Կոշտ մարմնի երկու կետերի արագությունների կանխատեսումները այս կետերով անցնող առանցքի վրա հավասար են միմյանց:
v Ա cos α = v B cos β.
Ապացույց
Եկեք ընտրենք ուղղանկյուն ֆիքսված կոորդինատային համակարգ Oxyz: Վերցնենք կոշտ մարմնի A և B երկու կամայական կետեր: Թող (x A, y A, z A)Եվ (x B, y B, z B)- այս կետերի կոորդինատները. Երբ կոշտ մարմինը շարժվում է, դրանք ժամանակի ֆունկցիաներ են t. Տարբերելով ժամանակի հետ կապված՝ մենք ստանում ենք կետերի արագությունների կանխատեսումներ։
,
.
Եկեք օգտվենք այն հանգամանքից, որ երբ կոշտ մարմինը շարժվում է, հեռավորությունը | ԱԲ|կետերի միջև մնում է հաստատուն, այսինքն՝ կախված չէ t ժամանակից։ Նաև հաստատուն է հեռավորության քառակուսին
.
Տարբերակենք այս հավասարումը t ժամանակի նկատմամբ՝ կիրառելով բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը։
Եկեք կրճատենք այն 2
.
(1)
Ներկայացնենք վեկտորը
.
Հետո հավասարումը (1)
կարող է ներկայացվել որպես վեկտորների սկալյար արտադրյալ։
(2)
Մենք փոխակերպումներ ենք իրականացնում.
;
(3)
.
Սկալյար արտադրանքի հատկությամբ
,
.
Փոխարինել ներս (3)
և կրճատել | ԱԲ|.
;
Ք.Ե.Դ.
Հարաբերական արագություն
Դիտարկենք B կետի շարժումը A կետի նկատմամբ: Ներկայացնենք B կետի հարաբերական արագությունը A-ի նկատմամբ:
Հետո հավասարումը (2)
կարող է վերաշարադրվել ձևով
.
Այսինքն՝ հարաբերական արագությունը A կետից B կետ գծված վեկտորին ուղղահայաց է։ Քանի որ B կետը վերցված է կամայականորեն, կոշտ մարմնի ցանկացած կետի հարաբերական արագությունը ուղղահայաց է A կետից գծված շառավղային վեկտորին: Այսինքն՝ A կետի նկատմամբ մարմինը ենթարկվում է պտտվող շարժման։ Մարմնի կետերի հարաբերական արագությունը որոշվում է պտտվող շարժման բանաձևով
.
Ա կետը, որի նկատմամբ դիտարկվում է շարժումը, հաճախ կոչվում է բեւեռ.
Բ կետի բացարձակ արագությունը ֆիքսված կոորդինատային համակարգի նկատմամբ կարող է գրվել հետևյալ ձևով.
.
Այն հավասար է կամայական A կետի (բևեռ) փոխադրական շարժման արագության և A բևեռի նկատմամբ պտտվող շարժման արագության գումարին։
Խնդրի լուծման օրինակ
Առաջադրանքը
1 և 2 անիվները R շառավղով 1 = 0,15 մև Ռ 2 = 0,3 մ, համապատասխանաբար, ծխնիներով միացված են 3 երկարությամբ ձողին | ԱԲ| = 0,5 մ. Անիվ 1-ը պտտվում է ω անկյունային արագությամբ 1 = 1 ռադ/վ. Նկարում ներկայացված մեխանիզմի դիրքի համար որոշեք ω անկյունային արագությունը 2 անիվներ 2. Վերցրեք L = 0,3 մ.
Խնդրի լուծումը
Ա կետը շարժվում է շրջանագծովշառավիղ R 1
պտտման կենտրոնի շուրջ O 1
. Ա կետի արագությունը որոշվում է բանաձևով
V A = ω 1 R 1.
Վեկտորն ուղղված է ուղղահայաց (ուղղահայաց O 1 Ա).
B կետը շարժվում է շրջանագծովշառավիղ R 2
պտտման կենտրոնի շուրջ O 2
. B կետի արագությունը որոշվում է բանաձևով
V B = ω 2 R 2.
Այստեղից
.
Վեկտորն ուղղված է հորիզոնական (ուղղահայաց O 2 Բ).
Մենք կառուցում ենք ուղղանկյուն եռանկյուն ABC. Մենք կիրառում ենք Պյութագորասի թեորեմը.
(մ)
.
Արագության վեկտորի և AB ուղիղ գծի միջև անկյան կոսինուսը վեկտորի ուղղությամբ հավասար է.
.
Ըստ արագության պրոյեկցիայի թեորեմԿոշտ մարմնի երկու կետ ուղիղ գծի վրա ունենք.
Վ Ա cos α = V B cos β.
Այստեղից
.
Գտեք անիվի անկյունային արագությունը 2.
ռադ/ս .
