În articol, vom înțelege pe deplin cum arată tabel de valori trigonometrice, sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Să luăm în considerare semnificația de bază a funcțiilor trigonometrice, dintr-un unghi de 0,30,45,60,90,...,360 de grade. Și să vedem cum să folosiți aceste tabele în calcularea valorilor funcțiilor trigonometrice.
Mai întâi să ne uităm la tabelul cosinus, sinus, tangente și cotangente dintr-un unghi de 0, 30, 45, 60, 90,... grade. Definiția acestor mărimi ne permite să determinăm valoarea funcțiilor unghiurilor de 0 și 90 de grade:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, cotangenta de la 00 va fi nedefinită
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, tangenta de la 90 0 va fi incertă
Dacă luați triunghiuri dreptunghiulare ale căror unghiuri sunt de la 30 la 90 de grade. Primim:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, cot 60 0 = √3/3
Să reprezentăm toate valorile obținute în formă tabel trigonometric:
Tabel de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente!
Dacă folosim formula de reducere, tabelul nostru va crește, adăugând valori pentru unghiuri de până la 360 de grade. Va arata ca:
De asemenea, pe baza proprietăților periodicității, tabelul poate fi mărit dacă înlocuim unghiurile cu 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, în care z este un număr întreg. În acest tabel este posibil să se calculeze valoarea tuturor unghiurilor corespunzătoare punctelor dintr-un singur cerc.
Să vedem cum să folosiți tabelul într-o soluție.
Totul este foarte simplu. Deoarece valoarea de care avem nevoie se află în punctul de intersecție al celulelor de care avem nevoie. De exemplu, luați cosul unui unghi de 60 de grade, în tabel va arăta astfel:
În tabelul final al principalelor valori ale funcțiilor trigonometrice, procedăm în același mod. Dar în acest tabel este posibil să aflăm cât de mult este tangenta dintr-un unghi de 1020 de grade, ea = -√3 Să verificăm 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Să-l găsim folosind tabelul.
masa Bradis. Pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.
Tabelele Bradis sunt împărțite în mai multe părți, formate din tabele de cosinus și sinus, tangentă și cotangentă - care este împărțită în două părți (tg de unghiuri de până la 90 de grade și ctg de unghiuri mici).
Sinus și cosinus
tg de unghi începând cu 00 care se termină cu 760, ctg de unghi începând cu 140 care se termină cu 900.
tg până la 900 și ctg de unghiuri mici.
Să ne dăm seama cum să folosim tabelele Bradis în rezolvarea problemelor.
Să găsim denumirea sin (desemnarea în coloana de pe marginea din stânga) 42 de minute (desemnarea este pe linia de sus). Prin intersecție căutăm denumirea, it = 0,3040.
Valorile minutelor sunt indicate cu un interval de șase minute, ce să facem dacă valoarea de care avem nevoie se încadrează exact în acest interval. Să luăm 44 de minute, dar în tabel sunt doar 42. Luăm ca bază 42 și folosim coloanele suplimentare din partea dreaptă, luăm al 2-lea amendament și adăugăm la 0,3040 + 0,0006 obținem 0,3046.
Cu sin 47 de minute, luăm 48 de minute ca bază și scădem 1 corecție din ea, adică 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
Când calculăm cos, lucrăm similar cu sin, doar că luăm ca bază rândul de jos al tabelului. De exemplu cos 20 0 = 0,9397
Valorile unghiului tg până la 90 0 și ale unui unghi mic sunt corecte și nu există corecții în ele. De exemplu, găsiți tg 78 0 37min = 4,967 
și ctg 20 0 13min = 25,83 
Ei bine, ne-am uitat la tabelele trigonometrice de bază. Sperăm că aceste informații v-au fost extrem de utile. Dacă aveți întrebări despre tabele, asigurați-vă că le scrieți în comentarii!
Notă: Barele de protecție de perete sunt o placă de protecție pentru protejarea pereților. Urmați linkul bare de protecție de perete fără cadru (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) și aflați mai multe.
Măsura gradului de unghi. Măsura radianilor unghiului. Transformarea gradelor în radiani și invers.
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
În lecția anterioară am învățat cum să măsuram unghiurile pe un cerc trigonometric. Învățați cum să numărați unghiurile pozitive și negative. Am învățat cum să desenăm un unghi mai mare de 360 de grade. Este timpul să vă dați seama cum să măsurați unghiurile. Mai ales cu numărul „Pi”, care se străduiește să ne încurce în sarcini dificile, da...
Problemele standard de trigonometrie cu numărul „Pi” sunt bine rezolvate. Memoria vizuală ajută. Dar orice abatere de la șablon este un dezastru! Pentru a evita căderea - a intelege necesar. Ceea ce vom face acum cu succes. Adică, vom înțelege totul!
