Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
TREĆE POGLAVLJE
POLIEDRI
1. PARALELEPIPED I PIRAMIDA
Svojstva ploha i dijagonala paralelopipeda
72. Teorem. U paralelopipedu:
1)suprotne stranice su jednake i paralelne;
2) sve četiri dijagonale sijeku se u jednoj točki i tu se raspolavljaju.
1) Lice (sl. 80) BB 1 C 1 C i AA 1 D 1 D su paralelne, jer su dvije ravnice BB 1 i B 1 C 1 jedne plohe koje se sijeku paralelne s dvjema ravnima AA 1 i A 1 koje se sijeku. D 1 drugog (§ 15); ta su lica jednaka, budući da je B 1 C 1 = A 1 D 1, B 1 B = A 1 A (poput suprotnih stranica paralelograma) i / BB 1 C 1 = / AA 1 D 1 .
2) Uzmite (sl. 81) neke dvije dijagonale, na primjer AC 1 i VD 1, i povucite pomoćne pravce AD 1 i VS 1.
Kako su bridovi AB i D 1 C 1 redom jednaki i paralelni s bridom DC, oni su međusobno jednaki i paralelni; Kao rezultat toga, lik AD 1 C 1 B je paralelogram u kojem su ravne linije C 1 A i BD 1 dijagonale, au paralelogramu su dijagonale podijeljene na pola u točki sjecišta.
Uzmimo sada jednu od tih dijagonala, na primjer AC 1, s trećom dijagonalom, recimo, s B 1 D. Na potpuno isti način možemo dokazati da su podijeljene na pola u točki presjeka. Prema tome, dijagonale B 1 D i AC 1 i dijagonale AC 1 i BD 1 (koje smo ranije uzeli) sijeku se u istoj točki, točno u sredini dijagonale
AC 1. Naposljetku, uzimajući istu dijagonalu AC 1 s četvrtom dijagonalom A 1 C, također dokazujemo da su prepolovljene. To znači da se sjecište tog para dijagonala nalazi na sredini dijagonale AC 1. Dakle, sve četiri dijagonale paralelopipeda sijeku se u istoj točki i tom se točkom dijele na dva dijela.
73. Teorem. U pravokutnom paralelopipedu, kvadrat bilo koje dijagonale (AS 1, crtež 82) jednak zbroju kvadrata njegove tri dimenzije .
Crtanjem dijagonale osnovice AC dobivamo trokute AC 1 C i ACB. Oba su pravokutna: prvi jer je paralelopiped ravan i stoga je brid CC 1 okomit na osnovicu; drugi jer je paralelopiped pravokutan i, prema tome, pravokutnik leži u njegovoj bazi. Iz ovih trokuta nalazimo:
AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 i AC 2 = AB 2 + BC 2
Stoga,
AC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = AB 2 + AD 2 + AA 1 2.
Posljedica.U pravokutnom paralelopipedu sve su dijagonale jednake.
Učenici često ogorčeno pitaju: "Kako će mi ovo koristiti u životu?" Na bilo koju temu svakog predmeta. Tema o volumenu paralelopipeda nije iznimka. I tu jednostavno možete reći: "Dobro će vam doći."
Kako, na primjer, saznati hoće li paket stati u poštanski sandučić? Naravno, metodom pokušaja i pogreške možete odabrati onaj pravi. Što ako to nije moguće? Tada će izračuni doći u pomoć. Znajući kapacitet kutije, možete izračunati volumen parcele (bar približno) i odgovoriti na postavljeno pitanje.
Paralelepiped i njegove vrste
Ako doslovno prevedemo njegovo ime sa starogrčkog, ispada da je to lik koji se sastoji od paralelnih ravnina. Postoje sljedeće ekvivalentne definicije paralelopipeda:
- prizma s bazom u obliku paralelograma;
- poliedar, čija je svaka strana paralelogram.
Njegove se vrste razlikuju ovisno o tome koja figura leži u njegovoj osnovi i kako su bočna rebra usmjerena. Općenito, govorimo o nagnuti paralelopiped, čija su baza i sve strane paralelogrami. Ako bočne strane prethodnog prikaza postanu pravokutnici, tada će se morati pozvati direktno. I pravokutan a baza također ima kutove od 90º.