Միատեսակ շարժում- սա շարժում է հաստատուն արագությամբ, այսինքն, երբ արագությունը չի փոխվում (v = const) և արագացում կամ դանդաղում չի առաջանում (a = 0):
Ուղղակի շարժում- սա շարժում է ուղիղ գծով, այսինքն՝ ուղղագիծ շարժման հետագիծը ուղիղ գիծ է։
Միատեսակ գծային շարժում- սա շարժում է, որի ժամանակ մարմինը հավասար շարժումներ է կատարում ժամանակի ցանկացած հավասար ընդմիջումներով: Օրինակ, եթե որոշակի ժամանակային ինտերվալը բաժանենք մեկ վայրկյանանոց ընդմիջումների, ապա միատեսակ շարժումով մարմինը կշարժվի նույն տարածությունը այս ժամանակային ընդմիջումներից յուրաքանչյուրի համար։
Միատեսակ ուղղագիծ շարժման արագությունը կախված չէ ժամանակից և հետագծի յուրաքանչյուր կետում ուղղված է այնպես, ինչպես մարմնի շարժումը: Այսինքն՝ տեղաշարժի վեկտորը ուղղությամբ համընկնում է արագության վեկտորի հետ։ Այս դեպքում ցանկացած ժամանակաշրջանի միջին արագությունը հավասար է ակնթարթային արագությանը. v cp = v Միատեսակ ուղղագիծ շարժման արագությունՖիզիկական վեկտորային մեծություն է, որը հավասար է մարմնի շարժման հարաբերությանը ցանկացած ժամանակահատվածում այս միջակայքի արժեքին.
Այսպիսով, միատեսակ ուղղագիծ շարժման արագությունը ցույց է տալիս, թե որքան շարժում է նյութական կետը մեկ միավոր ժամանակում:
Շարժվողմիատեսակ գծային շարժումով որոշվում է բանաձևով.
Անցած հեռավորությունըգծային շարժման մեջ հավասար է տեղաշարժման մոդուլին: Եթե OX առանցքի դրական ուղղությունը համընկնում է շարժման ուղղության հետ, ապա արագության պրոյեկցիան OX առանցքի վրա հավասար է արագության մեծությանը և դրական է.
V x = v, այսինքն, v > 0 Տեղաշարժի նախագծումը OX առանցքի վրա հավասար է. (կամ մարմնի կոորդինատը ցանկացած ժամանակ)
Շարժման հավասարում, այսինքն՝ մարմնի կոորդինատների կախվածությունը x = x(t) ժամանակից ստանում է ձև.
X = x 0 + vt Եթե OX առանցքի դրական ուղղությունը հակառակ է մարմնի շարժման ուղղությանը, ապա մարմնի արագության պրոյեկցիան OX առանցքի վրա բացասական է, արագությունը զրոյից փոքր է (v x = x 0 - vt
Արագության, կոորդինատների և ճանապարհի կախվածությունը ժամանակից
Մարմնի արագության պրոյեկցիայի կախվածությունը ժամանակից ներկայացված է Նկ. 1.11. Քանի որ արագությունը հաստատուն է (v = const), արագության գրաֆիկը ուղիղ գիծ է Ot ժամանակի առանցքին զուգահեռ:
Բրինձ. 1.11. Մարմնի արագության պրոյեկցիայի կախվածությունը ժամանակից միատեսակ ուղղագիծ շարժման համար:
Շարժման պրոյեկցիան կոորդինատային առանցքի վրա թվայինորեն հավասար է OABC ուղղանկյան մակերեսին (նկ. 1.12), քանի որ շարժման վեկտորի մեծությունը հավասար է արագության վեկտորի արտադրյալին և այն ժամանակին, որի ընթացքում շարժումը եղել է։ պատրաստված.
Բրինձ. 1.12. Մարմնի տեղաշարժի պրոյեկցիայի կախվածությունը միատեսակ ուղղագիծ շարժման ժամանակից:
Տեղաշարժի գրաֆիկը ժամանակի համեմատ ներկայացված է Նկ. 1.13. Գրաֆիկը ցույց է տալիս, որ արագության պրոյեկցիան հավասար է
V = s 1 / t 1 = tan α, որտեղ α-ն գրաֆիկի թեքության անկյունն է դեպի ժամանակի առանցքը: Որքան մեծ է α անկյունը, այնքան մարմինն ավելի արագ է շարժվում, այսինքն՝ ավելի մեծ է նրա արագությունը (որքան ավելի քիչ ժամանակում է անցնում մարմինը): Կոորդինատի գրաֆիկին շոշափողի շոշափողը ժամանակի նկատմամբ հավասար է արագությանը. tg α = v.
Բրինձ. 1.13. Մարմնի տեղաշարժի պրոյեկցիայի կախվածությունը միատեսակ ուղղագիծ շարժման ժամանակից:
Կոորդինատի կախվածությունը ժամանակից ներկայացված է Նկ. 1.14. Նկարից պարզ է դառնում, որ
Tg α 1 > tan α 2, հետևաբար, 1 մարմնի արագությունը ավելի մեծ է, քան 2 մարմնի արագությունը (v 1 > v 2): tg α 3 = v 3 Եթե մարմինը գտնվում է հանգստի վիճակում, ապա կոորդինատային գրաֆիկը ժամանակի առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ է, այսինքն՝ x = x 0:
Բրինձ. 1.14. Մարմնի կոորդինատների կախվածությունը ժամանակից միատեսակ ուղղագիծ շարժման համար:
Արագությունը հիմնական հատկանիշներից մեկն է։ Այն արտահայտում է շարժման բուն էությունը, այսինքն. որոշում է անշարժ մարմնի և շարժվող մարմնի միջև եղած տարբերությունը:
SI արագության միավորն է մ/վրկ.
