Проекції швидкостей двох точок твердого тіла на вісь, що проходить через ці точки, дорівнюють одна одній.
v A cos α = v B cos β.
Доведення
Виберемо прямокутну нерухому систему координат Oxyz. Візьмемо дві довільні точки твердого тіла A та B . Нехай (x A, y A, z A)і (x B, y B, z B)- Координати цих точок. При русі твердого тіла є функціями від часу t . Диференціюючи за часом, отримуємо проекції швидкостей точок.
,
.
Скористаємося тим, що під час руху твердого тіла, відстань | AB|між точками залишається постійним, тобто залежить від часу t . Також постійним є квадрат відстані
.
Продиференціюємо це рівняння за часом t, застосовуючи правило диференціювання складної функції.
Скоротимо на 2
.
(1)
Введемо вектор
.
Тоді рівняння (1)
можна у вигляді скалярного твори векторів.
(2)
Виконуємо перетворення.
;
(3)
.
За якістю скалярного твору
,
.
Підставляємо в (3)
і скорочуємо на | AB|.
;
Що й потрібно було довести.
Відносна швидкість
Розглянемо рух точки B щодо точки A. Введемо відносну швидкість точки B щодо A.
Тоді рівняння (2)
можна переписати у вигляді
.
Тобто відносна швидкість перпендикулярна до вектора, проведеного з точки A в точку B. Оскільки точка B взята довільним чином, відносна швидкість будь-якої точки твердого тіла перпендикулярна радіус вектору, проведеному з точки A . Тобто щодо точки A тіло здійснює обертальний рух. Відносна швидкість точок тіла визначається за формулою для обертального руху
.
Точку A , щодо якої розглядають рух, часто називають полюсом.
Абсолютну швидкість точки B щодо нерухомої системи координат можна записати в такому вигляді:
.
Вона дорівнює сумі швидкості поступального руху довільної точки A (полюса) та швидкості обертального руху щодо полюса A .
Приклад розв'язання задачі
Умова задачі
Колеса 1 та 2 з радіусами R 1 = 0,15 мта R 2 = 0,3 мвідповідно, з'єднані шарнірами зі стрижнем 3 довжини | AB| = 0,5 м. Колесо 1 обертається з кутовою швидкістю 1 = 1 рад/с. Для зображеного на малюнку положення механізму визначити кутову швидкість ω 2 колеса 2. Прийняти L = 0,3 м.
Рішення завдання
Точка A рухається по колурадіуса R 1
навколо центру обертання O 1
. Швидкість точки A визначається за формулою
V A = ω 1 R 1.
Вектор спрямований вертикально (перпендикулярно O 1 A).
Точка B рухається по колурадіуса R 2
навколо центру обертання O 2
. Швидкість точки B визначається за формулою
V B = ω 2 R 2.
Звідси
.
Вектор спрямований горизонтально (перпендикулярно O 2 B).
Будуємо прямокутний трикутник ABC. Застосовуємо теорему Піфагора.
(м)
.
Косинус кута між вектором швидкості і прямою AB , в напрямку вектора дорівнює
.
за теоремі про проекції швидкостейдвох точок твердого тіла на пряму маємо:
V A cos α = V B cos β.
Звідси
.
Знаходимо кутову швидкість колеса..
рад/с.
Рівномірний рух– це рух із постійною швидкістю, тобто коли швидкість не змінюється (v = const) та прискорення чи уповільнення не відбувається (а = 0).
Прямолінійний рух– це рух прямої лінії, тобто траєкторія прямолінійного руху – це пряма лінія.
Рівномірний прямолінійний рух- Це рух, при якому тіло за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Наприклад, якщо ми розіб'ємо якийсь часовий інтервал на відрізки по одній секунді, то при рівномірному русі тіло переміщатиметься на однакову відстань за кожен із цих відрізків часу.
