پیش بینی سرعت دو نقطه از یک جسم صلب بر روی محوری که از این نقاط می گذرد با یکدیگر برابر است.
v A cos α = v B cos β.
اثبات
اجازه دهید یک سیستم مختصات ثابت مستطیلی Oxyz را انتخاب کنیم. بیایید دو نقطه دلخواه از یک جسم صلب A و B را در نظر بگیریم. اجازه دهید (x A , y A , z A )و (x B , y B , z B )- مختصات این نقاط. هنگامی که یک جسم صلب حرکت می کند، آنها تابعی از زمان t هستند. با تمایز نسبت به زمان، پیش بینی سرعت نقاط را به دست می آوریم.
,
.
اجازه دهید از این واقعیت استفاده کنیم که وقتی یک جسم صلب حرکت می کند، فاصله است | AB|بین نقاط ثابت می ماند، یعنی به زمان t بستگی ندارد. همچنین ثابت مربع فاصله است
.
بیایید این معادله را با توجه به زمان t با استفاده از قانون افتراق یک تابع مختلط متمایز کنیم.
بیایید آن را کوتاه کنیم 2
.
(1)
بیایید وکتور را معرفی کنیم
.
سپس معادله (1)
را می توان به عنوان حاصل ضرب اسکالر بردارها نشان داد.
(2)
ما تحولات را انجام می دهیم.
;
(3)
.
با ویژگی محصول اسکالر
,
.
جایگزین در (3)
و کاهش دهید | AB|.
;
Q.E.D.
سرعت نسبی
حرکت نقطه B را نسبت به نقطه A در نظر بگیرید. اجازه دهید سرعت نسبی نقطه B را نسبت به A معرفی کنیم.
سپس معادله (2)
را می توان در فرم بازنویسی کرد
.
یعنی سرعت نسبی بر بردار رسم شده از نقطه A به نقطه B عمود است. از آنجایی که نقطه B به طور دلخواه گرفته می شود، سرعت نسبی هر نقطه روی جسم صلب بر بردار شعاع رسم شده از نقطه A عمود است. یعنی نسبت به نقطه A، بدن دستخوش حرکت چرخشی می شود. سرعت نسبی نقاط بدن با فرمول حرکت چرخشی تعیین می شود
.
نقطه A، نسبت به آن حرکت در نظر گرفته می شود، اغلب نامیده می شود قطب.
سرعت مطلق نقطه B نسبت به یک سیستم مختصات ثابت را می توان به شکل زیر نوشت:
.
برابر است با مجموع سرعت حرکت انتقالی یک نقطه دلخواه A (قطب) و سرعت حرکت چرخشی نسبت به قطب A.
نمونه ای از راه حل مسئله
وظیفه
چرخ های 1 و 2 با شعاع R 1 = 0.15 مترو R 2 = 0.3 متربه ترتیب توسط لولاها به میله ای به طول 3 متصل می شوند | AB| = 0.5 متر. چرخ 1 با سرعت زاویه ای ω می چرخد 1 = 1 راد در ثانیه. برای موقعیت مکانیزم نشان داده شده در شکل، سرعت زاویه ای ω را تعیین کنید 2 چرخ 2. L = 0.3 متر.
راه حل مشکل
نقطه A به صورت دایره ای حرکت می کندشعاع R 1
اطراف مرکز چرخش O 1
. سرعت نقطه A با فرمول تعیین می شود
V A = ω 1 R 1.
بردار به صورت عمودی (عمود بر O) جهت داده شده است 1 A).
نقطه B به صورت دایره ای حرکت می کندشعاع R 2
اطراف مرکز چرخش O 2
. سرعت نقطه B با فرمول تعیین می شود
V B = ω 2 R 2.
از اینجا
.
بردار به صورت افقی (عمود بر O) جهت داده شده است 2 ب).
ما در حال ساختن هستیم راست گوشه ABC. ما قضیه فیثاغورث را اعمال می کنیم.
(متر)
.
کسینوس زاویه بین بردار سرعت و خط مستقیم AB در جهت بردار برابر است با
.
توسط قضیه طرح ریزی سرعتدو نقطه از یک جسم صلب روی یک خط مستقیم داریم:
V A cos α = V B cos β.
از اینجا
.
یافتن سرعت زاویه ای چرخ 2.
راد/ثانیه
حرکت یکنواخت- این حرکت با سرعت ثابت است، یعنی زمانی که سرعت تغییر نمی کند (v = const) و شتاب یا کاهش سرعت رخ نمی دهد (a = 0).
حرکت مستقیم- این حرکت در یک خط مستقیم است، یعنی مسیر حرکت مستقیم یک خط مستقیم است.