Կարևոր է հիշել, որ արագությունը վեկտորային մեծություն է: Արագության վեկտորի ուղղությունը որոշվում է շարժումով։ Արագության վեկտորը միշտ շոշափելիորեն ուղղված է շարժվող մարմնի անցման կետի հետագծին (նկ. 1):
Օրինակ՝ դիտարկենք շարժվող մեքենայի անիվը։ Անիվը պտտվում է, և անիվի բոլոր կետերը շարժվում են շրջանագծով: Անիվից թռչող շիթերը կթռչեն այս շրջանակների շոշափողներով՝ ցույց տալով անիվի առանձին կետերի արագության վեկտորների ուղղությունները:
Այսպիսով, արագությունը բնութագրում է մարմնի շարժման ուղղությունը (արագության վեկտորի ուղղությունը) և շարժման արագությունը (արագության վեկտորի մոդուլը)։
Բացասական արագություն
Կարո՞ղ է մարմնի արագությունը բացասական լինել: Այո գուցե։ Եթե մարմնի արագությունը բացասական է, դա նշանակում է, որ մարմինը շարժվում է ընտրված հղման համակարգում կոորդինատային առանցքի ուղղությամբ հակառակ ուղղությամբ: Նկար 2-ը ցույց է տալիս ավտոբուսի և մեքենայի շարժումը: Մեքենայի արագությունը բացասական է, իսկ ավտոբուսի արագությունը՝ դրական։ Պետք է հիշել, որ երբ խոսում ենք արագության նշանի մասին, նկատի ունենք արագության վեկտորի պրոյեկցիան կոորդինատային առանցքի վրա։
Միատեսակ և անհավասար շարժում
Ընդհանուր առմամբ արագությունը կախված է ժամանակից։ Ըստ ժամանակից արագության կախվածության բնույթի՝ շարժումը կարող է լինել միատեսակ կամ անհավասար։
ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ
Միատեսակ շարժում- սա շարժում է մշտական մոդուլի արագությամբ:
Անհավասար շարժման դեպքում մենք խոսում ենք.
«Արագություն» թեմայով խնդիրների լուծման օրինակներ
ՕՐԻՆԱԿ 1
| Զորավարժություններ | Երկու բնակավայրերի միջեւ ճանապարհի առաջին կեսը մեքենան անցել է 90 կմ/ժ արագությամբ, իսկ երկրորդ կեսը՝ 54 կմ/ժ արագությամբ։ Որոշեք մեքենայի միջին արագությունը: |
| Լուծում | Սխալ կլինի մեքենայի միջին արագությունը հաշվարկել որպես նշված երկու արագությունների միջին թվաբանական: Եկեք օգտագործենք միջին արագության սահմանումը. Քանի որ ենթադրվում է ուղղագիծ միատեսակ շարժում, վեկտորների նշանները կարող են բաց թողնել: Ամբողջ տարածությունը հաղթահարելու համար մեքենայի ծախսած ժամանակը. որտեղ է ուղու առաջին կեսն ավարտելու վրա ծախսված ժամանակը, և ուղու երկրորդ կեսն ավարտելու համար ծախսված ժամանակը:
Ընդհանուր շարժումը հավասար է բնակեցված տարածքների միջև եղած հեռավորությանը, այսինքն. . Այս հարաբերակցությունները փոխարինելով միջին արագության բանաձևով, մենք ստանում ենք. Եկեք փոխարկենք առանձին հատվածների արագությունները SI համակարգի. Այնուհետև մեքենայի միջին արագությունը հետևյալն է.
|
| Պատասխանել | Մեքենայի միջին արագությունը 18,8 մ/վ է |
(մ/վ)ՕՐԻՆԱԿ 2
| Զորավարժություններ | Մեքենան 10 մ/վ արագությամբ շարժվում է 10 վայրկյան, ապա ևս 2 րոպե 25 մ/վ արագությամբ: Որոշեք մեքենայի միջին արագությունը: |
| Լուծում | Եկեք նկարենք: |
3.1. Միատեսակ շարժում ուղիղ գծով.
3.1.1. Միատեսակ շարժում ուղիղ գծով- շարժում ուղիղ գծով՝ մեծության և ուղղությամբ արագացման հաստատունով.
3.1.2. Արագացում ()- ֆիզիկական վեկտորային մեծություն, որը ցույց է տալիս, թե որքան կփոխվի արագությունը 1 վրկ-ում:
Վեկտորային ձևով.
որտեղ է մարմնի սկզբնական արագությունը, մարմնի արագությունն է ժամանակի պահին տ.
Առանցքի վրա պրոյեկցիայի մեջ Եզ:
որտեղ է սկզբնական արագության պրոյեկցիան առանցքի վրա Եզ, - մարմնի արագության պրոյեկցիան առանցքի վրա Եզժամանակի մի կետում տ.
Պրոյեկցիաների նշանները կախված են վեկտորների և առանցքի ուղղությունից Եզ.
3.1.3. Արագացման պրոյեկցիոն գրաֆիկն ընդդեմ ժամանակի:
Միատեսակ փոփոխական շարժումների դեպքում արագացումը հաստատուն է, հետևաբար այն կհայտնվի որպես ուղիղ գծեր՝ զուգահեռ ժամանակի առանցքին (տես նկարը).
3.1.4. Արագություն միատեսակ շարժման ժամանակ:
Վեկտորային ձևով.
Առանցքի վրա պրոյեկցիայի մեջ Եզ:
Միատեսակ արագացված շարժման համար.
Միատեսակ դանդաղ շարժման համար.