Швидкість рівномірного прямолінійного руху залежить від часу й у кожній точці траєкторії спрямовано як і переміщення тіла. Тобто вектор переміщення збігається у напрямку вектора швидкості. При цьому середня швидкість за будь-який проміжок часу дорівнює миттєвій швидкості: v cp = v Швидкість рівномірного прямолінійного руху– це фізична векторна величина, що дорівнює відношенню переміщення тіла за будь-який проміжок часу до значення цього проміжку t:
Отже, швидкість рівномірного прямолінійного руху показує, яке переміщення робить матеріальна точка за одиницю часу.
Переміщенняпри рівномірному прямолінійному русі визначається формулою:
Пройдений шляхпри прямолінійному русі дорівнює модулю переміщення. Якщо позитивний напрямок осі ОХ збігається з напрямком руху, то проекція швидкості на вісь ОХ дорівнює величині швидкості і позитивна:
V x = v, тобто v > 0 Проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює: s = vt = x - x 0 де x 0 - Початкова координата тіла, х - кінцева координата тіла (або координата тіла в будь-який момент часу)
Рівняння руху, тобто залежність координати тіла від часу х = х(t), набуває вигляду:
Х = x 0 + vt Якщо позитивний напрямок осі ОХ протилежний напрямку руху тіла, то проекція швидкості тіла на вісь ОХ негативна, швидкість менша за нуль (v х = x 0 - vt
Залежність швидкості, координат та шляхи від часу
Залежність проекції швидкості тіла іноді показано на рис. 1.11. Оскільки швидкість стала (v = const), то графіком швидкості є пряма лінія, паралельна осі часу Ot.
Мал. 1.11. Залежність проекції швидкості тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.
Проекція переміщення на координатну вісь чисельно дорівнює площі прямокутника ОАВС (рис. 1.12), оскільки величина вектора переміщення дорівнює добутку вектора швидкості на час, за який переміщення було здійснено.
Мал. 1.12. Залежність проекції переміщення тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.
Графік залежності переміщення від часу показано на рис. 1.13. З графіка видно, що проекція швидкості дорівнює
V = s 1 / t 1 = tg де α – кут нахилу графіка до осі часу. Чим більший кут α, тим швидше рухається тіло, тобто тим більша його швидкість (більший шлях тіло проходить за менший час). Тангенс кута нахилу щодо графіка залежності координати від часу дорівнює швидкості: tg α = v
Мал. 1.13. Залежність проекції переміщення тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.
Залежність координати від часу показано на рис. 1.14. З малюнка видно, що
Tg α 1 > tg α 2 отже, швидкість тіла 1 вища за швидкість тіла 2 (v 1 > v 2). tg α 3 = v 3 Якщо тіло спочиває, то графіком координати є пряма, паралельна до осі часу, тобто х = х 0
Мал. 1.14. Залежність координати тіла іноді при рівномірному прямолінійному русі.
Швидкість є однією з основних характеристик. Вона виражає саму суть руху, тобто. визначає ту відмінність, яка є між тілом нерухомим і тілом, що рухається.
Одиницею вимірювання швидкості у системі СІ є м/с.
Важливо пам'ятати, що швидкість величина векторна. Напрямок вектора швидкості визначається за рухом. Вектор швидкості завжди спрямований по дотичній до траєкторії в тій точці, через яку проходить тіло, що рухається (рис.1).
Наприклад, розглянемо колесо автомобіля, що рухається. Колесо обертається і всі точки колеса рухаються навкруги. Бризки, що розлітаються від колеса, летітимуть по відношенню до цих кіл, вказуючи напрямки векторів швидкостей окремих точок колеса.
Таким чином, швидкість характеризує напрямок руху тіла (напрямок вектора швидкості) і швидкість його переміщення (модуль вектора швидкості).
Негативна швидкість
Чи може швидкість тіла бути негативною? Да може. Якщо швидкість тіла негативна, це означає, що тіло рухається у напрямку, протилежному напрямку осі координат у вибраній системі відліку. На рис.2 зображено рух автобуса та автомобіля. Швидкість автомобіля є негативною, а швидкість автобуса позитивна. Слід пам'ятати, що, говорячи про знак швидкості, ми маємо на увазі проекцію вектора швидкості на координатну вісь.
