Riječ "proporcija" dolazi od latinskog korijena i znači "proporcija". Ljudi ga često koriste u svakodnevnom životu. Govore, primjerice, o proporcijama ljudskog tijela ili o proporcijama u kuhanju. Danas ćemo saznati što matematičari podrazumijevaju pod ovom riječi.
Razmotrimo dva odnosa. Sjećamo se da je omjer kvocijent dvaju brojeva.
Imajte na umu da je iu prvom iu drugom slučaju vrijednost kvocijenta tri. Pred nama su dva ravnopravna odnosa. Zapišimo jednakost.
Petnaest je prema pet kao što je dvadeset četiri prema osam. Ova se jednakost naziva proporcija. Ponekad se ova jednakost zapisuje kao jednakost običnih razlomaka.
Formulirajmo definiciju: Jednakost dvaju omjera naziva se proporcija.
Koristeći slova, udio se može napisati:
Stav a Do b jednaka omjeru c Do d. Ponekad se proporcija čita drugačije: " a ovo se odnosi na b, Kako c odnosi se na d». Brojevi uključeni u proporciju nazivaju se članovi proporcije. Pretpostavlja se da su svi članovi različiti od nule.
Brojke a I d nazivaju se ekstremni članovi omjera, a brojevi b I c- prosječni članovi. Doista, u prvoj varijanti pisanja broja b I c nalaze se u sredini, a brojevi a I d na rubu.
U ranije razmotrenom omjeru 
Nađimo umnožak njegovih srednjih i krajnjih članova.
Imajte na umu da su dva dobivena umnoška jednaka.
Formulirajmo osnovno svojstvo proporcije u općem obliku.
U pravilnom omjeru, umnožak krajnjih članova jednak je umnošku srednjih članova.
Vrijedi i obrnuto.
Ako je umnožak krajnjih članova jednak umnošku srednjih članova udjela, tada je udiopravi.
Pronađimo nepoznati član proporcije, odnosno riješimo proporciju.
Brojevi 0,5 i 13 su ekstremni članovi; brojevima a a 2 su srednji pojmovi. Poslužimo se osnovnim svojstvom proporcije.
Riješimo proporciju.
Koristeći osnovno svojstvo proporcije, dobivamo:
Da biste se riješili decimale u nazivniku, pomnožite i brojnik i nazivnik razlomka s 10. Dobiveni razlomak smanjite za 4, a zatim ponovno za 4.
Provjerite jesu li ovi omjeri točni:
U ovom zadatku treba provjeriti vrijedi li stvarno jednakost između relacija.
Nađimo umnožak prosjeka i umnožak ekstrema za svaki omjer. Ako su dobiveni proizvodi jednaki, tada je omjer točan. U suprotnom, proporcija je netočna.
točan omjer, jer
netočan omjer, jer .
Ako se srednji ili krajnji članovi zamijene u ispravnom omjeru, tada su rezultirajući novi omjeri također ispravni.
To je tako jer se takvim preuređivanjem umnožak krajnjeg i srednjeg člana ne mijenja.
Pogledajmo primjer. Iz ovog udjela dobijte dva nova preuređivanjem krajnjeg i srednjeg člana. Prvo, promijenimo redoslijed srednjih članova (slika 1).
Riža. 1. Preuređivanje srednjih pojmova
Doista, umnožak prosječnog i ekstremnog nije se promijenio, što znači da je dobiveni omjer točan. Presložimo krajnje članove (slika 2).
Riža. 2. Preuređivanje ekstremnih članova
I u ovom slučaju, umnožak prosjeka i ekstrema nije se promijenio. Dobili smo točan omjer.
Bibliografija
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija. 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - M.: Obrazovanje, 1989.
- Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadatci za kolegij matematike za 5-6 razrede. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Udžbenik-govornik za 5-6 razred srednje škole. - M.: Obrazovanje, Biblioteka nastavnika matematike, 1989.
- Matematika ().
- Internetski portal Math-portal.ru ().
Domaća zadaća
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012: br. 762 (a, d, d), br. 765, br. 777.
- Ostali zadaci: br.767, br.775.
(od lat. rgorortio- "sumjerljivost").
Ako je omjer A: b jednaka omjeru S:d, zatim identitet A:b= s:d nazvao proporcija.
Ako je , onda će jednakost ostati u sljedećim slučajevima:
(povećanje proporcije),
(smanjenje u proporciji).
(sastavljanje proporcija zbrajanjem),
(sastavljanje proporcija oduzimanjem).
Imajte na umu da je crtanje proporcija još jedan način rješavanja problema koji uključuju postotke.
Na primjer:
Kositar se pravi od minerala koji se zove kasiter. Koliko će se tona kositra dobiti od 25 tona kasiterita ako sadrži 78% kositra?
Riješenje. Neka dobiju lim. Uzimajući masu minerala kao 100%, pišemo:
Rješavanjem 25,78 = 100x nalazimo da je x = 19,5t.