3.1.5. Արագության պրոյեկցիոն գրաֆիկն ընդդեմ ժամանակի:
Արագության և ժամանակի պրոյեկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:
Շարժման ուղղությունը. եթե գրաֆիկը (կամ դրա մի մասը) գտնվում է ժամանակի առանցքից վեր, ապա մարմինը շարժվում է առանցքի դրական ուղղությամբ։ Եզ.
Արագացման արժեքը. որքան մեծ է թեքության անկյան շոշափողը (որքան ավելի կտրուկ է այն բարձրանում կամ իջնում), այնքան մեծ է արագացման մոդուլը. որտեղ է արագության փոփոխությունը ժամանակի ընթացքում
Խաչմերուկը ժամանակի առանցքի հետ. եթե գրաֆիկը հատում է ժամանակի առանցքը, ապա մինչև հատման կետը մարմինը դանդաղել է (միատեսակ դանդաղ շարժում), իսկ հատման կետից հետո այն սկսել է արագանալ հակառակ ուղղությամբ (միատեսակ արագացված շարժում):
3.1.6. Գրաֆիկի տակ գտնվող տարածքի երկրաչափական նշանակությունը առանցքներում
Գրաֆիկի տակ գտնվող տարածքը, երբ գտնվում է առանցքի Օյարագությունը ուշանում է, իսկ առանցքի վրա Եզ- ժամանակը մարմնի անցած ճանապարհն է:
Նկ. 3.5-ը ցույց է տալիս միատեսակ արագացված շարժման դեպքը: Ճանապարհն այս դեպքում հավասար կլինի տրապեզիի մակերեսին. (3.9)
3.1.7. Ճանապարհը հաշվարկելու բանաձևեր
| Միատեսակ արագացված շարժում | Հավասար դանդաղ շարժում |
|---|---|
| (3.10) | (3.12) |
| (3.11) | (3.13) |
| (3.14) | |
Աղյուսակում ներկայացված բոլոր բանաձևերն աշխատում են միայն այն դեպքում, երբ շարժման ուղղությունը պահպանվում է, այսինքն՝ մինչև ուղիղ գիծը հատվի ժամանակի առանցքի հետ՝ արագության պրոյեկցիայի համեմատ ժամանակի գրաֆիկի վրա:
Եթե խաչմերուկը տեղի է ունեցել, ապա շարժումը ավելի հեշտ է բաժանել երկու փուլի.
անցնելուց առաջ (արգելակում).
Խաչմերուկից հետո (արագացում, շարժում հակառակ ուղղությամբ)
Վերոնշյալ բանաձևերում - շարժման սկզբից մինչև ժամանակի առանցքի հետ հատումը (ժամանակ կանգառից առաջ), - այն ուղին, որը մարմինն անցել է շարժման սկզբից մինչև ժամանակի առանցքի հետ հատումը, - անցած ժամանակը. ժամանակի առանցքը հատելու պահից մինչև այս պահը տ, - այն ուղին, որով մարմինն անցել է հակառակ ուղղությամբ ժամանակի առանցքը հատելու պահից մինչև այս պահն անցած ժամանակի ընթացքում. տ, - տեղաշարժի վեկտորի մոդուլը շարժման ողջ ժամանակի համար, Լ- ամբողջ շարժման ընթացքում մարմնի անցած ճանապարհը.
3.1.8. Շարժումը երկրորդ վայրկյանին.
Այս ընթացքում մարմինը կանցնի հետևյալ ճանապարհը.
Այս ընթացքում մարմինը կանցնի հետևյալ ճանապարհը.
Այնուհետև ինտերվալի ընթացքում մարմինը կանցնի հետևյալ ճանապարհը.
Ցանկացած ժամանակահատված կարող է ընդունվել որպես ընդմիջում: Ամենից հաճախ հետ.
Այնուհետև 1 վայրկյանում մարմինը անցնում է հետևյալ ճանապարհը.
2 վայրկյանում.
3 վայրկյանում.
Եթե ուշադիր նայենք, կտեսնենք, որ և այլն։
Այսպիսով, մենք հասնում ենք բանաձևին.
Մի խոսքով, մարմնի անցած ուղիները միմյանց հետ կապված են որպես կենտ թվերի շարք, և դա կախված չէ մարմնի շարժման արագացումից: Մենք շեշտում ենք, որ այս հարաբերությունը գործում է
3.1.9. Միատեսակ շարժման համար մարմնի կոորդինատների հավասարումը
Կոորդինատային հավասարում
Սկզբնական արագության և արագացման կանխատեսումների նշանները կախված են համապատասխան վեկտորների և առանցքի հարաբերական դիրքից. Եզ.
Խնդիրները լուծելու համար անհրաժեշտ է հավասարմանը ավելացնել արագության պրոյեկցիան առանցքի վրա փոխելու հավասարումը.
3.2. Կինեմատիկական մեծությունների գրաֆիկները ուղղագիծ շարժման համար
3.3. Ազատ անկման մարմին
Ազատ անկում ասելով հասկանում ենք հետևյալ ֆիզիկական մոդելը.
1) անկումը տեղի է ունենում ծանրության ազդեցության տակ.