Štoviše, u geometriji pokušavaju prikazati potonje na takav način da je vidljivo da su svi rubovi paralelni. Ovdje je, usput, glavna razlika između matematičara i umjetnika. Za potonje je važno prenijeti tijelo u skladu sa zakonom perspektive. I u ovom slučaju, paralelnost rebara je potpuno nevidljiva.
O uvedenim oznakama
U formulama u nastavku vrijede oznake navedene u tablici.
Formule za nagnuti paralelopiped
Prvi i drugi za područja:
Treći je izračunati volumen paralelopipeda:
Budući da je baza paralelogram, za izračunavanje njegove površine morat ćete koristiti odgovarajuće izraze.
Formule za pravokutni paralelopiped
Slično prvoj točki - dvije formule za površine:
I još jedan za volumen:
Prvi zadatak
Stanje. Dat je pravokutni paralelopiped čiji volumen treba pronaći. Poznata je dijagonala - 18 cm - i činjenica da s ravninom bočne plohe i bočnog ruba čini kut od 30, odnosno 45 stupnjeva.
Riješenje. Da biste odgovorili na problemsko pitanje, morat ćete znati sve stranice u tri pravokutna trokuta. Oni će dati potrebne vrijednosti rubova prema kojima trebate izračunati volumen.
Prvo morate odrediti gdje je kut od 30º. Da biste to učinili, morate nacrtati dijagonalu bočne strane iz istog vrha odakle je nacrtana glavna dijagonala paralelograma. Kut između njih bit će ono što je potrebno.
Prvi trokut koji će dati jednu od vrijednosti stranica baze bit će sljedeći. Sadrži traženu stranicu i dvije nacrtane dijagonale. Pravokutan je. Sada morate koristiti omjer suprotne noge (strana baze) i hipotenuze (dijagonala). Jednak je sinusu od 30º. To jest, nepoznata strana baze bit će određena kao dijagonala pomnožena sa sinusom od 30º ili ½. Neka bude označeno slovom "a".
Drugi će biti trokut koji sadrži poznatu dijagonalu i rub s kojim čini 45º. Također je pravokutan, a opet možete koristiti omjer katete i hipotenuze. Drugim riječima, bočni rub prema dijagonali. Jednak je kosinusu od 45º. To jest, "c" se izračunava kao umnožak dijagonale i kosinusa od 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
U istom trokutu morate pronaći drugu nogu. Ovo je neophodno kako bi se zatim izračunala treća nepoznata - "in". Neka bude označeno slovom "x". Može se lako izračunati pomoću Pitagorine teoreme:
x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).
Sada trebamo razmotriti još jedan pravokutni trokut. Sadrži već poznate strane “c”, “x” i onu koju treba prebrojati, “b”:
in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).
Sve tri količine su poznate. Možete koristiti formulu za volumen i izračunati ga:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).
Odgovor: obujam paralelopipeda je 729√2 cm3.
Drugi zadatak
Stanje. Trebate pronaći obujam paralelopipeda. U njemu se zna da su stranice paralelograma, koji leži u podnožju, 3 i 6 cm, kao i njegov oštar kut - 45º. Bočno rebro ima nagib prema bazi od 30º i jednako je 4 cm.
Riješenje. Da biste odgovorili na pitanje problema, morate uzeti formulu koja je napisana za volumen nagnutog paralelopipeda. Ali obje su količine u njemu nepoznate.
Područje baze, odnosno paralelograma, odredit će se formulom u kojoj morate pomnožiti poznate strane i sinus oštrog kuta između njih.
S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).
Druga nepoznata veličina je visina. Može se povući iz bilo kojeg od četiri vrha iznad baze. Može se pronaći iz pravokutnog trokuta u kojem je visina kateta, a bočni brid hipotenuza. U ovom slučaju, kut od 30º leži nasuprot nepoznate visine. To znači da možemo koristiti omjer katete i hipotenuze.
n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.
Sada su sve vrijednosti poznate i volumen se može izračunati:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).
Odgovor: obujam je 18 √2 cm 3.