Рівномірний та нерівномірний рух
Загалом швидкість залежить від часу. За характером залежності швидкості від часу, рух буває рівномірний і нерівномірний.
ВИЗНАЧЕННЯ
Рівномірний рух– це рух із постійною за модулем швидкістю.
У разі нерівномірного руху говорять про:
Приклади розв'язання задач на тему «Швидкість»
ПРИКЛАД 1
| Завдання | Автомобіль пройшов першу половину колії між двома населеними пунктами зі швидкістю 90 км/год, а другу половину – зі швидкістю 54 км/год. Визначте середню швидкість автомобіля. |
| Рішення | Було б неправильним обчислювати середню швидкість автомобіля як середнє арифметичне двох зазначених швидкостей. Скористаємося визначенням середньої швидкості: Оскільки передбачається прямолінійне рівномірне рух, знаки векторів можна опустити. Час, витрачений автомобілем на проходження всього відрізка колії: де - час, витрачений на проходження першої половини колії, а - час, витрачений на проходження другої половини колії.
Сумарне переміщення дорівнює відстані між населеними пунктами, тобто. . Підставивши ці співвідношення у формулу для середньої швидкості, отримаємо: Перекладемо швидкості на окремих ділянках у систему СІ: Тоді середня швидкість автомобіля:
|
| Відповідь | Середня швидкість автомобіля дорівнює 18,8 м/с |
(м/с)ПРИКЛАД 2
| Завдання | Автомобіль проїхав 10 секунд із швидкістю 10 м/с, а потім їхав ще 2 хвилини зі швидкістю 25 м/с. Визначити середню швидкість автомобіля. |
| Рішення | Зробимо малюнок. |
3.1. Рівноперемінний рух прямою.
3.1.1. Рівноперемінний рух прямою- рух по прямій з постійним за модулем та напрямом прискоренням:
3.1.2. Прискорення ()- фізична векторна величина, що показує, скільки зміниться швидкість за 1 з.
У векторному вигляді:
де - Початкова швидкість тіла, - швидкість тіла в момент часу t.
У проекції на вісь Ox:
де - проекція початкової швидкості на вісь Ox, - проекція швидкості тіла на вісь Oxу момент часу t.
Знаки проекцій залежать від напрямку векторів та осі Ox.
3.1.3. Графік проекції прискорення від часу.
При рівнозмінному русі прискорення постійно, тому буде прямі лінії, паралельні осі часу (див. рис.):
3.1.4. Швидкість при рівнозмінному русі.
У векторному вигляді:
У проекції на вісь Ox:
Для рівноприскореного руху:
Для рівноуповільненого руху:
3.1.5. Графік проекції швидкості в залежності від часу.
Графік проекції швидкості від часу – пряма лінія.
Напрямок руху: якщо графік (або частина його) знаходиться над віссю часу, то тіло рухається у позитивному напрямку осі Ox.
Значення прискорення: що більше тангенс кута нахилу (що крутіше піднімається вгору чи опускає вниз), то більше вписувалося модуль прискорення; де - зміна швидкості за час
Перетин із віссю часу: якщо графік перетинає вісь часу, то до точки перетину тіло гальмувало (рівноуповільнений рух), а після точки перетину почало розганятися в протилежний бік (рівноприскорений рух).
3.1.6. Геометричний зміст площі під графіком в осях
Площа під графіком, коли на осі Ойвідкладено швидкість, а на осі Ox- Час - це шлях, пройдений тілом.
На рис. 3.5 намальовано випадок рівноприскореного руху. Шлях у цьому випадку дорівнюватиме площі трапеції: (3.9)
3.1.7. Формули для розрахунку шляху
| Рівноприскорений рух | Рівноуповільнений рух |
|---|---|
| (3.10) | (3.12) |
| (3.11) | (3.13) |
| (3.14) | |
Усі формули, подані у таблиці, працюють лише за збереженні напрями руху, тобто до перетину прямий з віссю часу графіку залежності проекції швидкості від часу.
Якщо ж перетин відбувся, то рух простіше розбити на два етапи:
до перетину (гальмування):
Після перетину (розгін, рух у зворотний бік)
У формулах вище - час від початку руху до перетину з віссю часу (час до зупинки); t, - шлях, який пройшло тіло у зворотному напрямку за час, що пройшов з моменту перетину осі часу до цього моменту t, - Модуль вектора переміщення за весь час руху, L- Шлях, пройдений тілом за весь час руху.
3.1.8. Переміщення за секунду.
За час тіло пройде шлях:
За час тіло пройде шлях:
Тоді за -ий проміжок тіло пройде шлях:
За проміжок можна приймати будь-який відрізок часу. Найчастіше с.
Тоді за першу секунду тіло проходить шлях:
За другу секунду:
За 3 секунду:
Якщо уважно подивимося, то побачимо, що й т.д.
Таким чином, приходимо до формули:
Словами: шляхи, які тіло проходить за послідовні проміжки часу співвідносяться між собою як ряд непарних чисел, і це не залежить від того, з яким прискоренням рухається тіло. Підкреслимо, що це співвідношення справедливе за
3.1.9. Рівняння координати тіла при рівнозмінному русі
Рівняння координати
Знаки проекцій початкової швидкості та прискорення залежать від взаємного розташування відповідних векторів та осі Ox.
Для вирішення завдань до рівняння необхідно додавати рівняння зміни проекції швидкості на вісь:
3.2. Графіки кінематичних величин під час прямолінійного руху
3.3. Вільне падіння тіла
Під вільним падінням мається на увазі наступна фізична модель:
1) Падіння відбувається під впливом сили тяжіння:
2) Опір повітря відсутній (у завданнях іноді пишуть «опір повітря знехтувати»);
3) Усі тіла, незалежно від маси падають з однаковим прискоренням (іноді додають – «незалежно від форми тіла», але ми розглядаємо рух лише матеріальної точки, тому форма тіла вже не враховується);
4) Прискорення вільного падіння спрямовано строго вниз і поверхні Землі одно (у завданнях часто приймаємо зручності підрахунків);
3.3.1. Рівняння руху у проекції на вісь Ой
На відміну від руху горизонтальною прямою, коли далеко не всіх завдань відбувається зміна напрямку руху, при вільному падінні найкраще відразу користуватися рівняннями, записаними в проекціях на вісь Ой.
Рівняння координати тіла:
Рівняння проекції швидкості:
Як правило, у завданнях зручно вибрати вісь Ойнаступним чином:
Ось Ойспрямована вертикально догори;
Початок координат збігається з рівнем Землі або найнижчою точкою траєкторії.
При такому виборі рівняння і перепишуться у такому вигляді:
3.4. Рух у площині Oxy.
Ми розглянули рух тіла з прискоренням по прямій. Однак цим рівнозмінний рух не обмежується. Наприклад, тіло, кинуте під кутом до горизонту. У таких завданнях необхідно враховувати рух одразу по двох осях:
Або у векторному вигляді:
І зміна проекції швидкості на обидві осі:
3.5. Застосування поняття похідної та інтегралу
Ми не наводитимемо тут докладне визначення похідної та інтегралу. Для вирішення завдань нам знадобиться лише невеликий набір формул.
Похідна:
де A, Bтобто постійні величини.
Інтеграл:
Тепер подивимося, як поняття похідної та інтеграла застосовується до фізичних величин. У математиці похідна позначається """, у фізиці похідна за часом позначається "∙" над функцією.
Швидкість:
тобто швидкість є похідною від радіусу-вектора.
Для проекції швидкості:
Прискорення:
тобто прискорення є похідною від швидкості.
Для проекції прискорення:
Таким чином, якщо відомий закон руху, то легко можемо знайти і швидкість і прискорення тіла.
Тепер скористаємося поняттям інтегралу.
Швидкість:
тобто, швидкість можна знайти як інтеграл у часі від прискорення.
Радіус-вектор:
тобто, радіус-вектор можна знайти, взявши інтеграл від функції швидкості.
Таким чином, якщо відома функція, то легко можемо знайти і швидкість, і закон руху тіла.
Константи у формулах визначаються з початкових умов - значення та в момент часу
3.6. Трикутник швидкостей та трикутник переміщень
3.6.1. Трикутник швидкостей
У векторному вигляді при постійному прискоренні закон зміни швидкості має вигляд (3.5):
Ця формула означає, що вектор дорівнює векторній сумі векторів і векторну суму завжди можна зобразити малюнку (див. рис.).
У кожній задачі, залежно від умов, трикутник швидкостей матиме свій вигляд. Таке уявлення дозволяє використовувати при вирішенні геометричні міркування, що часто спрощує розв'язання задачі.
3.6.2. Трикутник переміщень
У векторному вигляді закон руху при постійному прискоренні має вигляд:
При вирішенні завдання можна вибирати систему відліку найбільш зручним чином, тому не втрачаючи спільності, можемо вибрати систему відліку так, що початок системи координат поміщаємо в точку, де в початковий момент знаходиться тіло. Тоді
тобто вектор дорівнює векторній сумі векторів і Зобразимо малюнку (див. рис.).
Як і в попередньому випадку, залежно від умов трикутник переміщень буде мати свій вигляд. Таке уявлення дозволяє використовувати при вирішенні геометричні міркування, що часто спрощує розв'язання задачі.
1.2. Прямолінійний рух
1.2.3. Графічне обчислення кінематичних величин
Деякі кінематичні характеристики руху можна розрахувати графічним способом.
Визначення проекції швидкості
За графіками залежності координати від часу x(t) (або пройденого шляху від часу S(t)) можна розрахувати відповідну проекцію швидкості v x у певний час (рис. 1.11), наприклад t = t 1 .
Для цього випливає:
1) відзначити на осі часу зазначене значення моменту часу t1;
2) відновити перпендикуляр до перетину з графіком x(t);
5) визначити проекцію швидкості на вісь Ox як тангенс кута нахилу щодо позитивного напрямку осі часу:
v x (t 1) = tg α 1 .
Слід зазначити, що проекція швидкості v x є
- позитивною, якщо дотична до графіка утворює гострий кут із напрямком осі t (див. рис. 1.11);
- негативною, якщо дотична до графіка утворює тупий кут із напрямком осі t (рис. 1.12).
На рис. 1.12 зображено графік залежності координати від часу x(t). Для визначення проекції швидкості на вісь Ox в момент часу t3 проведено перпендикуляр t = t3. У точці перетину перпендикуляра із залежністю x (t ) проведена дотична лінія. Вона утворює тупий кут із віссю t. Отже, проекція швидкості v x на вісь Ox в зазначений момент є негативною величиною:
v x (t 3) = - | tg α 3 | .
Мал. 1.12
Визначення проекції прискорення
За графіком залежності проекції швидкості від часу v x (t) можна розрахувати проекцію прискорення a x на відповідну вісь у певний момент часу (рис. 1.13), наприклад t = t 2 .
Для цього випливає:
1) відзначити на осі часу зазначене значення моменту часу t2;
2) відновити перпендикуляр до перетину з графіком v x (t);
3) провести до графіка дотичну лінію у точці його перетину з перпендикуляром;
5) визначити проекцію прискорення на вісь Ox як тангенс кута нахилу щодо позитивного напрямку осі часу:
a x (t 2) = tg α 2 .
Слід зазначити, що проекція прискорення ax є
- позитивною, якщо дотична до графіка утворює гострий кут із напрямком осі t (див. рис. 1.13);
Мал. 1.13
- негативною, якщо дотична до графіка утворює тупий кут із напрямком осі t (рис. 1.14).
Мал. 1.14
Пояснення до використання алгоритму.На рис. 1.14 зображено графік залежності проекції швидкості від часу v x (t). Для визначення проекції прискорення на вісь Ox в момент часу t4 проведено перпендикуляр t = t4. У точці перетину перпендикуляра із залежністю v x (t ) проведена дотична лінія. Вона утворює тупий кут із віссю t. Отже, проекція прискорення ax на вісь Ox у вказаний момент є негативною величиною:
a x (t 4) = - | tg α 4 | .
Визначення пройденого шляху та модуля переміщення (комбінація рівномірного та рівноприскореного руху)
За графіком залежності проекції швидкості від часу v x (t ) можна розрахувати пройдений шлях і модуль переміщенняматеріальної точки (тіла) за певний проміжок часу ∆t = t 2 − t 1 .
Для розрахунку зазначених характеристик за графіком, що містить ділянки тільки рівноприскореногоі рівномірного руху, слідує:
4) обчислити пройдений шлях S і модуль переміщення ∆r як суми:
∆r = S 1 + S 2 + ... + S n ,
де S 1 , S 2 , ..., S n - шляхи, пройдені матеріальною точкою на кожній із ділянок рівноприскореного та рівномірного руху.
На рис. 1.15 показано залежність проекції швидкості від часу для матеріальної точки (тіла), що рухається на ділянці AB рівноприскорено, на ділянці BC - рівномірно, на ділянці CD - прискорено, але з прискоренням, що відрізняється від прискорення на ділянці AB .
Мал. 1.15
В цьому випадку пройдений шлях S і модуль переміщення ∆r збігаються і розраховуються за формулами:
S = S 1 + S 2 + S 3
∆r = S 1 + S 2 + S 3
де S 1 - шлях, пройдений матеріальною точкою (тілом) на ділянці AB; S 2 - шлях, пройдений на ділянці BC; S 3 - шлях, пройдений на ділянці CD; S 1 , S 2 , S 3 розраховуються за алгоритмом, наведеним вище.
Визначення пройденого шляху та модуля переміщення (комбінація рівномірного, рівноприскореного та рівноуповільненого руху)
Для розрахунку зазначених характеристик за графіком v x (t ), що містить ділянки не тільки рівноприскореного та рівномірного, а й рівноуповільненогоруху, слідує:
1) відзначити на осі часу вказаний інтервал часу ∆t;
2) відновити перпендикуляри з точок t = t 1 і t = t 2 до перетину з графіком v x (t);
4) обчислити пройдений шлях S як суму:
S = S 1 + S 2 + ... + S n ,
де S 1 , S 2 ..., S n - шляхи, пройдені матеріальною точкою на кожному з ділянок;
5) обчислити модуль переміщенняяк різницю сумарного шляху, пройденого матеріальною точкою до точки зупинки, та шляху, пройденого матеріальною точкою після зупинки.
Пояснення до використання алгоритму. На рис. 1.16 показано залежність швидкості від часу для матеріальної точки (тіла), що рухається на ділянці AB рівноприскорено, дільниці BC - рівномірно, дільниці CF - рівнозамедленно.
Мал. 1.16
У тому випадку, коли є ділянка рівноуповільненого руху (що включає точку зупинки - точка D ), пройдений шлях S і модуль переміщення ∆r не збігаються. Пройдений шлях обчислюють за формулою
S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4
де S 1 - шлях, пройдений матеріальною точкою (тілом) на ділянці AB; S 2 - шлях, пройдений на ділянці BC; S 3 - шлях, пройдений на ділянці CD; S 4 - шлях, пройдений на ділянці DF; S 1 , S 2 , S 3 , S 4 розраховуються за алгоритмом, наведеним вище; Слід зазначити, що величина S 4 є позитивною.
Модуль переміщення обчислюють за формулою
∆r = S 1 + S 2 + S 3 − S 4 ,
віднімаючи шлях, пройдений матеріальною точкою (тілом) після повороту.
Визначення модуля зміни швидкості
За графіком залежності проекції прискорення від часу a x (t) можна знайти модуль зміни швидкості∆v матеріальної точки (тіла) за певний інтервал часу ∆t = t 2 − t 1 (рис. 1.17).
Для цього випливає:
1) відзначити на осі часу вказаний інтервал часу ∆t;
2) відновити перпендикуляри з точок t = t 1 і t = t 2 до перетину з графіком a x (t);
4) обчислити модуль зміни швидкості за вказаний інтервал часу як площу.
Приклад 4. Графік залежності проекції швидкості першого тіла на вісь Ox від часу зображується прямою, що проходить через точки (0; 6) і (3; 0), другого - через точки (0; 0) та (8; 4), де швидкість задана в метрах за секунду, час - за секунди. У скільки разів відрізняються модулі прискорень першого та другого тіл?
Рішення. Графіки залежності проекцій швидкості від часу обох тіл показані малюнку.
Проекція прискорення першого тіла визначається як тангенс тупого кута α1; її модуль обчислюємо за формулою
| a x 1 | = | tg α 1 | = | tg (180 − α 3) | = 6 3 = 2 м/с2.
Перше тіло рухається рівногайно; величина його прискорення становить a 1 = 2 м/с 2 .
Проекція прискорення другого тіла визначається як тангенс гострого кута α2; її модуль обчислюємо за формулою
a x 2 = tg α 2 = 4 8 = 0,5 м/с 2 .
Друге тіло рухається рівноприскорено; величина його прискорення становить a 2 = 0,5 м/с2.
Шукане відношення модулів прискорень першого і другого тіл дорівнює:
a 1 a 2 = 20,5 = 4 .
Величина прискорення першого тіла більша за величину прискорення другого тіла в 4 рази.
Приклад 5. Графік залежності y -координати від часу для першого тіла зображується прямою, що проходить через точки (0; 0) та (5; 3), другого - через точки (3; 0) та (6; 6), де координата задана за метри, час - за секунди. Визначити відношення модулів проекцій швидкостей зазначених тел.
Рішення. Графіки залежності y -координати від часу обох тіл показані малюнку.
Проекція швидкості першого тіла визначається як тангенс кута α1; її модуль обчислюємо за формулою
v y 1 = tg α 1 = 3 5 = 0,6 м/с.
Проекція швидкості другого тіла визначається як тангенс кута 2 ; її модуль обчислюємо за формулою
v y 2 = tg α 2 = 6 3 = 2 м/с.
Обидві проекції швидкостей мають позитивний знак; отже, обидва тіла рухаються рівноприскорено.
Відношення модулів проекцій швидкостей зазначених тіл складає:
| v y 2 | | v y 1 | = 2 0,6 ≈ 3 .
Величина проекції швидкості другого тіла більша за величину проекції швидкості другого тіла приблизно в 3 рази.
Приклад 6. Графік залежності швидкості тіла від часу зображується прямою, що проходить через точки (0; 4,0) і (2,5; 0), де швидкість задана в метрах на секунду, час - на секундах. У скільки разів шлях, пройдений тілом, більший від модуля переміщення за 6,0 з руху?
Рішення. Графік залежності швидкості тіла іноді показаний малюнку. Точка зупинки τ зост = 2,5 с потрапляє в інтервал від 0 до 6,0 с.
Отже, пройдений шлях є сумою
S = S 1 + S 2
а модуль переміщення - різниця
| Δr → | = | S 1 − S 2 | ,
де S 1 - шлях, пройдений тілом за інтервал часу від 0 до 2,5 с; S 2 - шлях, пройдений тілом за інтервал часу від 2,5 до 6,0 с.
Значення S 1 та S 2 розрахуємо графічно як площі трикутників, показаних на малюнку:
S 1 = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 2,5 = 5,0 м;
S 2 = 1 2 ⋅ (6,0 − 2,5) ⋅ 5,6 = 9,8 м.
Примітка : значення швидкості v = 5,6 м/с у час t = 6,0 c отримано з подоби трикутників, тобто. з відношення
v 4,0 = 6,0 − 2,5 2,5 − 0 .
Обчислимо пройдений шлях:
S = S 1 + S 2 = 5,0 + 9,8 = 14,8 м
та величину переміщення:
| Δr → | = | S 1 − S 2 | = | 5,0 − 9,8 | = 4,8 м-коду.
Знайдемо шукане відношення пройденого шляху та модуля переміщення:
S | Δr → | = 14,8 4,8 ≈ 3,1.
Пройдений шлях приблизно 3,1 разу перевищує величину переміщення.