Asa de, ce unghiurile conteaza? La cursul de trigonometrie școlară se folosesc două măsuri: gradul de măsură a unghiuluiȘi măsura unghiului radian. Să ne uităm la aceste măsuri. Fără aceasta, nu există nicăieri în trigonometrie.
Măsura gradului de unghi.
Ne-am obișnuit cumva cu grade. Cel puțin am trecut de geometrie... Și în viață întâlnim adesea sintagma „întors la 180 de grade”, de exemplu. O diplomă, pe scurt, este un lucru simplu...
Da? Răspunde-mi atunci ce este o diplomă? Ce, nu merge imediat? Asta este...
Gradele au fost inventate în Babilonul antic. A fost cu mult timp în urmă... acum 40 de secole... Și le-a venit o idee simplă. Au luat și au împărțit cercul în 360 de părți egale. 1 grad este 1/360 dintr-un cerc. Asta e tot. L-ar fi putut sparge în 100 de bucăți. Sau 1000. Dar l-au împărțit în 360. Apropo, de ce exact 360? Cum este 360 mai bun decât 100? 100 pare să fie oarecum mai lin... Încercați să răspundeți la această întrebare. Sau slab împotriva Babilonului antic?
Undeva în același timp, în Egiptul Antic erau chinuiți de o altă întrebare. De câte ori este lungimea unui cerc mai mare decât lungimea diametrului său? Și l-au măsurat așa, și așa... Totul s-a dovedit a fi puțin mai mult de trei. Dar cumva s-a dovedit umplut, neuniform... Dar ei, egiptenii, nu sunt de vină. După ei, au suferit încă 35 de secole. Până când s-au dovedit în sfârșit că oricât de fin ai tăia un cerc în bucăți egale, din astfel de bucăți poți face neted lungimea diametrului este imposibilă... În principiu, este imposibil. Ei bine, de câte ori circumferința este mai mare decât diametrul a fost stabilit, desigur. Aproximativ. 3.1415926... ori.
Acesta este numărul „Pi”. Atât de zbuciumat, atât de zdruncinat. După virgulă există un număr infinit de numere fără nicio ordine... Astfel de numere se numesc iraționale. Acest lucru, apropo, înseamnă că din bucăți egale de cerc diametrul neted nu plia. Nu.
Pentru utilizare practică, se obișnuiește să se rețină doar două cifre după virgulă zecimală. Tine minte:
Deoarece înțelegem că circumferința unui cerc este mai mare decât diametrul său de ori „Pi”, este logic să ne amintim formula pentru circumferința unui cerc:
Unde L- circumferința și d- diametrul acestuia.
Util în geometrie.
Pentru învățământul general, voi adăuga că numărul „Pi” se găsește nu numai în geometrie... În diferite ramuri ale matematicii, și mai ales în teoria probabilităților, acest număr apare constant! De la sine. Dincolo de dorințele noastre. Ca aceasta.
Dar să revenim la grade. V-ați dat seama de ce în Babilonul antic cercul era împărțit în 360 de părți egale? Și nu până la 100, de exemplu? Nu? BINE. Îți dau o versiune. Nu îi puteți întreba pe vechii babilonieni... Pentru construcție sau, să zicem, astronomie, este convenabil să împărțiți cercul în părți egale. Acum află cu ce numere este divizibil complet 100, și care - 360? Și în ce versiune a acestor divizori complet- Mai mult? Această diviziune este foarte convenabilă pentru oameni. Dar...
După cum sa dovedit mult mai târziu decât Babilonul Antic, nu tuturor le plac diplomele. Matematicii superioare nu-i plac... Matematica superioară este o doamnă serioasă, organizată după legile naturii. Și această doamnă declară: „Astăzi ai rupt cercul în 360 de părți, mâine îl vei despărți în 100, poimâine în 245... Și ce să fac? Nu, într-adevăr...” Trebuia să ascult. Nu poți păcăli natura...
A trebuit să introducem o măsură a unghiului care nu depindea de invențiile umane. Întâlni - radian!
Măsura radianilor unghiului.
Ce este un radian? Definiția radianului se bazează încă pe un cerc. Un unghi de 1 radian este un unghi care taie un arc dintr-un cerc a cărui lungime este ( L) este egală cu lungimea razei ( R). Să ne uităm la poze.
Un unghi atât de mic, este aproape inexistent... Mutăm cursorul peste imagine (sau atingem poza de pe tabletă) și vedem cam una radian. L = R
Simți diferența?
Un radian este mult mai mult de un grad. De câte ori?
Să ne uităm la următoarea poză. Pe care am desenat un semicerc. Unghiul desfășurat este, în mod natural, de 180°.
Acum voi tăia acest semicerc în radiani! Plasăm cursorul peste imagine și vedem că 180° se potrivește cu 3 radiani și jumătate.
Cine poate ghici cu ce este egală această coadă!?
Da! Aceasta coada este 0.1415926.... Buna ziua, numarul "Pi", inca nu te-am uitat!