حرکت خطی یکنواخت- این حرکتی است که در آن بدن در هر بازه زمانی مساوی حرکاتی را انجام می دهد. به عنوان مثال، اگر یک بازه زمانی معین را به فواصل یک ثانیه ای تقسیم کنیم، با حرکت یکنواخت، جسم برای هر یک از این بازه های زمانی به همان اندازه حرکت می کند.
سرعت حرکت یکنواخت یکنواخت مستطیل به زمان بستگی ندارد و در هر نقطه از مسیر به همان ترتیب حرکت بدن هدایت می شود. یعنی بردار جابجایی در جهت با بردار سرعت منطبق است. در این حالت، میانگین سرعت برای هر دوره زمانی برابر است با سرعت لحظه ای: v cp = v سرعت حرکت مستقیم یکنواختیک کمیت برداری فیزیکی برابر با نسبت حرکت یک جسم در هر دوره زمانی به مقدار این بازه t است:
بنابراین، سرعت حرکت یکنواخت یکنواخت یکنواخت نشان می دهد که یک نقطه مادی در واحد زمان چقدر حرکت می کند.
در حال حرکتبا حرکت خطی یکنواخت با فرمول تعیین می شود:
مسافت طی شدهدر حرکت خطی برابر با مدول جابجایی است. اگر جهت مثبت محور OX با جهت حرکت منطبق باشد، آنگاه طرح سرعت بر روی محور OX برابر است با بزرگی سرعت و مثبت است:
V x = v، یعنی v > 0 پیش بینی جابجایی بر روی محور OX برابر است با: s = vt = x – x 0 که در آن x 0 مختصات اولیه جسم است، x مختصات نهایی جسم است. (یا مختصات بدن در هر زمان)
معادله حرکت، یعنی وابستگی مختصات جسم به زمان x = x(t) به شکل زیر است:
X = x 0 + vt اگر جهت مثبت محور OX مخالف جهت حرکت جسم باشد، در این صورت سرعت حرکت جسم بر روی محور OX منفی است، سرعت کمتر از صفر است (v x = x 0). - vt
وابستگی سرعت، مختصات و مسیر به زمان
وابستگی پیش بینی سرعت بدنه به زمان در شکل 1 نشان داده شده است. 1.11. از آنجایی که سرعت ثابت است (v = const)، نمودار سرعت یک خط مستقیم موازی با محور زمان Ot است.
برنج. 1.11. وابستگی طرح ریزی سرعت بدن به زمان برای حرکت یکنواخت مستطیل.
پیش بینی حرکت بر روی محور مختصات از نظر عددی برابر با مساحت مستطیل OABC است (شکل 1.12)، زیرا بزرگی بردار حرکت برابر است با حاصلضرب بردار سرعت و زمانی که در طی آن حرکت انجام شده است. ساخته شده است.
برنج. 1.12. وابستگی پیش بینی جابجایی بدن به زمان برای حرکت یکنواخت یکنواخت.
نمودار جابجایی در مقابل زمان در شکل نشان داده شده است. 1.13. نمودار نشان می دهد که برون ریزی سرعت برابر است با
V = s 1 / t 1 = tan α که α زاویه تمایل نمودار به محور زمان است. هرچه زاویه α بزرگتر باشد، جسم سریعتر حرکت می کند، یعنی سرعت آن بیشتر می شود (مسافتی که بدن در زمان کمتری طی می کند بیشتر می شود). مماس مماس بر نمودار مختصات در برابر زمان برابر است با سرعت: tg α = v
برنج. 1.13. وابستگی پیش بینی جابجایی بدن به زمان برای حرکت یکنواخت یکنواخت.
وابستگی مختصات به زمان در شکل 1 نشان داده شده است. 1.14. از شکل مشخص است که
Tg α 1 > tan α 2 بنابراین، سرعت جسم 1 از سرعت جسم 2 بیشتر است (v 1 > v 2). tg α 3 = v 3 اگر جسم در حالت سکون باشد، نمودار مختصات یک خط مستقیم موازی با محور زمان است، یعنی x = x 0
برنج. 1.14. وابستگی مختصات بدن به زمان برای حرکت یکنواخت مستقیم.
سرعت یکی از ویژگی های اصلی است. این ماهیت جنبش را بیان می کند، یعنی. تفاوتی که بین جسم ساکن و جسم متحرک وجود دارد را مشخص می کند.
واحد سرعت SI است ام‌اس.
مهم است که به یاد داشته باشید که سرعت یک کمیت برداری است. جهت بردار سرعت با حرکت تعیین می شود. بردار سرعت همیشه به صورت مماس بر مسیر حرکت در نقطه ای که جسم متحرک از آن عبور می کند هدایت می شود (شکل 1).
