Na satu geometrije u srednjoj školi svi su nam govorili o trokutima. No, u sklopu školskog programa dobivamo samo najnužnija znanja i učimo najčešće i standardne metode izračuna. Postoje li neobični načini da se pronađe ova količina?
Kao uvod, prisjetimo se koji se trokut smatra pravokutnim, a također označavamo pojam površine.
Pravokutni trokut je zatvorena geometrijska figura čiji je jedan kut jednak 90 0. Integralni pojmovi u definiciji su noge i hipotenuza. Noge označavaju dvije strane koje na mjestu spajanja čine pravi kut. Hipotenuza je stranica nasuprot pravog kuta. Pravokutni trokut može biti jednakokračan (njegove dvije stranice bit će iste veličine), ali nikada neće biti jednakostraničan (sve će stranice biti iste duljine). Nećemo detaljno raspravljati o definicijama visine, medijana, vektora i drugih matematičkih pojmova. Lako ih je pronaći u referentnim knjigama.
Površina pravokutnog trokuta. Za razliku od pravokutnika, pravilo o
ne primjenjuje se rad stranaka u utvrđivanju. Ako govorimo suhoparno, tada se područje trokuta shvaća kao svojstvo ove figure da zauzima dio ravnine, izraženo brojem. Prilično teško za razumjeti, složit ćete se. Nemojmo ulaziti duboko u definiciju; to nije naš cilj. Prijeđimo na glavnu stvar - kako pronaći područje pravokutnog trokuta? Nećemo izvoditi same izračune, samo ćemo naznačiti formule. Da bismo to učinili, definirajmo oznaku: A, B, C - strane trokuta, noge - AB, BC. Kut ACB je ravan. S je površina trokuta, h n n je visina trokuta, gdje je nn strana na koju je spušten.
Metoda 1. Kako pronaći područje pravokutnog trokuta ako je poznata veličina njegovih nogu
Metoda 2. Pronađite površinu jednakokračnog pravokutnog trokuta
Metoda 3. Izračunavanje površine pomoću pravokutnika
Dopunjavamo pravokutni trokut do kvadrata (ako je trokut
jednakokračan) ili pravokutnik. Dobili smo jednostavan četverokut sastavljen od 2 identična pravokutna trokuta. U ovom slučaju, površina jednog od njih bit će jednaka polovici površine dobivene figure. S pravokutnika izračunava se umnoškom stranica. Označimo ovu vrijednost M. Željena vrijednost površine bit će jednaka polovici M.
Metoda 4. "Pitagorejske hlače." Poznati Pitagorin teorem
Svi se sjećamo njegove formulacije: “zbroj kvadrata kateta...”. Ali ne mogu svi
recimo, kakve veze imaju neke "hlače"? Činjenica je da je Pitagora u početku proučavao odnos između stranica pravokutnog trokuta. Nakon što je identificirao uzorke u omjeru stranica kvadrata, uspio je izvesti formulu svima nama poznatu. Može se koristiti u slučajevima kada je veličina jedne od strana nepoznata.
Metoda 5. Kako pronaći područje pravokutnog trokuta pomoću Heronove formule
Ovo je također prilično jednostavna metoda izračuna. Formula uključuje izražavanje površine trokuta kroz brojčane vrijednosti njegovih stranica. Za izračune morate znati veličine svih strana trokuta.
S = (p-AC)*(p-BC), gdje je p = (AB+BC+AC)*0,5
Osim gore navedenog, postoji mnogo drugih načina za pronalaženje veličine tako tajanstvene figure kao što je trokut. Među njima: proračun metodom upisane ili opisane kružnice, proračun korištenjem koordinata vrhova, korištenje vektora, apsolutne vrijednosti, sinusa, tangenti.
Ovisno o vrsti trokuta, postoji nekoliko mogućnosti za pronalaženje njegovog područja. Na primjer, za izračun površine pravokutnog trokuta upotrijebite formulu S= a * b / 2, gdje su a i b njegove noge. Ako želite saznati područje jednakokračnog trokuta, tada trebate podijeliti proizvod njegove baze i visine s dva. Odnosno, S= b*h / 2, gdje je b osnovica trokuta, a h njegova visina.