2) Օդի դիմադրություն չկա (խնդիրներում երբեմն գրում են «անտեսել օդի դիմադրությունը»);
3) Բոլոր մարմինները, անկախ զանգվածից, ընկնում են նույն արագությամբ (երբեմն ավելացնում են «անկախ մարմնի ձևից», բայց մենք դիտարկում ենք միայն նյութական կետի շարժումը, ուստի մարմնի ձևն այլևս չի ընդունվում. հաշվի առնել);
4) Ձգողության արագացումն ուղղված է խիստ դեպի ներքև և հավասար է Երկրի մակերեսին (խնդիրներում մենք հաճախ ենթադրում ենք հաշվարկների հարմարության համար).
3.3.1. Շարժման հավասարումներ առանցքի վրա պրոյեկցիայում Օյ
Ի տարբերություն հորիզոնական ուղիղ գծի շարժման, երբ ոչ բոլոր առաջադրանքներն են ենթադրում շարժման ուղղության փոփոխություն, ազատ անկման դեպքում ավելի լավ է անմիջապես օգտագործել առանցքի վրա կանխատեսումներով գրված հավասարումները: Օյ.
Մարմնի կոորդինատների հավասարումը.
Արագության նախագծման հավասարում.
Որպես կանոն, խնդիրների դեպքում հարմար է ընտրել առանցքը Օյհետևյալ կերպ.
Առանցք Օյուղղահայաց վերև;
Ծագումը համընկնում է Երկրի մակարդակի կամ հետագծի ամենացածր կետի հետ։
Այս ընտրությամբ հավասարումները և կվերագրվեն հետևյալ ձևով.
3.4. Շարժում ինքնաթիռում Օքսի.
Դիտարկեցինք արագացում ունեցող մարմնի շարժումը ուղիղ գծով: Այնուամենայնիվ, միատեսակ փոփոխական շարժումը սրանով չի սահմանափակվում: Օրինակ, մարմինը, որը նետված է հորիզոնականի անկյան տակ: Նման խնդիրների դեպքում անհրաժեշտ է հաշվի առնել շարժումը միանգամից երկու առանցքներով.
Կամ վեկտորային ձևով.
Եվ փոխելով արագության պրոյեկցիան երկու առանցքների վրա.
3.5. Ածանցյալ և ինտեգրալ հասկացության կիրառում
Մենք այստեղ չենք տրամադրի ածանցյալի և ինտեգրալի մանրամասն սահմանումը: Խնդիրները լուծելու համար մեզ անհրաժեշտ է միայն մի փոքր բանաձևեր:
Ածանցյալ:
Որտեղ Ա, Բիսկ դա՝ հաստատուն արժեքներ։
Անբաժանելի:
Այժմ տեսնենք, թե ինչպես են ածանցյալ և ինտեգրալ հասկացությունները կիրառվում ֆիզիկական մեծությունների վրա։ Մաթեմատիկայում ածանցյալը նշանակվում է «»–ով, ֆիզիկայում՝ ժամանակի նկատմամբ ածանցյալը ֆունկցիայից վերևում նշվում է «∙»։
Արագություն:
այսինքն՝ արագությունը շառավիղի վեկտորի ածանցյալն է։
Արագության նախագծման համար.
Արագացում:
այսինքն՝ արագացումը արագության ածանցյալ է։
Արագացման պրոյեկցիայի համար.
Այսպիսով, եթե շարժման օրենքը հայտնի է, ապա մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել մարմնի և՛ արագությունը, և՛ արագացումը։
Այժմ օգտագործենք ինտեգրալ հասկացությունը։
Արագություն:
այսինքն՝ արագությունը կարելի է գտնել որպես արագացման ժամանակային ինտեգրալ։
Շառավիղի վեկտոր:
այսինքն՝ շառավիղի վեկտորը կարելի է գտնել՝ վերցնելով արագության ֆունկցիայի ինտեգրալը։
Այսպիսով, եթե ֆունկցիան հայտնի է, մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել մարմնի և՛ արագությունը, և՛ շարժման օրենքը։
Բանաձևերում հաստատունները որոշվում են սկզբնական պայմաններից՝ արժեքներից և ժամանակի պահին
3.6. Արագության եռանկյուն և տեղաշարժի եռանկյուն
3.6.1. Արագության եռանկյուն
Մշտական արագացումով վեկտորային ձևով արագության փոփոխության օրենքը ունի (3.5) ձևը.
Այս բանաձևը նշանակում է, որ վեկտորը հավասար է վեկտորների վեկտորային գումարին, և վեկտորային գումարը միշտ կարելի է պատկերել նկարում (տես նկարը):
Յուրաքանչյուր խնդրի դեպքում, կախված պայմաններից, արագության եռանկյունը կունենա իր ձևը: Այս ներկայացումը թույլ է տալիս օգտագործել երկրաչափական նկատառումներ լուծման մեջ, ինչը հաճախ պարզեցնում է խնդրի լուծումը։
3.6.2. Շարժումների եռանկյուն
Վեկտորային ձևով մշտական արագացումով շարժման օրենքը ունի հետևյալ ձևը.