Într-adevăr, 180° grade conține 3,1415926... radiani. După cum înțelegeți, să scrieți 3.1415926 tot timpul... este incomod. Prin urmare, în loc de acest număr infinit, ei scriu întotdeauna simplu:
Dar pe internet numărul
Este incomod să scrii... De aceea îi scriu numele în text - „Pi”. Nu te confuzi, bine?...
Acum putem scrie o egalitate aproximativă într-un mod complet semnificativ:
Sau egalitate exactă:
Să stabilim câte grade sunt într-un radian. Cum? Uşor! Dacă există 180° de grade în 3,14 radiani, atunci sunt de 3,14 ori mai puține într-un radian! Adică împărțim prima ecuație (formula este, de asemenea, o ecuație!) la 3.14:
Acest raport este util de reținut. Un radian este aproximativ 60°. În trigonometrie, de multe ori trebuie să estimați și să evaluați situația. Aici aceste cunoștințe ajută foarte mult.
Dar principala abilitate a acestui subiect este transformarea gradelor în radiani și invers.
Dacă unghiul este dat în radiani cu numărul „Pi”, totul este foarte simplu. Știm că „Pi” radiani = 180°. Deci înlocuim radianii cu „Pi” - 180°. Obținem unghiul în grade. Reducem ceea ce este redus, iar răspunsul este gata. De exemplu, trebuie să aflăm câți gradeîn unghiul „Pi”/2 radian? Deci scriem:
Sau, o expresie mai exotică:
Ușor, nu?
Traducerea inversă este puțin mai complicată. Dar nu mult. Dacă unghiul este dat în grade, trebuie să ne dăm seama cu ce un grad este egal în radiani și să înmulțim acel număr cu numărul de grade. Cât este egal cu 1° în radiani?
Ne uităm la formulă și realizăm că dacă 180° = „Pi” radiani, atunci 1° este de 180 de ori mai mic. Sau, cu alte cuvinte, împărțim ecuația (o formulă este și o ecuație!) la 180. Nu este nevoie să reprezentăm „Pi” ca 3.14, oricum se scrie întotdeauna cu o literă. Constatăm că un grad este egal cu:
Asta e tot. Înmulțim numărul de grade cu această valoare și obținem unghiul în radiani. De exemplu:
Sau, similar:
După cum puteți vedea, într-o conversație pe îndelete cu digresiuni lirice, s-a dovedit că radianii sunt foarte simpli. Iar traducerea nu este nicio problemă... Și „Pi” este un lucru cu totul tolerabil... Deci de unde confuzia!?
Voi dezvălui secretul. Cert este că în funcțiile trigonometrice simbolul grade este scris. Mereu. De exemplu, sin35°. Acesta este sinusul 35 grade . Și icoana radian ( bucuros) - nu scris! Este subînțeles. Ori matematicienii au fost copleșiți de lene, ori altceva... Dar s-au hotărât să nu scrie. Dacă nu există simboluri în interiorul sinus-cotangentei, atunci unghiul este în radiani ! De exemplu, cos3 este cosinusul lui trei radiani .
Acest lucru duce la confuzie... O persoană vede „Pi” și crede că este 180°. Oricând și oriunde. Apropo, asta funcționează. Deocamdată, exemplele sunt standard. Dar „Pi” este un număr! Cifra este 3,14, dar nu grade! Acesta este radiani „Pi” = 180°!
Încă o dată: „Pi” este un număr! 3.14. Irațional, dar un număr. La fel ca 5 sau 8. Puteți, de exemplu, să faceți despre pașii „Pi”. Trei pași și încă puțin. Sau cumpărați „Pi” kilograme de bomboane. Dacă un vânzător educat se întâlnește cu...
„Pi” este un număr! Ce, te-am enervat cu fraza asta? Ai înțeles deja totul cu mult timp în urmă? BINE. Sa verificam. Spune-mi, care număr este mai mare?
Sau ce este mai putin?
Aceasta este una dintr-o serie de întrebări ușor nestandardizate care te pot duce în stupoare...
Dacă și tu ai căzut în stupoare, amintește-ți vraja: „Pi” este un număr! 3.14. În primul sinus se spune clar că unghiul este în grade! Prin urmare, este imposibil să înlocuiți „Pi” cu 180°! Gradele „Pi” sunt de aproximativ 3,14°. Prin urmare, putem scrie:
Nu există notații în al doilea sinus. Deci acolo - radiani! Aici înlocuirea „Pi” cu 180° va funcționa foarte bine. Convertind radiani în grade, așa cum este scris mai sus, obținem:
Rămâne să comparăm aceste două sinuri. Ce. ai uitat cum? Folosind un cerc trigonometric, desigur! Desenați un cerc, desenați unghiuri aproximative de 60° și 1,05°. Să vedem ce sinusuri au aceste unghiuri. Pe scurt, totul este descris ca la sfârșitul subiectului despre cercul trigonometric. Pe un cerc (chiar și cel strâmb!) se va vedea clar că păcat60° semnificativ mai mult decât sin1.05°.