به عنوان مثال، چرخ یک ماشین در حال حرکت را در نظر بگیرید. چرخ می چرخد و تمام نقاط چرخ به صورت دایره ای حرکت می کنند. پاشش هایی که از چرخ پرواز می کنند در امتداد مماس ها به این دایره ها پرواز می کنند و جهت بردارهای سرعت نقاط منفرد چرخ را نشان می دهند.
بنابراین، سرعت جهت حرکت یک جسم (جهت بردار سرعت) و سرعت حرکت آن (مدول بردار سرعت) را مشخص می کند.
سرعت منفی
آیا سرعت بدن می تواند منفی باشد؟ بله شاید. اگر سرعت یک جسم منفی باشد، به این معنی است که جسم در جهت مخالف جهت محور مختصات در سیستم مرجع انتخاب شده حرکت می کند. شکل 2 حرکت اتوبوس و ماشین را نشان می دهد. سرعت ماشین منفی و سرعت اتوبوس مثبت است. لازم به یادآوری است که وقتی در مورد علامت سرعت صحبت می کنیم، منظور ما پیش بینی بردار سرعت بر روی محور مختصات است.
حرکت یکنواخت و ناهموار
به طور کلی سرعت به زمان بستگی دارد. با توجه به ماهیت وابستگی سرعت به زمان، حرکت می تواند یکنواخت یا ناهموار باشد.
تعریف
حرکت یکنواخت– این حرکت با سرعت مدول ثابت است.
در صورت حرکت ناهموار از موارد زیر صحبت می کنیم:
نمونه هایی از حل مسائل در موضوع "سرعت"
مثال 1
| ورزش | این خودرو نیمه اول مسیر بین دو شهرک را با سرعت 90 کیلومتر بر ساعت و نیمه دوم را با سرعت 54 کیلومتر بر ساعت طی کرد. میانگین سرعت ماشین را تعیین کنید. |
| راه حل | محاسبه میانگین سرعت یک خودرو به عنوان میانگین حسابی دو سرعت مشخص شده نادرست است. بیایید از تعریف سرعت متوسط استفاده کنیم: از آنجایی که حرکت یکنواخت مستطیلی فرض می شود، علائم بردارها را می توان حذف کرد. زمان صرف شده توسط ماشین برای طی کردن کل مسافت: زمان صرف شده برای تکمیل نیمه اول مسیر کجاست و زمان صرف شده برای تکمیل نیمه دوم مسیر است.
کل حرکت برابر است با فاصله بین مناطق پرجمعیت، یعنی. . با جایگزینی این نسبت ها در فرمول سرعت متوسط، به دست می آوریم: بیایید سرعت ها را در بخش های جداگانه به سیستم SI تبدیل کنیم: سپس میانگین سرعت ماشین برابر است با:
|
| پاسخ | میانگین سرعت خودرو 18.8 متر بر ثانیه است |
(ام‌اس)مثال 2
| ورزش | یک ماشین 10 ثانیه با سرعت 10 متر بر ثانیه حرکت می کند و سپس 2 دقیقه دیگر با سرعت 25 متر بر ثانیه رانندگی می کند. میانگین سرعت ماشین را تعیین کنید. |
| راه حل | بیایید یک نقاشی بکشیم. |
3.1. حرکت یکنواخت در یک خط مستقیم.
3.1.1. حرکت یکنواخت در یک خط مستقیم- حرکت در یک خط مستقیم با شتاب ثابت در قدر و جهت:
3.1.2. شتاب()- یک کمیت برداری فیزیکی که نشان می دهد سرعت در 1 ثانیه چقدر تغییر می کند.
به صورت برداری:
جایی که سرعت اولیه بدن است، سرعت بدن در لحظه زمان است تی.
در طرح ریزی بر روی محور گاو نر:
حرکت سرعت اولیه بر روی محور کجاست گاو نر، - پیش بینی سرعت بدن بر روی محور گاو نردر یک نقطه از زمان تی.
علائم پیش بینی ها به جهت بردارها و محور بستگی دارد گاو نر.
3.1.3. نمودار پروجکشن شتاب در مقابل زمان.
با حرکت متناوب یکنواخت، شتاب ثابت است، بنابراین به صورت خطوط مستقیم موازی با محور زمان ظاهر می شود (شکل را ببینید):
3.1.4. سرعت در حین حرکت یکنواخت
به صورت برداری:
در طرح ریزی بر روی محور گاو نر:
برای حرکت با شتاب یکنواخت:
برای حرکت آهسته یکنواخت:
3.1.5. نمودار پروجکشن سرعت در مقابل زمان.