Pojam proporcije usko je povezan s proporcionalnošću. Proporcionalnost- ovo je stalni omjer dviju količina jedna prema drugoj. Na primjer, što više pritišćemo papučicu gasa u automobilu, to će brže ići.
Proporcionalnost može biti izravna i obrnuta.
Izravna proporcionalnost - rast jedne vrijednosti povlači za sobom rast druge.
Obrnuta proporcionalnost postoji kada povećanje jedne vrijednosti nekoliko puta smanjuje drugu za isti iznos. Nastavljajući s prethodnog primjer- obrnuta proporcionalnost između pritiskanja papučice kočnice i brzine automobila - što više pritiskamo kočnicu, brzina je manja.
3,6:1,2 i 6,3:2,1 su jednaki, jer su vrijednosti kvocijenata jednake 3. Dakle, možemo napisati jednakost 3,6:1,2 = 6,3:2,1, odn.
Jednakost dvaju omjera naziva se proporcija.
Koristeći slova, omjer se piše ovako: a:b = c:d ili
Ovi unosi glase: “Omjer a prema b jednak je omjeru c prema d >>
ili “a je prema b kao što je c prema d >>
.
U omjeru, ili a:b=c:d,
Brojeve a i d nazivamo ekstremnim članovima, a brojeve b i c srednjim članovima. U nastavku ćemo pretpostaviti da su svi članovi proporcije različiti od nule: .
U omjeru nalazimo umnožak njegovih krajnjih članova i umnožak njegovih srednjih članova.
Dobivamo 3,6 2,1 = 7,56; 1,2 6,3 = 7,56. Dakle, 3,6 2,1 = 1,2 6,3.
U pravilnom omjeru, umnožak krajnjih članova jednak je umnošku srednjih članova. Vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako je umnožak krajnjih članova jednak umnošku srednjih članova udjela, tada je udio točan.
To se svojstvo naziva osnovno svojstvo proporcije.
Omjer 20:16 = 5:4 je točan, jer je 20 4 = 16 5 = 80. Zamijenimo srednje članove u ovom omjeru.
Dobivamo novi omjer: 20:5 = 16:4. To je također točno, budući da se takvim preuređivanjem umnožak ekstremnih i umnožaka srednjih članova nije promijenio. Ovi se umnošci neće promijeniti ako se zamijene krajnji članovi u omjeru 20:5 = 16:4.
Ako se srednji članovi ili krajnji članovi zamijene u ispravnom omjeru, tada su rezultirajući novi omjeri također ispravni.
748. Preuređivanjem srednjih ili krajnjih članova razmjera, stvorite tri nova točna omjera iz omjera:
749. Koristeći točnu jednakost 4 9 = 0,2 180, napravite četiri točne proporcije.
P 750. Izračunaj usmeno:
751. Koji znak radnje treba zamijeniti umjesto * da bi se dobila ispravna jednakost:
752. Nađi omjer količina:
a) 1,5 m i 30 cm;
b) 1 kg i 250 g;
c) 1 sat i 15 minuta;
d) 50 cm 2 i 1 dm 2.
753. brojevi su jednaki ovom broju. Što je to broj?
754. Koji broj treba dodati brojniku i nazivniku razlomka da bi se dobio razlomak?
M 755. Koje su od slika (slika 33) razvojne:
a) četverokutna prizma; b) trokutasta prizma; c) trokutastu piramidu?
756. Iz puške je ispaljeno 50 hitaca, a 5 metaka je proletjelo pored mete. Definirati.
757.Kut A iznosi 30°, a kut B 50°. Koliki je dio kuta A od kuta B? Koliko je puta kut B veći od kuta A?
758. Brigada je dobila zadatak prikupiti 280 centi grožđa. Skupila je 350 kvintala. Za koliko je postotaka tim premašio zadatak? U kojem postotku je tim ispunio zadatak?
759.U parku su posađena stabla javora i hrasta, na svaka 4 javora jedan hrast. Koliki postotak svih zasađenih stabala čine javori? Koliko je stabala posađeno u parku ako je posađeno 480 javora?
D 760. Je li proporcija točna:
a) 2,04:0,6 = 2,72:0,8; b) 0,0112:0,28=0,204:0,51?
761. Riješi jednadžbu:
762. Od 225 kg rude dobiveno je 34,2 kg bakra. Koliki je postotak bakra u rudi?
763. 2 sata nakon polaska s postaje A dizel lokomotiva je povećala brzinu za 12 km/h i 5 sati nakon početka kretanja stigla na odredište B. Kolika je bila brzina dizel lokomotive na početku vožnje ako je udaljenost od A do B je 261 km?
764. Ako nepoznatom broju dodate 0,8, dobit ćete 1,2. Pronađite nepoznati broj.
765. Slijedite ove korake:
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I.Zhokhov, Matematika za 6. razred, Udžbenik za gimnaziju
Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video o matematici online, Matematika u školi download