Zatim ćete možda morati izračunati površinu jednakokračnog pravokutnog trokuta. Ovdje u pomoć dolazi sljedeća formula: S = a* a / 2, gdje noge "a" i "a" moraju nužno imati iste vrijednosti.
Također, često moramo izračunati površinu jednakostraničnog trokuta. Nalazi se po formuli: S= a * h/ 2, gdje je a stranica trokuta, a h njegova visina. Ili prema ovoj formuli: S= √3/ 4 *a^2, gdje je a stranica.
Kako pronaći područje pravokutnog trokuta
Trebate li pronaći površinu pravokutnog trokuta, ali izjava problema ne ukazuje na dimenzije dviju njegovih nogu odjednom? Tada ovu formulu (S= a * b / 2) ne možemo koristiti izravno.
Razmotrimo nekoliko mogućih rješenja:
- Ako ne znate duljinu jedne katete, ali su date dimenzije hipotenuze i druge katete, onda se okrećemo velikom Pitagori i, koristeći njegov teorem (a^2+b^2=c^2), izračunavamo duljinu nepoznate noge, a zatim je koristimo za izračunavanje površine trokuta.
- Ako je zadana duljina jednog kraka i stupanj nagiba kuta nasuprot njemu: duljinu drugog kraka nalazimo pomoću formule - a=b*ctg(C).
- Zadano: duljina jednog kraka i stupanj nagiba kuta uz njega: da bismo pronašli duljinu drugog kraka, koristimo se formulom - a=b*tg(C).
- I na kraju, s obzirom na: kut i duljinu hipotenuze: izračunavamo duljinu obje njezine katete pomoću sljedećih formula - b=c*sin(C) i a=c*cos(C).
Kako pronaći površinu jednakokračnog trokuta
Područje jednakokračnog trokuta može se vrlo lako i brzo pronaći pomoću formule S= b*h / 2, ali ako jedan od pokazatelja nedostaje, zadatak postaje mnogo kompliciraniji. Uostalom, potrebno je izvršiti dodatne radnje.
Moguće opcije zadataka:
- Zadano je: duljina jedne od stranica i duljina baze. Pomoću Pitagorinog poučka nalazimo visinu, odnosno duljinu drugog kraka. Pod uvjetom da je duljina baze podijeljena s dva kateta, a početno poznata strana je hipotenuza.
- Zadani su: osnovica i kut između stranice i osnovice. Visinu izračunavamo pomoću formule h=c*ctg(B)/2 (ne zaboravite stranicu “c” podijeliti s dva).
- Zadano: visina i kut koji su formirali baza i stranica: koristimo se formulom c=h*tg(B)*2 da pronađemo visinu i rezultat množimo s dva. Zatim izračunavamo površinu.
- Poznato: duljina stranice i kut koji se formira između nje i visine. Rješenje: pomoću formula - c=a*sin(C)*2 i h=a*cos(C) nalazimo osnovicu i visinu, nakon čega izračunavamo površinu.
Kako pronaći površinu jednakokračnog pravokutnog trokuta
Ako su svi podaci poznati, tada pomoću standardne formule S= a* a / 2 izračunavamo površinu jednakokračnog pravokutnog trokuta, ali ako neki pokazatelji nisu navedeni u problemu, tada se provode dodatne radnje.
Na primjer: ne znamo duljine obiju stranica (sjećamo se da su u jednakokračnom pravokutnom trokutu jednake), ali duljina hipotenuze je dana. Primijenimo Pitagorin teorem da pronađemo iste strane "a" i "a". Pitagorina formula: a^2+b^2=c^2. U slučaju jednakokračnog pravokutnog trokuta, pretvara se u ovo: 2a^2 = c^2. Ispada da za pronalaženje noge "a" trebate podijeliti duljinu hipotenuze s korijenom iz 2. Rezultat rješenja bit će duljina obje noge jednakokračnog pravokutnog trokuta. Zatim pronalazimo područje.
Kako pronaći površinu jednakostraničnog trokuta
Pomoću formule S= √3/ 4*a^2 možete jednostavno izračunati površinu jednakostraničnog trokuta. Ako je poznat polumjer kruga opisanog trokutu, tada se površina može pronaći pomoću formule: S= 3√3/ 4*R^2, gdje je R polumjer kruga.