Vom face exact același lucru cu cosinus. Pe cerc, desenați unghiuri de aproximativ 4 gradeși 4 radian(Ați uitat cu ce este aproximativ egal 1 radian?). Cercul va spune totul! Desigur, cos4 este mai mic decât cos4°.
Să exersăm utilizarea măsurilor de unghi.
Convertiți aceste unghiuri din grade în radiani:
360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°
Ar trebui să obțineți aceste valori în radiani (într-o ordine diferită!)
| 0 | ||||
Apropo, am evidențiat în mod special răspunsurile în două rânduri. Ei bine, să ne dăm seama care sunt colțurile din prima linie? Cel puțin în grade, cel puțin în radiani?
Da! Acestea sunt axele sistemului de coordonate! Dacă te uiți la cercul trigonometric, atunci latura în mișcare a unghiului cu aceste valori se potriveste exact pe axe. Aceste valori trebuie cunoscute. Și am notat unghiul de 0 grade (0 radiani) din motive întemeiate. Și apoi unii oameni pur și simplu nu pot găsi acest unghi pe un cerc... Și, în consecință, se confundă în funcțiile trigonometrice ale lui zero... Un alt lucru este că poziția laturii în mișcare la zero grade coincide cu poziția la 360°, deci există întotdeauna coincidențe pe cercul din apropiere.
În a doua linie sunt și unghiuri speciale... Acestea sunt 30°, 45° și 60°. Și ce este atât de special la ei? Nimic special. Singura diferență dintre aceste unghiuri și toate celelalte este că ar trebui să știți despre aceste unghiuri Toate. Și unde sunt situate și ce funcții trigonometrice au aceste unghiuri. Să spunem valoarea sin100° nu trebuie sa stii. A păcat45°- te rog, fi bun! Acestea sunt cunoștințe obligatorii, fără de care nu există nimic de făcut în trigonometrie... Dar mai multe despre asta în lecția următoare.
Între timp, să continuăm antrenamentele. Convertiți aceste unghiuri din radian în grade:
Ar trebui să obțineți rezultate ca acestea (în dezordine):
210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.
S-a întâmplat? Atunci putem presupune că transformând grade în radiani și înapoi- nu mai este problema ta.) Dar translatarea unghiurilor este primul pas către înțelegerea trigonometriei. Acolo trebuie să lucrați și cu sinusuri și cosinusuri. Și cu tangente și cotangente...
Al doilea pas puternic este capacitatea de a determina poziția oricărui unghi pe un cerc trigonometric. Atât în grade, cât și în radiani. Îți voi oferi indicii plictisitoare despre această abilitate pe parcursul trigonometriei, da...) Dacă știi totul (sau crezi că știi totul) despre cercul trigonometric și măsurarea unghiurilor pe cercul trigonometric, poți să-l verifici. Rezolvați aceste sarcini simple:
1. În ce sfert se încadrează unghiurile:
45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?
Uşor? Hai sa continuăm:
2. În ce sfert se încadrează colțurile:
402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?
Nici o problemă? Ei bine, uite...)
3. Puteți așeza colțurile în sferturi:
Ai putea? Ei bine, dai..)
4. Pe ce axe va cădea colțul:
si colt:
Este si usor? Hm...)
5. În ce sfert se încadrează colțurile:
Și a funcționat!? Ei bine, atunci chiar nu știu...)
6. Stabiliți în ce sfert se încadrează colțurile:
1, 2, 3 și 20 de radiani.
Voi da un răspuns doar la ultima întrebare (este puțin complicată) a ultimei sarcini. Un unghi de 20 de radiani va cădea în primul trimestru.
Nu voi da restul răspunsurilor, nu din lăcomie.) Simply, if you nu m-am hotarat ceva te îndoiești de asta ca rezultat, sau cheltuită pentru sarcina nr. 4 mai mult de 10 secunde, esti prost orientat intr-un cerc. Aceasta va fi problema ta în toată trigonometrie. Este mai bine să scapi de ea (problema, nu trigonometrie!) imediat. Acest lucru se poate face în subiectul: Lucrări practice cu cercul trigonometric din secțiunea 555.
Vă spune cum să rezolvați astfel de sarcini simplu și corect. Ei bine, aceste sarcini au fost rezolvate, desigur. Și a patra sarcină a fost rezolvată în 10 secunde. Da, s-a hotărât că oricine o poate face!
Dacă sunteți absolut încrezător în răspunsurile dvs. și nu sunteți interesat de modalități simple și fără probleme de a lucra cu radiani, nu trebuie să vizitați 555. Nu insist.)
O bună înțelegere este un motiv suficient de bun pentru a merge mai departe!)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
În primul rând, permiteți-mi să vă reamintesc o concluzie simplă, dar foarte utilă din lecția „Ce sunt sinus și cosinus? Ce sunt tangente și cotangente?”
