 = tan α 1 = 3 5 = 0,6 m/s.

A projeção da velocidade do segundo corpo é definida como a tangente do ângulo α 2; seu módulo é calculado pela fórmula

v y 2 = tan α 2 = 6 3 = 2 m/s.

Ambas as projeções de velocidade têm sinal positivo; portanto, ambos os corpos se movem com aceleração uniforme.

A razão dos módulos das projeções de velocidade dos corpos indicados é:

| v e 2 | | v e 1 | = 2 0,6 ≈ 3 .

A magnitude da projeção da velocidade do segundo corpo é aproximadamente 3 vezes maior que a magnitude da projeção da velocidade do segundo corpo.

Exemplo 6. O gráfico da dependência da velocidade de um corpo com o tempo é representado como uma linha reta que passa pelos pontos (0; 4,0) e (2,5; 0), onde a velocidade é dada em metros por segundo, tempo - em segundos. Quantas vezes a distância percorrida pelo corpo é maior que o módulo de deslocamento em 6,0 s de movimento?

Solução. Um gráfico da velocidade do corpo em função do tempo é mostrado na figura. O ponto de parada τ repouso = 2,5 s cai no intervalo de 0 s a 6,0 s.

Portanto, a distância percorrida é a soma

S = S 1 + S 2,

e o módulo de deslocamento é a diferença

| Δr → | = | S 1 − S 2 | ,

onde S 1 é o caminho percorrido pelo corpo no intervalo de tempo de 0 s a 2,5 s; S 2 é o caminho percorrido pelo corpo no intervalo de tempo de 2,5 s a 6,0 s.

Calculamos os valores de S 1 e S 2 graficamente como as áreas dos triângulos mostrados na figura:

S 1 = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 2,5 = 5,0 m;

S 2 = 1 2 ⋅ (6,0 − 2,5) ⋅ 5,6 = 9,8 m.

Nota: o valor da velocidade v = 5,6 m/s no tempo t = 6,0 s é obtido a partir da semelhança de triângulos, ou seja, da atitude

v 4,0 = 6,0 − 2,5 2,5 − 0 .

Vamos calcular a distância percorrida:

S = S 1 + S 2 = 5,0 + 9,8 = 14,8 m

e a quantidade de movimento:

| Δr → | = | S 1 − S 2 | = | 5,0 - 9,8 | = 4,8m.

Vamos encontrar a relação necessária entre a distância percorrida e o módulo de deslocamento:

S | Δr → | = 14,8 4,8 ≈ 3,1.

A distância percorrida é aproximadamente 3,1 vezes o deslocamento.