Treći zadatak
Stanje. Odredi obujam paralelepipeda ako se zna da je ravan. Stranice njegove baze čine paralelogram i jednake su 2 i 3 cm, a oštri kut između njih je 60º. Manja dijagonala paralelopipeda jednaka je većoj dijagonali baze.
Riješenje. Da bismo saznali volumen paralelopipeda, koristimo se formulom s baznom površinom i visinom. Obje su veličine nepoznate, ali ih je lako izračunati. Prvi je visina.
Budući da se manja dijagonala paralelopipeda po veličini podudara s većom bazom, mogu se označiti istim slovom d. Najveći kut paralelograma je 120º, jer s šiljastim kutom čini 180º. Neka druga dijagonala baze bude označena slovom "x". Sada za dvije dijagonale baze možemo napisati kosinusne teoreme:
d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.
Nema smisla pronaći vrijednosti bez kvadrata, jer će kasnije ponovno biti podignute na drugu snagu. Nakon zamjene podataka dobivamo:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Sada će se visina, koja je ujedno i bočni rub paralelopipeda, pokazati kao krak u trokutu. Hipotenuza će biti poznata dijagonala tijela, a druga kateta bit će "x". Možemo napisati Pitagorin teorem:
n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.
Dakle: n = √12 = 2√3 (cm).
Sada je druga nepoznata veličina površina baze. Može se izračunati pomoću formule spomenute u drugom problemu.
S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).
Kombinirajući sve u formulu volumena, dobivamo:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Odgovor: V = 18 cm 3.
Četvrti zadatak
Stanje. Potrebno je saznati obujam paralelopipeda koji ispunjava sljedeće uvjete: baza je kvadrat sa stranicom 5 cm; bočne strane su rombovi; jedan od vrhova koji se nalazi iznad baze jednako je udaljen od svih vrhova koji leže na bazi.
Riješenje. Prvo se morate pozabaviti stanjem. Uz prvu točku o trgu nema pitanja. Drugi, o rombovima, jasno pokazuje da je paralelopiped nagnut. Štoviše, svi su njegovi rubovi jednaki 5 cm, budući da su strane romba iste. A iz trećeg postaje jasno da su tri dijagonale izvučene iz njega jednake. To su dva koja leže na bočnim stranama, a posljednji je unutar paralelopipeda. I te su dijagonale jednake rubu, odnosno također imaju duljinu od 5 cm.
Za određivanje volumena trebat će vam formula napisana za nagnuti paralelopiped. U njemu opet nema poznatih količina. Međutim, područje baze je lako izračunati jer je to kvadrat.
S o = 5 2 = 25 (cm 2).
Situacija s visinom je malo kompliciranija. Ovako će biti u tri figure: paralelepiped, četverokutna piramida i jednakokračni trokut. Ovu posljednju okolnost treba iskoristiti.
Budući da je to visina, to je krak u pravokutnom trokutu. Hipotenuza u njemu bit će poznati rub, a druga noga jednaka je polovici dijagonale kvadrata (visina je također medijan). A dijagonalu baze lako je pronaći:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
Visinu će trebati izračunati kao razliku između druge potencije ruba i kvadrata polovice dijagonale, a zatim ne zaboravite izvaditi kvadratni korijen:
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).
Odgovor: 62,5 √2 (cm 3).
U ovoj lekciji svatko će moći proučavati temu "Pravokutni paralelopiped". Na početku lekcije ponovit ćemo što su proizvoljni i ravni paralelopipedi, prisjetiti se svojstava njihovih suprotnih stranica i dijagonala paralelopipeda. Zatim ćemo pogledati što je kvadar i razgovarati o njegovim osnovnim svojstvima.
Tema: Okomitost pravca i ravnine
Lekcija: Kvadar
Ploha sastavljena od dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 i četiri paralelograma ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 naziva se paralelopiped(Sl. 1).
Riža. 1 paralelopiped
Odnosno: imamo dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), leže u paralelnim ravninama tako da su bočni bridovi AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 paralelni. Tako se ploha sastavljena od paralelograma naziva paralelopiped.
Dakle, površina paralelopipeda je zbroj svih paralelograma koji čine paralelopiped.