نمودار نمایش سرعت در مقابل زمان یک خط مستقیم است.
جهت حرکت: اگر نمودار (یا بخشی از آن) بالای محور زمان باشد، بدن در جهت مثبت محور حرکت می کند. گاو نر.
مقدار شتاب: هرچه مماس زاویه شیب بیشتر باشد (هرچه تندتر بالا یا پایین شود)، ماژول شتاب بیشتر است. تغییر سرعت در طول زمان کجاست
تقاطع با محور زمان: اگر نمودار محور زمان را قطع کند، قبل از نقطه تقاطع، جسم کاهش می یابد (حرکت آهسته یکنواخت)، و پس از نقطه تقاطع شروع به شتاب در جهت مخالف (حرکت شتاب یکنواخت) می کند.
3.1.6. معنی هندسی ناحیه زیر نمودار در محورها
ناحیه زیر نمودار وقتی روی محور هستید اوهسرعت تاخیر دارد و روی محور گاو نر- زمان مسیری است که بدن طی می کند.
در شکل 3.5 مورد حرکت شتاب یکنواخت را نشان می دهد. مسیر در این حالت برابر با مساحت ذوزنقه خواهد بود: (3.9)
3.1.7. فرمول های محاسبه مسیر
| حرکت با شتاب یکنواخت | حرکت آهسته برابر |
|---|---|
| (3.10) | (3.12) |
| (3.11) | (3.13) |
| (3.14) | |
تمام فرمول های ارائه شده در جدول فقط زمانی کار می کنند که جهت حرکت حفظ شود، یعنی تا زمانی که خط مستقیم با محور زمان در نمودار طرح سرعت در مقابل زمان قطع شود.
اگر تقاطع اتفاق افتاده باشد، تقسیم حرکت به دو مرحله آسان تر است:
قبل از عبور (ترمز):
بعد از تقاطع (شتاب، حرکت در جهت مخالف)
در فرمول های بالا - زمان از شروع حرکت تا تقاطع با محور زمان (زمان قبل از توقف)، - مسیری که بدن از ابتدای حرکت تا تقاطع با محور زمان طی کرده است، - زمان سپری شده از لحظه عبور از محور زمان تا این لحظه تی، - مسیری که بدن در مدت زمان سپری شده از لحظه عبور از محور زمانی تا این لحظه در جهت مخالف طی کرده است. تی، - ماژول بردار جابجایی برای کل زمان حرکت، L- مسیری که بدن طی تمام حرکت طی کرده است.
3.1.8. حرکت در ثانیه.
در این مدت بدن مسافت زیر را طی خواهد کرد:
در این مدت بدن مسافت زیر را طی خواهد کرد:
سپس بدن در طول بازه زمانی زیر مسافت زیر را طی خواهد کرد:
هر دوره زمانی را می توان به عنوان یک فاصله در نظر گرفت. اغلب با.
سپس بدن در 1 ثانیه مسافت زیر را طی می کند:
در 2 ثانیه:
در 3 ثانیه:
اگر با دقت نگاه کنیم می بینیم که و غیره.
بنابراین، به فرمول می رسیم:
به عبارتی: مسیرهایی که یک جسم طی دوره های زمانی متوالی طی می کند به صورت یک سری اعداد فرد به یکدیگر مرتبط هستند و این به شتاب حرکت بدن بستگی ندارد. تاکید می کنیم که این رابطه برای
3.1.9. معادله مختصات بدن برای حرکت یکنواخت
معادله مختصات
علائم پیش بینی های سرعت و شتاب اولیه به موقعیت نسبی بردارهای مربوطه و محور بستگی دارد. گاو نر.
برای حل مسائل، لازم است معادله تغییر طرح سرعت بر روی محور را به معادله اضافه کنیم:
3.2. نمودارهای کمیت های سینماتیکی برای حرکت مستقیم
3.3. بدن سقوط آزاد
منظور ما از سقوط آزاد مدل فیزیکی زیر است:
1) سقوط تحت تأثیر گرانش رخ می دهد:
2) مقاومت هوا وجود ندارد (در مشکلات گاهی اوقات "غفلت از مقاومت هوا" را می نویسند).
3) همه اجسام، صرف نظر از جرم، با شتاب یکسان سقوط می کنند (گاهی اوقات "بدون توجه به شکل بدن" اضافه می کنند، اما ما فقط حرکت یک نقطه مادی را در نظر می گیریم، بنابراین شکل بدن دیگر گرفته نمی شود. به حساب آوردن)؛
4) شتاب گرانش به شدت به سمت پایین هدایت می شود و در سطح زمین برابر است (در مسائلی که ما اغلب برای راحتی محاسبات فرض می کنیم).