Aceasta este ieșirea:
Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt strâns legate de unghiurile lor. Știm un lucru, ceea ce înseamnă că știm altul.
Cu alte cuvinte, fiecare unghi are propriile sale constante sinus și cosinus. Și aproape fiecare are propria tangentă și cotangentă. De ce aproape? Mai multe despre asta mai jos.
Aceste cunoștințe vă ajută foarte mult la studii! Există o mulțime de sarcini în care trebuie să treceți de la sinusuri la unghiuri și invers. Pentru asta există masa sinusurilor.În mod similar, pentru sarcinile cu cosinus - masa cosinus.Și, după cum probabil ați ghicit, există tabel tangenteȘi tabelul cotangenților.)
Tabelele sunt diferite. Cele lungi, unde puteți vedea cu ce, să zicem, sin37°6’ este egal. Deschidem tabelele Bradis, căutăm un unghi de treizeci și șapte de grade șase minute și vedem valoarea de 0,6032. Este clar că nu este absolut necesar să ne amintim acest număr (și mii de alte valori din tabel).
De fapt, în timpul nostru, tabele lungi de cosinus, sinusuri, tangente, cotangente nu sunt cu adevărat necesare. Un calculator bun le înlocuiește complet. Dar nu strică să știi despre existența unor astfel de tabele. Pentru erudiția generală.)
Și atunci de ce această lecție?! - tu intrebi.
Dar de ce. Printre numărul infinit de unghiuri există special, despre care ar trebui să știți Toate. Toată geometria școlară și trigonometria sunt construite pe aceste unghiuri. Acesta este un fel de „tabel de înmulțire” al trigonometriei. Dacă nu știi cu ce este sin50°, de exemplu, nimeni nu te va judeca.) Dar dacă nu știi cu ce este sin30°, fii pregătit să obții două binemeritate...
Astfel de special Unghiurile sunt, de asemenea, destul de bune. Manualele școlare oferă de obicei cu amabilitate memorarea masa sinusurilor si masa cosinusului pentru șaptesprezece unghiuri. Și, desigur, tabel tangente și tabel cotangente pentru aceleași șaptesprezece unghiuri... adică. Se propune să reținem 68 de valori. Care, apropo, sunt foarte asemănătoare între ele, se repetă din când în când și își schimbă semnele. Pentru o persoană fără memorie vizuală perfectă, aceasta este o sarcină destul de mare...)
Vom lua un alt traseu. Să înlocuim memorarea cu logica și ingeniozitatea. Apoi va trebui să memorăm 3 (trei!) valori pentru tabelul sinusurilor și tabelul cosinusurilor. Și 3 (trei!) valori pentru tabelul tangentelor și tabelul cotangentelor. Asta e tot. Șase valori sunt mai ușor de reținut decât 68, mi se pare...)
Vom obține toate celelalte valori necesare de la aceste șase folosind o fișă legală puternică - cerc trigonometric. Dacă nu ați studiat acest subiect, urmați linkul, nu fi leneș. Acest cerc nu este necesar doar pentru această lecție. El este de neînlocuit pentru toată trigonometria deodată. A nu folosi un astfel de instrument este pur și simplu un păcat! Tu nu vrei? E treaba ta. Memora masa sinusurilor. Tabelul cosinusurilor. Tabelul tangentelor. Tabelul cotangenților. Toate cele 68 de valori pentru o varietate de unghiuri.)
Deci, să începem. Mai întâi, să împărțim toate aceste unghiuri speciale în trei grupuri.
Primul grup de unghiuri.
Să luăm în considerare primul grup șaptesprezece unghiuri special. Acestea sunt 5 unghiuri: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Iată cum arată tabelul sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor pentru aceste unghiuri:
Unghiul x
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Unghiul x
|
0 |
||||
sin x |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
cos x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg x |
0 |
substantiv |
0 |
substantiv |
0 |
ctg x |
substantiv |
0 |
substantiv |
0 |
substantiv |
Cei care vor să-și amintească, amintiți-vă. Dar voi spune imediat că toate aceste unități și zerouri devin foarte confuze în cap. Mult mai puternic decât doriți.) Prin urmare, activăm logica și cercul trigonometric.
Desenăm un cerc și marchem aceleași unghiuri pe el: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Am marcat aceste colțuri cu puncte roșii:
Este imediat evident ce este special la aceste unghiuri. Da! Acestea sunt unghiurile care cad exact pe axa de coordonate! De fapt, de aceea oamenii se încurcă... Dar noi nu ne vom încurca. Să ne dăm seama cum să găsim funcții trigonometrice ale acestor unghiuri fără prea multă memorare.
Apropo, poziția unghiului este de 0 grade coincide complet cu un unghi de 360 de grade. Aceasta înseamnă că sinusurile, cosinusurile și tangentele acestor unghiuri sunt exact aceleași. Am marcat un unghi de 360 de grade pentru a completa cercul.