Խնդիրը լուծելիս կարելի է ընտրել հղման համակարգը ամենահարմար ձևով, հետևաբար, չկորցնելով ընդհանրությունը, մենք կարող ենք ընտրել հղման համակարգը այնպես, որ, այսինքն, տեղադրենք կոորդինատային համակարգի սկզբնաղբյուրը այն կետում, որտեղ. մարմինը գտնվում է սկզբնական պահին. Հետո
այսինքն՝ վեկտորը հավասար է վեկտորների վեկտորային գումարին և եկեք այն պատկերենք նկարում (տե՛ս նկարը)։
Ինչպես նախորդ դեպքում, կախված պայմաններից, տեղաշարժի եռանկյունը կունենա իր ձևը: Այս ներկայացումը թույլ է տալիս օգտագործել երկրաչափական նկատառումներ լուծման մեջ, ինչը հաճախ պարզեցնում է խնդրի լուծումը։
1.2. Ուղղակի շարժում
1.2.3. Կինեմատիկական մեծությունների գրաֆիկական հաշվարկ
Շարժման որոշ կինեմատիկական բնութագրեր կարելի է հաշվարկել գրաֆիկորեն:
Նախատեսվող արագության սահմանում
Օգտագործելով կոորդինատի կախվածության գրաֆիկները x (t) ժամանակից (կամ S (t) ժամանակով անցած հեռավորությունը), կարող եք հաշվարկել համապատասխան արագության պրոյեկցիա v x ժամանակի որոշակի կետում (նկ. 1.11), օրինակ t = t 1:
Դա անելու համար դուք պետք է.
1) ժամանակի առանցքի վրա նշել t 1 ժամանակի պահի նշված արժեքը.
2) վերականգնել ուղղահայացը խաչմերուկին x (t) գրաֆիկի հետ.
5) արագության պրոյեկցիան որոշել Ox առանցքի վրա՝ որպես ժամանակի առանցքի դրական ուղղության շոշափող անկյան շոշափում.
v x (t 1) = tan α 1:
Հարկ է նշել, որ v x արագության պրոյեկցիան է
- դրական, եթե գրաֆիկի շոշափողը t առանցքի ուղղության հետ կազմում է սուր անկյուն (տե՛ս նկ. 1.11);
- բացասական, եթե գծապատկերին շոշափողը t առանցքի ուղղության հետ բութ անկյուն է կազմում (նկ. 1.12):
Նկ. Նկար 1.12-ը ցույց է տալիս կոորդինատի գրաֆիկը x (t) ժամանակի համեմատ: Արագության պրոյեկցիան Ox առանցքի վրա t 3 ժամանակում որոշելու համար գծվում է t = t 3 ուղղահայաց: x (t) կախվածության հետ ուղղահայաց հատման կետում տարվում է շոշափող գիծ։ t առանցքի հետ բութ անկյուն է կազմում։ Հետևաբար, v x արագության նախագծումը Ox առանցքի վրա նշված ժամանակում բացասական արժեք է.
v x (t 3) = − | tan α 3 | .
Բրինձ. 1.12
Արագացման պրոյեկցիայի սահմանում
Օգտագործելով արագության պրոյեկցիայի գրաֆիկը v x (t) ժամանակի նկատմամբ, կարող եք հաշվել արագացման պրոյեկցիան a x համապատասխան առանցքի վրա ժամանակի որոշակի կետում (նկ. 1.13), օրինակ t = t 2:
Դա անելու համար դուք պետք է.
1) ժամանակի առանցքի վրա նշել t 2 ժամանակի պահի նշված արժեքը.
2) վերականգնել խաչմերուկին ուղղահայացը v x (t) գրաֆիկի հետ.
3) ուղղահայացին հատման կետում գծեք շոշափող գիծ գծապատկերին.
5) արագացման պրոյեկցիան որոշել Ox առանցքի վրա՝ որպես ժամանակի առանցքի դրական ուղղության շոշափող անկյան շոշափում.
a x (t 2) = tan α 2:
Հարկ է նշել, որ արագացման պրոյեկցիան a x է
- դրական, եթե գրաֆիկին շոշափողը սուր անկյուն է կազմում t առանցքի ուղղության հետ (տես նկ. 1.13);
Բրինձ. 1.13
- բացասական, եթե գծապատկերին շոշափողը t առանցքի ուղղության հետ բութ անկյուն է կազմում (նկ. 1.14):
Բրինձ. 1.14
Ալգորիթմի օգտագործման բացատրություն:Նկ. Նկար 1.14-ը ցույց է տալիս արագության նախագծման գրաֆիկը v x (t) ժամանակի համեմատ: Արագացման պրոյեկցիան Ox առանցքի վրա t 4 ժամանակում որոշելու համար գծվում է t = t 4 ուղղահայաց: Ուղղահայացը v x (t) կախվածության հետ հատման կետում տարվում է շոշափող գիծ։ t առանցքի հետ բութ անկյուն է կազմում։ Հետևաբար, a x արագացման պրոյեկցիան Ox առանցքի վրա նշված ժամանակում բացասական արժեք է.
a x (t 4) = − | tg α 4 | .
Անցած հեռավորության և տեղաշարժի մոդուլի որոշում (միատեսակ և միատեսակ արագացված շարժման համակցություն)
Օգտագործելով արագության պրոյեկցիայի գրաֆիկը՝ որպես v x (t) ժամանակի ֆունկցիա, կարող եք հաշվարկել անցած հեռավորությունը և ճանապարհորդական մոդուլնյութական կետ (մարմին) որոշակի ժամանակահատվածի համար ∆t = t 2 − t 1 .
Նշված բնութագրերը հաշվարկելու համար օգտագործելով միայն բաժիններ պարունակող գրաֆիկ միատեսակ արագացվածև միատեսակ շարժում, հետևում է.
4) անցած ճանապարհը S և տեղաշարժման մոդուլը հաշվե՛ք որպես գումարներ.