3.3.1. معادلات حرکت در طرح ریزی بر روی محور اوه
بر خلاف حرکت در امتداد یک خط مستقیم افقی، زمانی که همه کارها شامل تغییر جهت حرکت نیستند، در سقوط آزاد بهتر است بلافاصله از معادلات نوشته شده در برجستگی بر روی محور استفاده کنید. اوه.
معادله مختصات بدن:
معادله پیش بینی سرعت:
به عنوان یک قاعده، در مشکلات، انتخاب محور راحت است اوهبه روش زیر:
محور اوهجهت عمودی به سمت بالا؛
مبدأ با سطح زمین یا پایین ترین نقطه مسیر منطبق است.
با این انتخاب، معادلات و به شکل زیر بازنویسی می شود:
3.4. حرکت در هواپیما اکسی.
حرکت جسمی با شتاب را در امتداد یک خط مستقیم در نظر گرفتیم. با این حال، حرکت متغیر یکنواخت به این محدود نمی شود. به عنوان مثال، جسمی که با زاویه ای نسبت به افقی پرتاب می شود. در چنین مشکلاتی، لازم است حرکت در دو محور به طور همزمان در نظر گرفته شود:
یا به صورت برداری:
و تغییر طرح سرعت در هر دو محور:
3.5. کاربرد مفهوم مشتق و انتگرال
ما در اینجا تعریف دقیقی از مشتق و انتگرال ارائه نمی کنیم. برای حل مسائل فقط به مجموعه کوچکی از فرمول ها نیاز داریم.
مشتق:
جایی که آ, بو آن مقادیر ثابت است.
انتگرال:
حال بیایید ببینیم که چگونه مفاهیم مشتق و انتگرال در کمیت های فیزیکی اعمال می شود. در ریاضیات، مشتق را با """، در فیزیک، مشتق را با توجه به زمان با "∙" بالای تابع نشان می دهند.
سرعت:
یعنی سرعت مشتق بردار شعاع است.
برای پیش بینی سرعت:
شتاب:
یعنی شتاب مشتق سرعت است.
برای پیش بینی شتاب:
بنابراین، اگر قانون حرکت شناخته شود، به راحتی می توانیم سرعت و شتاب بدن را پیدا کنیم.
حالا بیایید از مفهوم انتگرال استفاده کنیم.
سرعت:
یعنی سرعت را می توان به عنوان انتگرال زمانی شتاب یافت.
بردار شعاع:
یعنی بردار شعاع را می توان با گرفتن انتگرال تابع سرعت پیدا کرد.
بنابراین، اگر تابع شناخته شده باشد، به راحتی می توانیم سرعت و قانون حرکت بدن را پیدا کنیم.
ثابت ها در فرمول ها از شرایط اولیه - مقادیر و در لحظه تعیین می شوند
3.6. مثلث سرعت و مثلث جابجایی
3.6.1. مثلث سرعت
در شکل برداری با شتاب ثابت، قانون تغییر سرعت به شکل (3.5) است:
این فرمول به این معنی است که یک بردار برابر با مجموع بردارها است و مجموع بردار همیشه می تواند در یک شکل به تصویر کشیده شود (شکل را ببینید).
در هر مسئله، بسته به شرایط، مثلث سرعت شکل خاص خود را خواهد داشت. این نمایش اجازه می دهد تا از ملاحظات هندسی در حل استفاده شود، که اغلب حل مسئله را ساده می کند.
3.6.2. مثلث حرکات
در شکل برداری، قانون حرکت با شتاب ثابت به شکل زیر است:
هنگام حل یک مسئله، می توانید سیستم مرجع را به راحت ترین شکل انتخاب کنید، بنابراین، بدون از دست دادن کلیت، می توانیم سیستم مرجع را به گونه ای انتخاب کنیم که، یعنی مبدأ سیستم مختصات را در نقطه ای قرار دهیم که بدن در لحظه اولیه قرار دارد. سپس
یعنی بردار برابر با مجموع بردارها است و اجازه دهید آن را در شکل نشان دهیم (شکل را ببینید).
مانند حالت قبل، بسته به شرایط، مثلث جابجایی شکل خاص خود را خواهد داشت. این نمایش اجازه می دهد تا از ملاحظات هندسی در حل استفاده شود، که اغلب حل مسئله را ساده می کند.
1.2. حرکت مستقیم
1.2.3. محاسبه گرافیکی کمیت های سینماتیکی
برخی از ویژگی های حرکتی حرکت را می توان به صورت گرافیکی محاسبه کرد.
