Projekcije brzina dviju točaka krutog tijela na os koja prolazi kroz te točke međusobno su jednake.
v A cos α = v B cos β.
Dokaz
Izaberimo pravokutni fiksni koordinatni sustav Oxyz. Uzmimo dvije proizvoljne točke krutog tijela A i B. Neka (x A, y A, z A) I (x B, y B, z B)- koordinate tih točaka. Kada se kruto tijelo giba, to su funkcije vremena t. Diferenciranjem s obzirom na vrijeme dobivamo projekcije brzina točaka.
,
.
Iskoristimo činjenicu da kada se kruto tijelo kreće, udaljenost | AB| između točaka ostaje konstantan, odnosno ne ovisi o vremenu t. Također je konstantan kvadrat udaljenosti
.
Diferencirajmo ovu jednadžbu s obzirom na vrijeme t, primjenjujući pravilo za diferenciranje složene funkcije.
Skratimo za 2
.
(1)
Uvedimo vektor
.
Zatim jednadžba (1)
može se prikazati kao skalarni proizvod vektora.
(2)
Provodimo transformacije.
;
(3)
.
Po svojstvu skalarnog produkta
,
.
Zamjena u (3)
i smanjiti za | AB|.
;
Q.E.D.
Relativna brzina
Razmotrite kretanje točke B u odnosu na točku A. Uvedimo relativnu brzinu točke B u odnosu na A.
Zatim jednadžba (2)
može se prepisati u obliku
.
To znači da je relativna brzina okomita na vektor povučen od točke A do točke B. Budući da je točka B uzeta proizvoljno, relativna brzina bilo koje točke na krutom tijelu je okomita na radijus vektor povučen iz točke A. To jest, u odnosu na točku A, tijelo prolazi kroz rotacijsko gibanje. Relativna brzina točaka tijela određena je formulom za rotacijsko gibanje
.
Točka A, u odnosu na koju se razmatra kretanje, često se naziva pol.
Apsolutna brzina točke B u odnosu na fiksni koordinatni sustav može se napisati u sljedećem obliku:
.
Jednaka je zbroju brzine translatornog gibanja proizvoljne točke A (pol) i brzine rotacijskog gibanja u odnosu na pol A.
Primjer rješenja problema
Zadatak
Kotači 1 i 2 s polumjerom R 1 = 0,15 m i R 2 = 0,3 m, odnosno, spojeni su šarkama na šipku od 3 duljine | AB| = 0,5 m. Kotač 1 rotira kutnom brzinom ω 1 = 1 rad/s. Za položaj mehanizma prikazan na slici odredite kutnu brzinu ω 2 kotači 2. Uzmi L = 0,3 m.
Rješenje problema
Točka A se kreće po kružnici radijus R 1
oko središta rotacije O 1
. Brzina točke A određena je formulom
V A = ω 1 R 1.
Vektor je usmjeren okomito (okomito na O 1 A).
Točka B se kreće po kružnici radijus R 2
oko središta rotacije O 2
. Brzina točke B određena je formulom
V B = ω 2 R 2.
Odavde
.
Vektor je usmjeren vodoravno (okomito na O 2 B).
Mi gradimo pravokutni trokut ABC. Primjenjujemo Pitagorin teorem.
(m)
.
Kosinus kuta između vektora brzine i pravca AB, u smjeru vektora, jednak je
.
Po teorem o projekciji brzine dvije točke krutog tijela na pravoj liniji imamo:
V A cos α = V B cos β.
Odavde
.
Određivanje kutne brzine kotača 2.
rad/s .
Jednoliko kretanje– to je kretanje stalnom brzinom, odnosno kada se brzina ne mijenja (v = const) i ne dolazi do ubrzanja ili usporavanja (a = 0).
Pravocrtno kretanje- ovo je kretanje po ravnoj liniji, odnosno putanja pravocrtnog kretanja je ravna linija.
Ravnomjerno linearno kretanje- ovo je kretanje u kojem tijelo čini jednake pokrete u bilo kojim jednakim vremenskim intervalima. Na primjer, ako određeni vremenski interval podijelimo na intervale od jedne sekunde, tada će se tijelo pri jednolikom gibanju za svaki od tih vremenskih intervala premjestiti na istu udaljenost.
Brzina jednolikog pravocrtnog gibanja ne ovisi o vremenu i u svakoj je točki putanje usmjerena na isti način kao i kretanje tijela. To jest, vektor pomaka podudara se u smjeru s vektorom brzine. U ovom slučaju, prosječna brzina za bilo koje vremensko razdoblje jednaka je trenutnoj brzini: v cp = v Brzina ravnomjernog pravocrtnog gibanja je fizikalna vektorska veličina jednaka omjeru gibanja tijela u bilo kojem vremenskom razdoblju i vrijednosti ovog intervala t:
Dakle, brzina jednolikog pravocrtnog gibanja pokazuje koliki je pokret materijalna točka u jedinici vremena.