Să presupunem că, în mediul dificil stresant al Examenului Unificat de Stat, te-ai îndoit cumva... Care este sinusul lui 0 grade? Pare zero... Dacă este unul?! Memorarea mecanică este așa ceva. În condiții dure, îndoielile încep să roadă...)
Calm, doar calm!) Vă voi spune o tehnică practică care vă va oferi un răspuns 100% corect și vă va îndepărta complet toate îndoielile.
De exemplu, să ne dăm seama cum să determinăm clar și fiabil, să zicem, sinusul de 0 grade. Și, în același timp, cosinus 0. În aceste valori, destul de ciudat, oamenii se confundă adesea.
Pentru a face acest lucru, desenați pe un cerc arbitrar colţ X. În primul trimestru au fost aproape 0 grade. Să marchem sinusul și cosinusul acestui unghi pe axe X, totul e bine. Ca aceasta:
Și acum - atenție! Să reducem unghiul X, aduceți partea în mișcare mai aproape de axă OH. Treceți cursorul peste imagine (sau atingeți imaginea de pe tabletă) și veți vedea totul.
Acum să pornim logica elementară! Să ne uităm și să ne gândim: Cum se comportă sinx pe măsură ce unghiul x scade? Pe măsură ce unghiul se apropie de zero? Se micsoreaza! Și cosx crește! Rămâne să ne dăm seama ce se va întâmpla cu sinusul când unghiul se prăbușește complet? Când latura în mișcare a unghiului (punctul A) se așează pe axa OX și unghiul devine egal cu zero? Evident, sinusul unghiului va merge la zero. Și cosinusul va crește la... la... Care este lungimea laturii în mișcare a unghiului (raza cercului trigonometric)? Unu!
Iată răspunsul. Sinusul de 0 grade este egal cu 0. Cosinusul de 0 grade este egal cu 1. Absolut de fier și fără nicio îndoială!) Pur și simplu pentru că altfel nu poate fi.
Exact în același mod, puteți afla (sau clarifica) sinusul de 270 de grade, de exemplu. Sau cosinus 180. Desenați un cerc, arbitrar un unghi într-un sfert de lângă axa de coordonate care ne interesează, mișcați mental latura unghiului și înțelegeți ce vor deveni sinusul și cosinusul când latura unghiului cade pe axă. Asta e tot.
După cum puteți vedea, nu este nevoie să memorați nimic pentru acest grup de unghiuri. Nu este nevoie aici masa sinusurilor... da si masa cosinus- de asemenea.) Apropo, după mai multe utilizări ale cercului trigonometric, toate aceste valori vor fi reținute de la sine. Și dacă uită, am desenat un cerc în 5 secunde și l-am clarificat. Mult mai ușor decât să suni un prieten de la toaletă și să-ți riști certificatul, nu?)
În ceea ce privește tangenta și cotangenta, totul este la fel. Desenăm o linie tangentă (cotangentă) pe cerc - și totul este imediat vizibil. Unde sunt egale cu zero și unde nu există. Ce, nu știi despre liniile tangente și cotangente? Acest lucru este trist, dar reparabil.) Am vizitat Secțiunea 555 Tangent și cotangent pe cercul trigonometric - și nu există probleme!
Dacă v-ați dat seama cum să definiți clar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta pentru aceste cinci unghiuri, felicitări! Pentru orice eventualitate, vă informez că acum puteți defini funcții orice unghiuri care cad pe axe.Și acesta este 450°, și 540° și 1800°, și un număr infinit de altele...) Am numărat (corect!) unghiul de pe cerc - și nu sunt probleme cu funcțiile.
Dar tocmai cu măsurarea unghiurilor apar problemele și erorile... Cum să le evitați este scris în lecția: Cum să desenați (numărați) orice unghi pe un cerc trigonometric în grade. Elementar, dar foarte util în lupta împotriva erorilor.)
Iată o lecție: Cum să desenezi (măsori) orice unghi pe un cerc trigonometric în radiani - va fi mai rece. În ceea ce privește posibilitățile. Să presupunem că determinăm pe care dintre cele patru semiaxe se încadrează unghiul
o poți face în câteva secunde. Nu glumesc! Doar în câteva secunde. Ei bine, desigur, nu numai 345 pi...) Și 121, și 16, și -1345. Orice coeficient întreg este potrivit pentru un răspuns instantaneu.
Și dacă colțul
Gândește-te! Raspunsul corect se obtine in 10 secunde.Pentru orice valoare fractionara de radiani cu un doi la numitor.
De fapt, acesta este ceea ce este bun la cercul trigonometric. Pentru că capacitatea de a lucra cu niste colțurile la care se extinde automat set infinit colțuri
Deci, am rezolvat cinci colțuri din șaptesprezece.
Al doilea grup de unghiuri.
Următorul grup de unghiuri sunt unghiurile de 30°, 45° și 60°. De ce tocmai acestea, și nu, de exemplu, 20, 50 și 80? Da, cumva a ieșit așa... Istoric.) Mai departe se va vedea de ce aceste unghiuri sunt bune.