تعریف سرعت پیش بینی شده
با استفاده از نمودارهای وابستگی مختصات به زمان x (t) (یا مسافت طی شده در زمان S (t))، می توانید مقدار مربوطه را محاسبه کنید. پیش بینی سرعت v x در یک نقطه خاص از زمان (شکل 1.11)، به عنوان مثال t = t 1.
برای انجام این کار باید:
1) مقدار مشخص شده لحظه زمان t 1 را روی محور زمان علامت گذاری کنید.
2) عمود بر تقاطع با نمودار x (t) را بازیابی کنید.
5) پیش بینی سرعت را بر روی محور Ox به عنوان مماس زاویه مماس بر جهت مثبت محور زمان تعیین کنید:
v x (t 1) = tan α 1 .
لازم به ذکر است که طرح سرعت v x است
- اگر مماس بر نمودار یک زاویه حاد با جهت محور t تشکیل دهد مثبت است (شکل 1.11 را ببینید).
- اگر مماس بر نمودار یک زاویه منفرد با جهت محور t تشکیل دهد منفی است (شکل 1.12).
در شکل شکل 1.12 نموداری از مختصات در مقابل زمان x (t) را نشان می دهد. برای تعیین پیش بینی سرعت بر روی محور Ox در زمان t 3، یک عمود t = t 3 رسم می شود. در نقطه تلاقی عمود بر وابستگی x (t) یک خط مماس رسم می شود. با محور t یک زاویه منفرد تشکیل می دهد. بنابراین، پیش بینی سرعت v x بر روی محور Ox در زمان مشخص شده یک مقدار منفی است:
v x (t 3) = − | tan α 3 | .
برنج. 1.12
تعریف پروجکشن شتاب
با استفاده از نمودار پیش بینی سرعت در مقابل زمان v x (t)، می توانید پیش بینی شتاب a x را در محور مربوطه در یک نقطه زمانی خاص محاسبه کنید (شکل 1.13)، به عنوان مثال t = t 2.
برای انجام این کار باید:
1) مقدار مشخص شده لحظه زمان t 2 را روی محور زمان علامت گذاری کنید.
2) عمود بر تقاطع با نمودار v x (t) را بازیابی کنید.
3) یک خط مماس بر روی نمودار در نقطه تقاطع آن با عمود رسم کنید.
5) پیش بینی شتاب را بر روی محور Ox به عنوان مماس زاویه مماس بر جهت مثبت محور زمان تعیین کنید:
a x (t 2) = tan α 2 .
لازم به ذکر است که طرح شتاب a x است
- اگر مماس بر نمودار یک زاویه حاد با جهت محور t تشکیل دهد مثبت است (شکل 1.13 را ببینید).
برنج. 1.13
- اگر مماس بر نمودار یک زاویه منفرد با جهت محور t تشکیل دهد منفی است (شکل 1.14).
برنج. 1.14
توضیح کاربرد الگوریتمدر شکل شکل 1.14 نموداری از پیش بینی سرعت در مقابل زمان v x (t) را نشان می دهد. برای تعیین پیش بینی شتاب بر روی محور Ox در زمان t 4، یک عمود t = t 4 رسم می شود. در نقطه تلاقی عمود بر وابستگی v x (t) یک خط مماس رسم می شود. با محور t یک زاویه منفرد تشکیل می دهد. بنابراین، طرح شتاب a x بر روی محور Ox در زمان مشخص شده یک مقدار منفی است:
a x (t 4) = - | tg α 4 | .
تعیین مسافت طی شده و مدول جابجایی (ترکیب حرکت یکنواخت و یکنواخت با شتاب)
با استفاده از نمودار پیش بینی سرعت به عنوان تابعی از زمان v x (t)، می توانید مسافت طی شده را محاسبه کنید و ماژول سفرنقطه مادی (جسم) برای مدت زمان معین ∆t = t 2 − t 1 .
برای محاسبه ویژگی های مشخص شده با استفاده از یک نمودار فقط شامل بخش ها یکنواخت شتاب گرفتو حرکت یکنواخت، به شرح زیر است:
4) مسافت طی شده S و مدول جابجایی ∆r را به صورت مجموع محاسبه کنید:
∆r = S 1 + S 2 + ... + S n،
که در آن S 1، S 2، ...، S n مسیرهایی هستند که نقطه مادی در هر یک از بخش های حرکت یکنواخت شتابدار و یکنواخت طی می کند.