∆r = S 1 + S 2 + ... + S n,
որտեղ S 1, S 2, ..., S n այն ուղիներն են, որոնցով անցնում է նյութական կետը հավասարաչափ արագացված և միատեսակ շարժման հատվածներից յուրաքանչյուրում:
Նկ. Նկար 1.15-ը ցույց է տալիս արագության պրոյեկցիայի կախվածությունը ժամանակից նյութական կետի (մարմնի) համար, որը շարժվում է հավասարաչափ արագացված AB հատվածում, միատեսակ BC հատվածում, միատեսակ արագացված՝ CD հատվածում, բայց AB հատվածի արագացումից տարբերվող արագացումով:
Բրինձ. 1.15
Այս դեպքում անցած S հեռավորությունը և Δr տեղաշարժի մոդուլը համընկնում են և հաշվարկվում են բանաձևերով.
S = S 1 + S 2 + S 3,
∆r = S 1 + S 2 + S 3,
որտեղ S 1-ը AB հատվածի նյութական կետի (մարմնի) անցած ճանապարհն է. S 2 - ճանապարհ անցած հատվածում մ.թ.ա. S 3 - ճանապարհն անցել է CD հատվածում; S 1 , S 2 , S 3 հաշվարկվում են վերը նշված ալգորիթմի համաձայն:
Անցած հեռավորության և տեղաշարժի մոդուլի որոշում (միատեսակ, միատեսակ արագացված և հավասարաչափ դանդաղեցված շարժման համակցություն)
Նշված բնութագրերը հաշվարկելու համար օգտագործելով v x (t) գրաֆիկը, որը պարունակում է ոչ միայն միատեսակ արագացված և միատեսակ հատվածներ, այլև նույնքան դանդաղշարժում, դուք պետք է.
1) նշված ժամանակային միջակայքը ∆t նշել ժամանակի առանցքի վրա.
2) վերականգնել ուղղահայացները t = t 1 և t = t 2 կետերից մինչև դրանք հատվեն v x (t) գրաֆիկի հետ;
4) անցած S հեռավորությունը հաշվարկեք որպես գումար.
S = S 1 + S 2 + ... + S n,
որտեղ S 1, S 2, ..., S n են այն ուղիները, որոնք անցնում է նյութական կետը յուրաքանչյուր հատվածում.
5) հաշվարկել ճանապարհորդական մոդուլորպես նյութական կետից մինչև կանգառ անցած ընդհանուր ճանապարհի և կանգառից հետո նյութական կետի անցած ճանապարհի տարբերությունը:
Ալգորիթմի օգտագործման բացատրություն. Նկ. Նկար 1.16-ը ցույց է տալիս արագության կախվածությունը ժամանակից նյութական կետի (մարմնի) համար, որը շարժվում է միատեսակ արագացված AB հատվածում, միատեսակ BC հատվածում, միատեսակ դանդաղ՝ CF հատվածում:
Բրինձ. 1.16
Այն դեպքում, երբ առկա է միատեսակ դանդաղ շարժման հատված (ներառյալ կանգառը՝ D կետ), անցած S հեռավորությունը և Δr տեղաշարժման մոդուլը չեն համընկնում: Անցած հեռավորությունը հաշվարկվում է բանաձևով
S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4,
որտեղ S 1-ը AB հատվածի նյութական կետի (մարմնի) անցած ճանապարհն է. S 2 - ճանապարհ անցած հատվածում մ.թ.ա. S 3 - ճանապարհն անցել է CD հատվածում; S 4 - անցած ճանապարհ DF հատվածում; S 1 , S 2 , S 3 , S 4 հաշվարկվում են վերը նշված ալգորիթմի համաձայն. Հարկ է նշել, որ S 4-ի արժեքը դրական է։
Տեղաշարժման մոդուլը հաշվարկվում է բանաձևով
∆r = S 1 + S 2 + S 3 − S 4,
Պտտումից հետո նյութական կետի (մարմնի) անցած ճանապարհը հանելով:
Արագության փոփոխության մոդուլի որոշում
Արագացման պրոյեկցիայի գրաֆիկից կարելի է գտնել x (t). արագության փոփոխության մոդուլՆյութական կետի (մարմնի) ∆v որոշակի ժամանակային միջակայքի ∆t = t 2 − t 1 (նկ. 1.17):
Դա անելու համար դուք պետք է.
1) նշված ժամանակային միջակայքը ∆t նշել ժամանակի առանցքի վրա.
2) վերականգնել ուղղահայացները t = t 1 և t = t 2 կետերից մինչև դրանք հատվեն a x (t) գրաֆիկի հետ;
4) հաշվարկել արագության փոփոխության մոդուլը նշված ժամանակային միջակայքի համար որպես տարածք:
Օրինակ 4. Առաջին մարմնի արագության պրոյեկցիայի գրաֆիկը Ox առանցքի վրա ժամանակի նկատմամբ պատկերված է ուղիղ գծով, որն անցնում է (0; 6) և (3; 0) կետերով, երկրորդը՝ կետերով (( 0; 0) և (8; 4), որտեղ արագությունը տրվում է վայրկյանում մետրերով, ժամանակը` վայրկյաններով: Քանի՞ անգամ են տարբերվում առաջին և երկրորդ մարմինների արագացման մոդուլները:
Լուծում. Երկու մարմինների համար արագության կանխատեսումների գրաֆիկները ներկայացված են նկարում:
Առաջին մարմնի արագացման պրոյեկցիան սահմանվում է որպես α 1 բութ անկյան շոշափում; դրա մոդուլը հաշվարկվում է բանաձևով
| ա x 1 | = | tan α 1 | = | tg (180 − α 3) | = 6 3 = 2 մ/վ 2.