Tabelul sinusurilor cosinus tangente cotangente pentru aceste unghiuri arată astfel:
Unghiul x
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
Unghiul x
|
0 |
||||
sin x |
0 |
1 |
|||
cos x |
1 |
0 |
|||
tg x |
0 |
1 |
substantiv |
||
ctg x |
substantiv |
1 |
0 |
Am lăsat valorile pentru 0° și 90° din tabelul anterior pentru a completa imaginea.) Astfel încât să puteți vedea că aceste unghiuri se află în primul trimestru și cresc. De la 0 la 90. Acest lucru ne va fi util mai târziu.
Trebuie reținute valorile din tabel pentru unghiuri de 30°, 45° și 60°. Memorează-l dacă vrei. Dar și aici există o oportunitate de a-ți face viața mai ușoară.) Acordați atenție valorile tabelului sinus aceste unghiuri. Si compara cu valorile tabelului cosinus...
Da! ei la fel! Doar aranjate în ordine inversă. Unghiurile cresc (0, 30, 45, 60, 90) - și valorile sinusului crește de la 0 la 1. Puteți verifica cu un calculator. Și valorile cosinusului sunt sunt în scădere de la 1 la zero. Mai mult decât atât, valorile înseși la fel. Pentru unghiuri de 20, 50, 80 acest lucru nu ar funcționa...
Aceasta este o concluzie utilă. Suficient pentru a învăța Trei valori pentru unghiuri de 30, 45, 60 de grade. Și amintiți-vă că pentru sinus cresc, iar pentru cosinus scad. Spre sinus.) Se întâlnesc la jumătate (45°), adică sinusul de 45 de grade este egal cu cosinusul de 45 de grade. Și apoi diverg din nou... Se pot învăța trei semnificații, nu?
Cu tangente - cotangente imaginea este exact aceeași. Unu la unu. Doar sensurile sunt diferite. Aceste valori (încă trei!) trebuie și ele învățate.
Ei bine, aproape toată memorarea s-a terminat. Ați înțeles (sperăm) cum să determinați valorile pentru cele cinci unghiuri care cad pe axă și ați învățat valorile pentru unghiurile de 30, 45, 60 de grade. Total 8.
Rămâne să ne ocupăm de ultimul grup de 9 cornere.
Acestea sunt unghiurile:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Pentru aceste unghiuri, trebuie să cunoașteți tabelul sinusurilor, tabelul cosinusurilor etc.
Coșmar, nu?)
Și dacă adăugați aici unghiuri, cum ar fi: 405°, 600° sau 3000° și multe, multe la fel de frumoase?)
Sau unghiuri în radiani? De exemplu, despre unghiuri:
si multe altele pe care ar trebui sa le stii Toate.
Cel mai amuzant lucru este să știi asta Toate - imposibil în principiu. Dacă utilizați memoria mecanică.
Și este foarte ușor, de fapt elementar - dacă folosești un cerc trigonometric. Odată ce ați înțeles lucrul cu cercul trigonometric, toate acele unghiuri de temut în grade pot fi reduse ușor și elegant la cele bune de modă veche:
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
TABEL DE VALORI ALE FUNCŢIILOR TRIGONOMETRICE
Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice este întocmit pentru unghiuri de 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 și 360 de grade și valorile unghiurilor corespunzătoare în vradians. Dintre funcțiile trigonometrice, tabelul prezintă sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, secanta și cosecantă. Pentru comoditatea rezolvării exemplelor școlare, valorile funcțiilor trigonometrice din tabel sunt scrise sub forma unei fracții, păstrând în același timp semnele pentru extragerea rădăcinii pătrate a numerelor, ceea ce ajută foarte adesea la reducerea expresiilor matematice complexe. Pentru tangentă și cotangentă, valorile unor unghiuri nu pot fi determinate. Pentru valorile tangentei și cotangentei unor astfel de unghiuri, există o liniuță în tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice. Este în general acceptat că tangenta și cotangenta unor astfel de unghiuri este egală cu infinitul. Pe o pagină separată există formule pentru reducerea funcțiilor trigonometrice.
Tabelul de valori pentru funcția sinus trigonometrică arată valorile pentru următoarele unghiuri: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 în grade, care corespunde cu sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi în măsurarea radianilor unghiurilor. Masa școlară de sinusuri.
Pentru funcția cosinus trigonometrică, tabelul prezintă valorile pentru următoarele unghiuri: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 în grade, ceea ce corespunde cos 0 pi , cos pi cu 6, cos pi cu 4, cos pi cu 3, cos pi cu 2, cos pi, cos 3 pi cu 2, cos 2 pi în măsurarea radianilor unghiurilor. Masa școlară de cosinus.