در شکل شکل 1.15 وابستگی پیش بینی سرعت را به زمان برای یک نقطه مادی (جسم) نشان می دهد که به طور یکنواخت با شتاب در مقطع AB، به طور یکنواخت در مقطع BC، به طور یکنواخت در بخش CD شتاب گرفته، اما با شتابی متفاوت از شتاب در بخش AB حرکت می کند.
برنج. 1.15
در این حالت، مسافت طی شده S و ماژول جابجایی ∆r بر هم منطبق هستند و با استفاده از فرمول‌های زیر محاسبه می‌شوند:
S = S 1 + S 2 + S 3،
∆r = S 1 + S 2 + S 3،
که در آن S 1 مسیر طی شده توسط یک نقطه مادی (جسم) در بخش AB است. S 2 - مسیر طی شده در بخش قبل از میلاد. S 3 - مسیر طی شده در بخش CD. S 1 , S 2 , S 3 طبق الگوریتم داده شده در بالا محاسبه می شوند.
تعیین مسافت طی شده و مدول جابجایی (ترکیب حرکت یکنواخت، شتاب یکنواخت و یکنواخت کاهش سرعت)
برای محاسبه ویژگی های نشان داده شده با استفاده از نمودار v x (t)، شامل بخش هایی از نه تنها شتاب یکنواخت و یکنواخت، بلکه همچنین به همان اندازه کندحرکت، شما باید:
1) بازه زمانی مشخص Δt را در محور زمانی مشخص کنید.
2) عمودها را از نقاط t = t 1 و t = t 2 بازیابی کنید تا زمانی که با نمودار v x (t) تلاقی کنند.
4) مسافت طی شده S را به صورت مجموع محاسبه کنید:
S = S 1 + S 2 + ... + S n،
که در آن S 1، S 2، ...، S n مسیرهایی هستند که نقطه مادی در هر یک از بخش ها طی می کند.
5) محاسبه کنید ماژول سفربه عنوان تفاوت بین کل مسیر طی شده توسط نقطه مادی تا نقطه توقف و مسیر طی شده توسط نقطه مادی پس از توقف.
توضیح کاربرد الگوریتم. در شکل شکل 1.16 وابستگی سرعت به زمان را برای یک نقطه مادی (جسم) نشان می دهد که به طور یکنواخت با شتاب در بخش AB، یکنواخت در بخش BC، به طور یکنواخت در مقطع CF به کندی حرکت می کند.
برنج. 1.16
در مواردی که یک بخش حرکت آهسته یکنواخت وجود دارد (شامل یک نقطه توقف - نقطه D)، مسافت طی شده S و ماژول جابجایی Δr بر هم منطبق نیستند. مسافت طی شده با استفاده از فرمول محاسبه می شود
S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4،
که در آن S 1 مسیر طی شده توسط یک نقطه مادی (جسم) در بخش AB است. S 2 - مسیر طی شده در بخش قبل از میلاد. S 3 - مسیر طی شده در بخش CD. S 4 - مسیر طی شده در بخش DF. S 1 , S 2 , S 3 , S 4 طبق الگوریتم داده شده در بالا محاسبه می شوند. لازم به ذکر است که مقدار S 4 مثبت است.
ماژول جابجایی با استفاده از فرمول محاسبه می شود
∆r = S 1 + S 2 + S 3 - S 4،
کم کردن مسیر طی شده توسط نقطه مادی (جسم) پس از چرخش.
تعیین مدول تغییر سرعت
از نمودار طرح شتاب در برابر زمان x (t) می توان پیدا کرد ماژول تغییر سرعتΔv نقطه مادی (جسم) برای بازه زمانی معین ∆t = t 2 - t 1 (شکل 1.17).
برای انجام این کار باید:
1) بازه زمانی مشخص Δt را در محور زمانی مشخص کنید.
2) عمودها را از نقاط t = t 1 و t = t 2 بازیابی کنید تا زمانی که با نمودار a x (t) تلاقی کنند.
4) مدول تغییر سرعت را برای بازه زمانی مشخص شده به عنوان یک مساحت محاسبه کنید.
مثال 4. نمودار طرح ریزی سرعت جسم اول بر روی محور Ox نسبت به زمان با یک خط مستقیم که از نقاط (0؛ 6) و (3؛ 0) می گذرد، تصویر دوم - از طریق نقاط ( 0؛ 0) و (8؛ 4)، که در آن سرعت بر حسب متر بر ثانیه، زمان - بر حسب ثانیه داده می شود. ماژول های شتاب بدنه اول و دوم چند بار با هم تفاوت دارند؟
راه حل. نمودارهای پیش بینی سرعت در مقابل زمان برای هر دو جسم در شکل نشان داده شده است.