1. Nasuprotne plohe paralelopipeda su paralelne i jednake.
(oblici su jednaki, odnosno mogu se spajati preklapanjem)
Na primjer:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (jednaki paralelogrami po definiciji),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (budući da su AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C suprotna lica paralelopipeda),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (jer su AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C suprotne plohe paralelepipeda).
2. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i tom se točkom dijele na pola.
Dijagonale paralelopipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B sijeku se u jednoj točki O, a svaka se dijagonala tom točkom dijeli na pola (slika 2).
Riža. 2 Dijagonale paralelopipeda sijeku se i sjecištem ih dijeli popola.
3. Tri su četvorke jednakih i paralelnih bridova paralelopipeda: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.
Definicija. Paralelepiped se naziva ravnim ako su mu bočni bridovi okomiti na baze.
Neka bočni brid AA 1 bude okomit na podnožje (sl. 3). To znači da je pravac AA 1 okomit na pravce AD i AB koji leže u ravnini baze. To znači da bočne strane sadrže pravokutnike. A baze sadrže proizvoljne paralelograme. Označimo ∠BAD = φ, kut φ može biti bilo koji.
Riža. 3 Pravi paralelopiped
Dakle, pravi paralelopiped je paralelopiped u kojem su bočni bridovi okomiti na osnovice paralelopipeda.
Definicija. Paralelepiped se naziva pravokutnik, ako su mu bočni bridovi okomiti na osnovicu. Osnove su pravokutnici.
Paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je pravokutan (slika 4), ako je:
1. AA 1 ⊥ ABCD (bočni brid okomit na ravninu baze, odnosno ravni paralelopiped).
2. ∠BAD = 90°, tj. osnovica je pravokutnik.
Riža. 4 Pravokutni paralelopiped
Pravokutni paralelopiped ima sva svojstva proizvoljnog paralelopipeda. Ali postoje dodatna svojstva koja su izvedena iz definicije kvadra.
Tako, kuboidan je paralelopiped čiji su bočni bridovi okomiti na osnovicu. Osnovica kvadra je pravokutnik.
1. U pravokutnom paralelopipedu svih šest stranica su pravokutnici.
ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su po definiciji pravokutnici.
2. Bočna rebra su okomita na bazu. To znači da su sve bočne stranice pravokutnog paralelopipeda pravokutnici.
3. Svi diedarski kutovi pravokutnog paralelopipeda su pravi.
Promotrimo, na primjer, diedarski kut pravokutnog paralelopipeda s bridom AB, tj. diedarski kut između ravnina ABC 1 i ABC.
AB je brid, točka A 1 leži u jednoj ravnini - u ravnini ABB 1, a točka D u drugoj - u ravnini A 1 B 1 C 1 D 1. Tada se razmatrani diedarski kut može označiti i na sljedeći način: ∠A 1 ABD.
Uzmimo točku A na rubu AB. AA 1 je okomit na brid AB u ravnini AVV-1, AD je okomit na brid AB u ravnini ABC. To znači da je ∠A 1 AD linearni kut zadanog diedralnog kuta. ∠A 1 AD = 90°, što znači da je diedarski kut na bridu AB 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Slično se dokazuje da su svi diedarski kutovi pravokutnog paralelopipeda pravi.
Kvadrat dijagonale pravokutnog paralelopipeda jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.
Bilješka. Duljine triju bridova koji izlaze iz jednog vrha kvadra mjere su kvadra. Ponekad se nazivaju duljina, širina, visina.
Zadano je: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravokutni paralelopiped (sl. 5).
Dokaži: .
Riža. 5 Pravokutni paralelopiped
Dokaz:
Pravac CC 1 okomit je na ravninu ABC, a time i na pravac AC. To znači da je trokut CC 1 A pravokutan. Prema Pitagorinoj teoremi:
Promotrimo pravokutni trokut ABC. Prema Pitagorinoj teoremi:
Ali BC i AD su suprotne strane pravokutnika. Dakle, BC = AD. Zatim:
Jer , A , To. Budući da je CC 1 = AA 1, to je trebalo dokazati.
Dijagonale pravokutnog paralelopipeda su jednake.
Označimo dimenzije paralelopipeda ABC kao a, b, c (vidi sliku 6), tada je AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