Pravokutni trokut je trokut u kojem je jedan od kutova 90°. Njegovo područje se može pronaći ako su poznate dvije strane. Možete, naravno, ići dugim putem - pronaći hipotenuzu i izračunati površinu pomoću , ali u većini slučajeva to će oduzeti samo dodatno vrijeme. Zato formula za površinu pravokutnog trokuta izgleda ovako:
Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovici produkta kateta.
Primjer izračuna površine pravokutnog trokuta.
Zadan je pravokutni trokut s katetama a= 8 cm, b= 6 cm.
Izračunavamo površinu: 
Površina je: 24 cm 2
Pitagorin poučak vrijedi i za pravokutni trokut. – zbroj kvadrata dviju kateta jednak je kvadratu hipotenuze.
Formula za površinu jednakokračnog pravokutnog trokuta izračunava se na isti način kao i za obični pravokutni trokut.
Primjer izračuna površine jednakokračnog pravokutnog trokuta:
Zadan je trokut s katetama a= 4 cm, b= 4 cm. Izračunajte površinu:
Izračunajte površinu: = 8 cm 2
Formula za površinu pravokutnog trokuta pomoću hipotenuze može se koristiti ako je uvjetu dana jedna noga. Iz Pitagorinog poučka nalazimo duljinu nepoznatog kraka. Na primjer, dana hipotenuza c i nogu a, noga b bit će jednako:
Zatim izračunajte površinu koristeći uobičajenu formulu. Primjer izračuna formule za površinu pravokutnog trokuta na temelju hipotenuze identičan je gore opisanom.
Razmotrimo zanimljiv problem koji će pomoći u konsolidaciji znanja o formulama za rješavanje trokuta.
Zadatak: Površina pravokutnog trokuta je 180 kvadratnih metara. vidi, nađi manji krak trokuta ako je 31 cm manji od drugog.
Riješenje: označimo noge a I b. Sada zamijenimo podatke u formulu površine: također znamo da je jedna noga manja od druge a – b= 31 cm
Iz prvog uvjeta dobivamo da
Zamjenjujemo ovaj uvjet u drugu jednadžbu: 
Pošto smo pronašli stranice, uklanjamo znak minus.
Ispada da je noga a= 40 cm, a b= 9 cm.
Kao što se možda sjećate iz školskog kurikuluma geometrije, trokut je figura sastavljena od tri segmenta povezana s tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji. Trokut tvori tri kuta, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trokut se može nazvati i poligonom s tri kuta, odgovor će također biti točan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini kutova na slikama. Dakle, trokuti se razlikuju kao jednakokračni, jednakostranični i razmjerni, kao i pravokutni, šiljasti i tupi.
Postoji mnogo formula za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako ćete pronaći površinu trokuta, tj. Koju ćete formulu koristiti ovisi o vama. Ali vrijedi napomenuti samo neke od oznaka koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. Dakle, zapamtite:
S je površina trokuta,
a, b, c su stranice trokuta,
h je visina trokuta,
R je polumjer opisane kružnice,
p je poluopseg.
Ovdje su osnovne oznake koje bi vam mogle biti korisne ako ste potpuno zaboravili tečaj geometrije. Ispod su najrazumljivije i najjednostavnije opcije za izračunavanje nepoznatog i tajanstvenog područja trokuta. Nije teško i bit će korisno kako za vaše kućanske potrebe tako i za pomoć vašoj djeci. Prisjetimo se kako što lakše izračunati površinu trokuta:
U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kvadratnih cm. Upamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).
Pravokutni trokut i njegova površina.
Pravokutni trokut je trokut u kojem je jedan kut jednak 90 stupnjeva (stoga se naziva pravokutni). Pravi kut čine dvije okomite crte (u slučaju trokuta dva okomita odsječka). U pravokutnom trokutu može postojati samo jedan pravi kut jer... zbroj svih kutova bilo kojeg trokuta jednak je 180 stupnjeva. Ispada da 2 druga kuta trebaju dijeliti preostalih 90 stupnjeva, na primjer 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjećate se glavne stvari, sve što ostaje je saznati kako pronaći područje pravokutnog trokuta. Zamislimo da pred sobom imamo takav pravokutni trokut i trebamo pronaći njegovu površinu S.