برآمدگی شتاب جسم اول به عنوان مماس زاویه کج α 1 تعریف می شود. ماژول آن با فرمول محاسبه می شود
| a x 1 | = | tan α 1 | = | tg (180 - α3) | = 6 3 = 2 متر بر ثانیه 2.
بدن اول به همان اندازه آهسته حرکت می کند. بزرگی شتاب آن 1 = = 2 m/s 2 است.
برآمدگی شتاب جسم دوم به عنوان مماس زاویه تند α 2 تعریف می شود. ماژول آن با فرمول محاسبه می شود
a x 2 = tan α 2 = 4 8 = 0.5 m/s 2.
بدن دوم با شتاب یکنواخت حرکت می کند. بزرگی شتاب آن 2 = 0.5 m/s 2 است.
نسبت مورد نیاز مدول های شتاب بدنه اول و دوم برابر است با:
a 1 a 2 = 2 0.5 = 4 .
شتاب جسم اول 4 برابر بیشتر از شتاب بدن دوم است.
مثال 5. نمودار مختصات y در مقابل زمان برای جسم اول به صورت یک خط مستقیم که از نقاط (0؛ 0) و (5؛ 3) می گذرد، تصویر دوم - از نقاط (3؛ 0) و (6؛ 6)، که در آن مختصات بر حسب متر، زمان - بر حسب ثانیه داده می شود. نسبت ماژول های پیش بینی سرعت اجسام مشخص شده را تعیین کنید.
راه حل. نمودارهای مختصات y در مقابل زمان برای هر دو جسم در شکل نشان داده شده است.
طرح ریزی سرعت جسم اول به عنوان مماس زاویه α 1 تعریف می شود. ماژول آن با فرمول محاسبه می شود
v y 1 = tan α 1 = 3 5 = 0.6 m/s.
طرح ریزی سرعت جسم دوم به عنوان مماس زاویه α 2 تعریف می شود. ماژول آن با فرمول محاسبه می شود
v y 2 = tan α 2 = 6 3 = 2 m/s.
هر دو پیش بینی سرعت یک علامت مثبت دارند. بنابراین، هر دو جسم با شتاب یکنواخت حرکت می کنند.
نسبت ماژول های پیش بینی سرعت اجسام مشخص شده است:
| v y 2 | | v y 1 | = 2 0.6 ≈ 3.
بزرگی برآمدگی سرعت جسم دوم تقریباً 3 برابر بزرگتر از قدر برآمدگی سرعت جسم دوم است.
مثال 6. نمودار وابستگی سرعت یک جسم به زمان به صورت یک خط مستقیم که از نقاط (0؛ 4.0) و (2.5؛ 0) می گذرد، نشان داده می شود، جایی که سرعت بر حسب متر در ثانیه، زمان - داده می شود. در چند ثانیه مسافت طی شده توسط بدن چند برابر بیشتر از مدول جابجایی در 6.0 ثانیه حرکت است؟
راه حل. نمودار سرعت بدن در مقابل زمان در شکل نشان داده شده است. نقطه توقف τ rest = 2.5 s در بازه 0 s تا 6.0 s قرار می گیرد.
بنابراین مسافت طی شده حاصل جمع است
S = S 1 + S 2،
و ماژول جابجایی تفاوت است
| Δ r → | = | S 1 − S 2 | ،
که در آن S 1 مسیر طی شده توسط بدن در بازه زمانی 0 ثانیه تا 2.5 ثانیه است. S 2 مسیری است که بدن در یک بازه زمانی از 2.5 ثانیه تا 6.0 ثانیه طی می کند.
ما مقادیر S 1 و S 2 را به صورت گرافیکی به عنوان مساحت مثلث های نشان داده شده در شکل محاسبه می کنیم:
S 1 = 1 2 ⋅ 4.0 ⋅ 2.5 = 5.0 m;
S 2 = 1 2 ⋅ (6.0 − 2.5) ⋅ 5.6 = 9.8 متر.
توجه: مقدار سرعت v = 5.6 m/s در زمان t = 6.0 s از شباهت مثلث ها به دست می آید. از نگرش
v 4.0 = 6.0 - 2.5 2.5 - 0.
بیایید مسافت طی شده را محاسبه کنیم:
S = S 1 + S 2 = 5.0 + 9.8 = 14.8 متر
و میزان حرکت:
| Δ r → | = | S 1 − S 2 | = | 5.0 − 9.8 | = 4.8 متر
اجازه دهید نسبت مورد نیاز مسافت طی شده و ماژول جابجایی را پیدا کنیم:
S | Δ r → | = 14.8 4.8 ≈ 3.1.
مسافت طی شده تقریباً 3.1 برابر جابجایی است.