Tabelul trigonometric pentru funcția tangentă trigonometrică oferă valori pentru următoarele unghiuri: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 în măsură de grade, care corespunde cu tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi în măsura radianilor unghiurilor. Următoarele valori ale funcțiilor tangente trigonometrice nu sunt definite tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 și sunt considerate egale cu infinitul.
Pentru funcția trigonometrică cotangentă din tabelul trigonometric sunt date valorile următoarelor unghiuri: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 în măsură de grade, care corespunde ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 în măsura radianilor unghiurilor. Următoarele valori ale funcțiilor cotangente trigonometrice nu sunt definite ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi și sunt considerate egale cu infinitul.
Valorile funcțiilor trigonometrice secant și cosecant sunt date pentru aceleași unghiuri în grade și radiani ca sinus, cosinus, tangentă, cotangentă.
Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor nestandard arată valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile în grade 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 grade și în radiani pi/12 , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radiani. Valorile funcțiilor trigonometrice sunt exprimate în termeni de fracții și rădăcini pătrate pentru a facilita reducerea fracțiilor în exemplele școlare.
Încă trei monștri trigonometrici. Prima este tangenta de 1,5 grade și jumătate sau pi împărțit la 120. A doua este cosinusul lui pi împărțit la 240, pi/240. Cel mai lung este cosinusul lui pi împărțit la 17, pi/17.
Cercul trigonometric de valori ale funcțiilor sinus și cosinus reprezintă vizual semnele sinusului și cosinusului în funcție de mărimea unghiului. În special pentru blonde, valorile cosinusului sunt subliniate cu o liniuță verde pentru a reduce confuzia. Conversia gradelor în radiani este, de asemenea, foarte clar prezentată atunci când radianii sunt exprimați în termeni de pi.
Acest tabel trigonometric prezintă valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiuri de la 0 zero la 90 nouăzeci de grade la intervale de un grad. Pentru primele patruzeci și cinci de grade, numele funcțiilor trigonometrice ar trebui să fie privite în partea de sus a tabelului. Prima coloană conține grade, valorile sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor sunt scrise în următoarele patru coloane.
Pentru unghiuri de la patruzeci și cinci de grade până la nouăzeci de grade, numele funcțiilor trigonometrice sunt scrise în partea de jos a tabelului. Ultima coloană conține grade; valorile cosinusului, sinusurilor, cotangentelor și tangentelor sunt scrise în cele patru coloane anterioare. Ar trebui să fiți atenți deoarece numele funcțiilor trigonometrice din partea de jos a tabelului trigonometric sunt diferite de numele din partea de sus a tabelului. Sinusurile și cosinusurile sunt interschimbate, la fel ca tangenta și cotangenta. Acest lucru se datorează simetriei valorilor funcțiilor trigonometrice.
Semnele funcțiilor trigonometrice sunt prezentate în figura de mai sus. Sinusul are valori pozitive de la 0 la 180 de grade sau de la 0 la pi. Sinusul are valori negative de la 180 la 360 de grade sau de la pi la 2 pi. Valorile cosinusului sunt pozitive de la 0 la 90 și de la 270 la 360 de grade sau de la 0 la 1/2 pi și 3/2 la 2 pi. Tangenta și cotangenta au valori pozitive de la 0 la 90 de grade și de la 180 la 270 de grade, corespunzătoare valorilor de la 0 la 1/2 pi și pi la 3/2 pi. Valorile negative ale tangentei și cotangentei sunt de la 90 la 180 de grade și de la 270 la 360 de grade, sau de la 1/2 pi la pi și de la 3/2 pi la 2 pi. Când determinați semnele funcțiilor trigonometrice pentru unghiuri mai mari de 360 de grade sau 2 pi, ar trebui să utilizați proprietățile de periodicitate ale acestor funcții.
Funcțiile trigonometrice sinus, tangentă și cotangentă sunt funcții impare. Valorile acestor funcții pentru unghiuri negative vor fi negative. Cosinusul este o funcție trigonometrică uniformă - valoarea cosinusului pentru un unghi negativ va fi pozitivă. Regulile semnelor trebuie respectate la înmulțirea și împărțirea funcțiilor trigonometrice.
Tabelul de valori pentru funcția sinus trigonometrică arată valorile pentru următoarele unghiuri
DocumentExistă formule de reducere pe o pagină separată trigonometricfuncții. ÎN masavalorilePentrutrigonometricfuncțiisinusuluidatvalorilePentruurmătoarelecolțuri: sin 0, sin 30, sin 45 ...
Aparatul matematic propus este un analog complet al calculului complex pentru numere hipercomplex n-dimensionale cu orice număr de grade de libertate n și este destinat modelării matematice a neliniarelor.
Document... funcții egală funcții Imagini. Din această teoremă ar trebui să, Ce Pentru afland coordonatele U, V, este suficient sa se calculeze funcţie... geometrie; polinar funcții(analogi multidimensionali ai bidimensionali trigonometricfuncții), proprietățile lor, Meseși aplicare; ...
-