1. Najjednostavniji način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:
U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.
U načelu, više nema potrebe provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer Samo ovaj će biti koristan i pomoći će u svakodnevnom životu. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre kutove.
2. Za druge metode izračuna morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangensa. Prosudite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površine pravokutnog trokuta koje se još uvijek mogu koristiti:
Odlučili smo upotrijebiti prvu formulu i s manjim mrljama (crtali smo je u bilježnicu i koristili staro ravnalo i kutomjer), ali dobili smo točan izračun:
S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Dobili smo sljedeće rezultate: 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelija, možemo oprostiti ovu nijansu.
Jednakokračni trokut i njegova površina.
Ako ste suočeni sa zadatkom izračuna formule za jednakokračni trokut, tada je najlakši način koristiti glavnu i ono što se smatra klasičnom formulom za područje trokuta.
Ali prvo, prije nego što pronađemo površinu jednakokračnog trokuta, saznajmo kakva je to figura. Jednakokračni trokut je trokut u kojem dvije stranice imaju jednake duljine. Ove dvije strane nazivaju se bočne, a treća strana se zove baza. Nemojte brkati jednakokračni trokut s jednakostraničnim trokutom, tj. pravilan trokut kojemu su sve tri stranice jednake. U takvom trokutu nema posebnih tendencija prema kutovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, kutovi na osnovici u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od kuta između jednakih stranica. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu, ostaje saznati koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta poznate.
Trokut je ravna geometrijska figura čiji je jedan kut jednak 90°. Štoviše, u geometriji je često potrebno izračunati površinu takve figure. Reći ćemo vam kako to učiniti dalje.
Najjednostavnija formula za određivanje površine pravokutnog trokuta
Početni podaci, gdje su: a i b stranice trokuta koje izlaze iz pravog kuta.
To jest, površina je jednaka polovici umnoška dviju strana koje izlaze iz pravog kuta. Naravno, postoji Heronova formula koja se koristi za izračunavanje površine pravilnog trokuta, ali za određivanje vrijednosti morate znati duljinu triju stranica. U skladu s tim, morat ćete izračunati hipotenuzu, a to je dodatno vrijeme.
Pronađite površinu pravokutnog trokuta koristeći Heronovu formulu
Ovo je dobro poznata i originalna formula, ali za to ćete morati izračunati hipotenuzu na dvije noge koristeći Pitagorin teorem.
U ovoj formuli: a, b, c su stranice trokuta, a p je poluopseg.
Odredite površinu pravokutnog trokuta pomoću hipotenuze i kuta
Ako nijedna noga nije poznata u vašem problemu, tada nećete moći koristiti najjednostavniju metodu. Da biste odredili vrijednost, morate izračunati duljinu nogu. To se može učiniti jednostavno korištenjem hipotenuze i kosinusa susjednog kuta.
b=c×cos(α)
Nakon što saznate duljinu jednog od krakova, pomoću Pitagorinog poučka možete izračunati drugu stranicu koja izlazi iz pravog kuta.
b 2 =c 2 -a 2
U ovoj formuli, c i a su hipotenuza, odnosno kateta. Sada možete izračunati površinu pomoću prve formule. Na isti način možete izračunati jednu od nogu, s obzirom na drugu i kut. U tom će slučaju jedna od traženih strana biti jednaka proizvodu kraka i tangente kuta. Postoje i drugi načini za izračunavanje površine, ali znajući osnovne teoreme i pravila, lako možete pronaći željenu vrijednost.
Ako nemate nijednu stranicu trokuta, već samo središnju i jedan od kutova, tada možete izračunati duljinu stranica. Da biste to učinili, upotrijebite svojstva medijana da pravokutni trokut podijelite na dva dijela. Prema tome, može djelovati kao hipotenuza ako izlazi iz oštrog kuta. Pomoću Pitagorinog poučka odredite duljine stranica trokuta koje dolaze iz pravog kuta.
Kao što vidite, poznavajući osnovne formule i Pitagorin teorem, možete izračunati površinu pravokutnog trokuta, koji ima samo jedan od kutova i duljinu jedne od strana.