Առաջին մարմինը նույնքան դանդաղ է շարժվում. դրա արագացման մեծությունը 1 = = 2 մ/վ է 2:
Երկրորդ մարմնի արագացման պրոյեկցիան սահմանվում է որպես α 2 սուր անկյան շոշափում; դրա մոդուլը հաշվարկվում է բանաձևով
a x 2 = tan α 2 = 4 8 = 0,5 մ/վ 2.
Երկրորդ մարմինը շարժվում է միատեսակ արագացումով. դրա արագացման մեծությունը 2 = 0,5 մ/վ է 2:
Առաջին և երկրորդ մարմինների արագացման մոդուլների պահանջվող հարաբերակցությունը հավասար է.
a 1 a 2 = 2 0.5 = 4:
Առաջին մարմնի արագացումը 4 անգամ մեծ է երկրորդ մարմնի արագացումից։
Օրինակ 5. Առաջին մարմնի համար y կոորդինատի գրաֆիկը պատկերված է որպես ուղիղ գիծ, որն անցնում է (0; 0) և (5; 3) կետերով, երկրորդը` (3; 0) և կետերով: (6; 6), որտեղ կոորդինատը տրվում է մետրերով, ժամանակը` վայրկյաններով: Որոշել նշված մարմինների արագության կանխատեսումների մոդուլների հարաբերակցությունը:
Լուծում. Երկու մարմինների համար y-կոորդինատի համեմատ ժամանակի գրաֆիկները ներկայացված են նկարում:
Առաջին մարմնի արագության պրոյեկցիան սահմանվում է որպես α 1 անկյան շոշափող; դրա մոդուլը հաշվարկվում է բանաձևով
v y 1 = tan α 1 = 3 5 = 0,6 մ / վ:
Երկրորդ մարմնի արագության պրոյեկցիան սահմանվում է որպես α 2 անկյան շոշափում; դրա մոդուլը հաշվարկվում է բանաձևով
v y 2 = tan α 2 = 6 3 = 2 մ/վ:
Երկու արագության կանխատեսումները ունեն դրական նշան. հետեւաբար երկու մարմիններն էլ շարժվում են միատեսակ արագացումով։
Նշված մարմինների արագության կանխատեսումների մոդուլների հարաբերակցությունը կազմում է.
| v y 2 | | v y 1 | = 2 0.6 ≈ 3:
Երկրորդ մարմնի արագության պրոյեկցիայի մեծությունը մոտավորապես 3 անգամ մեծ է երկրորդ մարմնի արագության պրոյեկցիայի մեծությունից։
Օրինակ 6. Մարմնի արագության կախվածության գրաֆիկը ժամանակից պատկերված է որպես ուղիղ գիծ, որն անցնում է (0; 4.0) և (2.5; 0) կետերով, որտեղ արագությունը տրվում է մետր վայրկյանում, ժամանակը - վայրկյանների ընթացքում: Քանի՞ անգամ է մարմնի անցած տարածությունը մեծ տեղաշարժի մոդուլից 6,0 վրկ շարժման ընթացքում:
Լուծում. Նկարում ներկայացված է մարմնի արագության գրաֆիկը ժամանակի համեմատ: Կանգառի կետը τ rest = 2,5 վ ընկնում է 0 վ-ից մինչև 6,0 վրկ միջակայքում:
Այսպիսով, անցած հեռավորությունը գումարն է
S = S 1 + S 2,
իսկ տեղաշարժի մոդուլը տարբերությունն է
| Δ r → | = | S 1 − S 2 | ,
որտեղ S 1-ը մարմնի անցած ճանապարհն է 0 վրկ-ից մինչև 2,5 վրկ ժամանակային միջակայքի ընթացքում. S 2-ը մարմնի անցած ճանապարհն է 2,5 վրկ-ից մինչև 6,0 վրկ ժամանակային ընդմիջումով:
Մենք հաշվարկում ենք S 1 և S 2-ի արժեքները գրաֆիկորեն որպես նկարում ներկայացված եռանկյունների տարածքներ.
S 1 = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 2,5 = 5,0 մ;
S 2 = 1 2 ⋅ (6,0 − 2,5) ⋅ 5,6 = 9,8 մ.
Նշում. արագության արժեքը v = 5,6 մ/վ t = 6,0 վրկ պահին ստացվում է եռանկյունների նմանությունից, այսինքն. վերաբերմունքից
v 4.0 = 6.0 - 2.5 2.5 - 0:
Եկեք հաշվարկենք անցած ճանապարհը.
S = S 1 + S 2 = 5.0 + 9.8 = 14.8 մ
և շարժման քանակը.
| Δ r → | = | S 1 − S 2 | = | 5,0 − 9,8 | = 4,8 մ.
Եկեք գտնենք անցած հեռավորության և տեղաշարժի մոդուլի պահանջվող հարաբերակցությունը.
Ս | Δ r → | = 14,8 4,8 ≈ 3,1:
Անցած տարածությունը մոտավորապես 3,1 անգամ գերազանցում է տեղաշարժը:
