Cuvântul „proporție” provine dintr-o rădăcină latină și înseamnă „proporție”. Oamenii îl folosesc adesea în viața de zi cu zi. Ei vorbesc, de exemplu, despre proporțiile corpului uman sau despre proporțiile în gătit. Astăzi vom afla ce înseamnă matematicienii prin acest cuvânt.
Să luăm în considerare două relații. Ne amintim că un raport este câtul dintre două numere.
Rețineți că atât în primul cât și în al doilea caz valoarea coeficientului este trei. În fața noastră sunt două relații egale. Să notăm egalitatea.
Cincisprezece este la cinci, precum douăzeci și patru este la opt. Această egalitate se numește proporție. Uneori, această egalitate este scrisă ca o egalitate a fracțiilor obișnuite.
Să formulăm o definiție: Egalitatea a două rapoarte se numește proporție.
Folosind litere, proporția poate fi scrisă:
Atitudine A La b egal cu raportul c La d. Uneori proporția este citită diferit: „ A acest lucru se aplică b, Cum c se refera la d». Numerele implicate într-o proporție se numesc termeni ai proporției. Se presupune că toți termenii sunt diferiți de zero.
Numerele AȘi d se numesc termenii extremi ai proporției și numerele bȘi c- membri medii. Într-adevăr, în prima variantă de scriere a numărului bȘi c sunt la mijloc, iar numerele AȘi d pe margine.
În proporția discutată mai devreme 
Să găsim produsul termenilor săi medii și extremi.
Rețineți că cele două produse rezultate sunt egale.
Să formulăm proprietatea de bază a proporției în formă generală.
În proporția corectă, produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii.
Este adevărat și invers.
Dacă produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii ai proporției, atunci proporțiaAdevărat.
Să găsim termenul necunoscut al proporției, adică să rezolvăm proporția.
Numerele 0,5 și 13 sunt termeni extremi; numere A iar 2 sunt termenii de mijloc. Să folosim proprietatea de bază a proporției.
Să rezolvăm proporția.
Folosind proprietatea de bază a proporției, obținem:
Pentru a scăpa de zecimala din numitor, înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul fracției cu 10. Reduceți fracția rezultată cu 4 și apoi din nou cu 4.
Verificați dacă aceste proporții sunt corecte:
În această sarcină, trebuie să verificați dacă egalitatea dintre relații este de fapt valabilă.
Să găsim produsul dintre medii și produsul extremelor pentru fiecare proporție. Dacă produsele rezultate sunt egale, atunci proporția este corectă. În caz contrar, proporția este incorectă.
proporţia corectă, pentru că
proporţie incorectă, deoarece .
Dacă termenii de mijloc sau extremi sunt schimbați în proporția corectă, atunci noile proporții rezultate sunt de asemenea corecte.
Acest lucru se întâmplă deoarece cu o astfel de rearanjare produsul termenilor extremi și medii nu se schimbă.
Să ne uităm la un exemplu. Din această proporție, obțineți două noi prin rearanjarea termenilor extremi și medii. Mai întâi, să rearanjam termenii de mijloc (Fig. 1).
Orez. 1. Rearanjarea termenilor de mijloc
Într-adevăr, produsul dintre medii și extreme nu s-a schimbat, ceea ce înseamnă că proporția rezultată este corectă. Să rearanjam termenii extremi (Fig. 2).
Orez. 2. Rearanjarea membrilor extreme
Și în acest caz, produsul dintre medii și extreme nu s-a schimbat. Avem proporția corectă.
Bibliografie
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul. 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - M.: Educaţie, 1989.
- Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Teme pentru cursul de matematică pentru clasele 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii de clasa a VI-a la școala de corespondență MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: Manual-interlocutor pentru clasele 5-6 de liceu. - M.: Educație, Biblioteca Profesorului de Matematică, 1989.
- Matematică ().
- Portalul de internet Math-portal.ru ().
Teme pentru acasă
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012: Nr. 762 (a, d, d), Nr. 765, Nr. 777.
- Alte sarcini: nr. 767, nr. 775.
(din lat. rgorortio- „comensurabilitate”).
Dacă raportul A: b egal cu raportul Cu:d, apoi identitatea A:b= s:d numit proporţie.
Dacă , atunci egalitatea va rămâne în următoarele cazuri:
(creștere proporțională),
(scădere proporțional).
(compunerea proporțiilor prin adunare),
(alcătuirea proporțiilor prin scădere).
Vă rugăm să rețineți că întocmirea proporțiilor este o altă modalitate de a rezolva problemele care implică procente.
De exemplu:
Staniul este fabricat dintr-un mineral numit casiterit. Câte tone de staniu se vor obține din 25 de tone de casiterit dacă conține 78% staniu?
Soluţie. Lasă-i să ia niște tablă. Luând masa mineralului ca 100%, scriem:
Rezolvând 25,78 = 100x aflăm că x = 19,5t.
Conceptul de proporție este strâns legat de proporționalitate. Proporționalitate- acesta este un raport constant de două cantități unul față de celălalt. De exemplu, cu cât apăsăm mai mult pedala de accelerație într-o mașină, cu atât va merge mai repede.
Proporționalitatea poate fi directă sau inversă.
Proporționalitate directă - creșterea unei valori atrage după sine creșterea alteia.
Proporționalitatea inversă există atunci când o creștere a unei valori de mai multe ori scade o alta cu aceeași valoare. Continuând de la precedentul exemplu- proporționalitate inversă între apăsarea pedalei de frână și viteza mașinii - cu cât apăsăm mai mult pe frână, cu atât viteza este mai mică.
3.6:1.2 și 6.3:2.1 sunt egale, deoarece valorile coeficientilor sunt egale cu 3. Prin urmare, putem scrie egalitatea 3.6:1.2 = 6.3:2.1, sau
Egalitatea a două rapoarte se numește proporție.
Folosind litere, proporția se scrie astfel: a:b = c:d sau
Aceste intrări arată: „Raportul dintre a și b este egal cu raportul dintre c și d >>
sau „a este la b precum c este la d >>
.
În proporție, sau a:b=c:d,
Numerele a și d se numesc termeni extremi, iar numerele b și c se numesc termeni mijlocii. În cele ce urmează vom presupune că toți termenii proporției sunt diferiți de zero: .
Într-o proporție găsim produsul termenilor săi extremi și produsul termenilor săi medii.
Se obține 3,6 2,1 = 7,56; 1,2 6,3 = 7,56. Deci, 3,6 2,1 = 1,2 6,3.
În proporția corectă, produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii. Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii ai proporției, atunci proporția este corectă.
Această proprietate se numește proprietatea de bază a proporției.
Proporția 20:16 = 5:4 este corectă, deoarece 20 4 = 16 5 = 80. Să schimbăm termenii de mijloc în această proporție.
Obținem o nouă proporție: 20:5 = 16:4. Este, de asemenea, corect, deoarece cu o astfel de rearanjare produsul extremei și produsul termenilor mijlocii nu s-a schimbat. Aceste produse nu se vor schimba dacă termenii extremi în proporția 20:5 = 16:4 sunt schimbați.
Dacă membrii din mijloc sau membrii extremi sunt schimbați în proporția corectă, atunci noile proporții rezultate sunt de asemenea corecte.
748. Prin rearanjarea termenilor medii sau extremi ai proporției, creați trei noi proporții corecte din proporție:
749. Folosind egalitatea corectă 4 9 = 0,2 180, creați patru proporții corecte.
P 750. Calculați verbal:
751. Ce semn de acțiune trebuie înlocuit în loc de * pentru a obține egalitatea corectă:
752. Aflați raportul cantităților:
a) 1,5 m și 30 cm;
b) 1 kg și 250 g;
c) 1 oră și 15 minute;
d) 50 cm 2 și 1 dm 2.
753. numerele sunt egale cu acest număr. Ce este asta număr?
754. Ce număr trebuie adăugat la numărătorul și numitorul unei fracții pentru a obține o fracție?
M 755. Care dintre figuri (Fig. 33) sunt evoluții:
a) prismă pătrangulară; b) prismă triunghiulară; c) o piramidă triunghiulară?
756. 50 de focuri au fost trase dintr-un pistol, cu 5 gloanțe zburând pe lângă țintă. Defini.
757. Unghiul A este de 30° și unghiul B este de 50°. Ce parte a unghiului A este din unghiul B? De câte ori este unghiul B mai mare decât unghiul A?
758. Brigăzii a primit sarcina de a culege 280 de chintale de struguri. Ea a adunat 350 de chintale. Cu ce procente echipa a depășit sarcina? În ce procente echipa a finalizat sarcina?
759. În parc au fost plantați arțari și stejari, cu câte un stejar la fiecare 4 arțari. Ce procent din toți copacii plantați sunt arțari? Câți copaci au fost plantați în parc dacă s-au plantat 480 de arțari?
D 760. Este proporția corectă:
a) 2,04:0,6 = 2,72:0,8; b) 0,0112:0,28=0,204:0,51?
761. Rezolvați ecuația:
762. Din 225 kg minereu s-au obținut 34,2 kg cupru. Care este procentul de cupru din minereu?
763. La 2 ore de la ieșirea din stația A, locomotiva diesel și-a mărit viteza cu 12 km/h și la 5 ore de la începerea deplasării a ajuns la destinația B. Care era viteza locomotivei diesel la începutul călătoriei, dacă distanta de la A la B este de 261 km?
764. Dacă adăugați 0,8 la un număr necunoscut, obțineți 1,2. Găsiți numărul necunoscut.
765. Urmați acești pași:
N.Ya.Vilenkin, A.S. Cesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematică pentru clasa a VI-a, Manual pentru liceu
Calendar-planificare tematică în matematică, video despre matematică online, descărcare Matematică la școală