Kretanje s jednolikim pravocrtnim gibanjem određuje se formulom:
Prijeđena udaljenost kod pravocrtnog gibanja jednak je modulu pomaka. Ako se pozitivan smjer osi OX podudara sa smjerom kretanja, tada je projekcija brzine na os OX jednaka veličini brzine i pozitivna:
V x = v, odnosno v > 0 Projekcija pomaka na os OX jednaka je: s = vt = x – x 0 gdje je x 0 početna koordinata tijela, x konačna koordinata tijela. (ili koordinata tijela u bilo kojem trenutku)
Jednadžba gibanja, odnosno ovisnost koordinata tijela o vremenu x = x(t), ima oblik:
X = x 0 + vt Ako je pozitivan smjer osi OX suprotan smjeru gibanja tijela, tada je projekcija brzine tijela na os OX negativna, brzina manja od nule (v x = x 0 - vt
Ovisnost brzine, koordinata i putanje o vremenu
Ovisnost projekcije brzine tijela o vremenu prikazana je na sl. 1.11. Budući da je brzina konstantna (v = const), graf brzine je ravna linija paralelna s vremenskom osi Ot.
Riža. 1.11. Ovisnost projekcije brzine tijela o vremenu za jednoliko pravocrtno gibanje.
Projekcija kretanja na koordinatnu os brojčano je jednaka površini pravokutnika OABC (slika 1.12), budući da je veličina vektora kretanja jednaka proizvodu vektora brzine i vremena tijekom kojeg je kretanje bilo napravio.
Riža. 1.12. Ovisnost projekcije pomaka tijela o vremenu za jednoliko pravocrtno gibanje.
Grafikon pomaka u odnosu na vrijeme prikazan je na sl. 1.13. Grafikon pokazuje da je projekcija brzine jednaka
V = s 1 / t 1 = tan α gdje je α kut nagiba grafa prema vremenskoj osi. Što je veći kut α, to se tijelo brže giba, odnosno njegova brzina je veća (što veći put tijelo prijeđe za manje vremena). Tangens tangente na graf koordinate u odnosu na vrijeme jednak je brzini: tg α = v
Riža. 1.13. Ovisnost projekcije pomaka tijela o vremenu za jednoliko pravocrtno gibanje.
Ovisnost koordinate o vremenu prikazana je na sl. 1.14. Iz slike je jasno da
Tg α 1 > tan α 2 stoga je brzina tijela 1 veća od brzine tijela 2 (v 1 > v 2). tg α 3 = v 3 Ako tijelo miruje, tada je graf koordinata pravac paralelan s vremenskom osi, odnosno x = x 0
Riža. 1.14. Ovisnost koordinata tijela o vremenu za jednoliko pravocrtno gibanje.
Brzina je jedna od glavnih karakteristika. Izražava samu bit pokreta, tj. određuje razliku koja postoji između tijela koje miruje i tijela koje se kreće.
SI jedinica za brzinu je m/s.
Važno je zapamtiti da je brzina vektorska veličina. Smjer vektora brzine određen je kretanjem. Vektor brzine uvijek je usmjeren tangencijalno na putanju u točki kroz koju prolazi tijelo koje se kreće (slika 1).
Na primjer, razmotrite kotač automobila u pokretu. Kotač se okreće i sve točke kotača se kreću u krugovima. Prskanje koje leti s kotača letjet će duž tangenti na te kružnice, označavajući smjerove vektora brzine pojedinih točaka kotača.
Dakle, brzina karakterizira smjer gibanja tijela (smjer vektora brzine) i brzinu njegova gibanja (modul vektora brzine).
Negativna brzina
Može li brzina tijela biti negativna? Da možda. Ako je brzina tijela negativna, to znači da se tijelo giba u smjeru suprotnom od smjera koordinatne osi u odabranom referentnom sustavu. Slika 2 prikazuje kretanje autobusa i automobila. Brzina automobila je negativna, a brzina autobusa pozitivna. Treba imati na umu da kada govorimo o predznaku brzine, mislimo na projekciju vektora brzine na koordinatnu os.
Jednoliko i neravnomjerno kretanje
Općenito, brzina ovisi o vremenu. Prema prirodi ovisnosti brzine o vremenu kretanje može biti jednoliko i neravnomjerno.
DEFINICIJA
Jednoliko kretanje– to je kretanje s konstantnim modulom brzine.
U slučaju neravnomjernog kretanja govorimo o:
Primjeri rješavanja problema na temu "Brzina"
PRIMJER 1
| Vježbajte | Automobil je prvu polovicu puta između dva naselja prevalio brzinom od 90 km/h, a drugu polovicu pri brzini od 54 km/h. Odredite prosječnu brzinu automobila. |
| Riješenje | Bilo bi netočno izračunati prosječnu brzinu automobila kao aritmetičku sredinu dviju navedenih brzina. Upotrijebimo definiciju prosječne brzine: Budući da se pretpostavlja pravocrtno jednoliko gibanje, predznaci vektora se mogu izostaviti. Vrijeme provedeno u automobilu za prevaljivanje cijele udaljenosti: gdje je vrijeme potrošeno na dovršavanje prve polovice staze, a je vrijeme utrošeno za dovršetak druge polovice staze.
Ukupno kretanje jednako je udaljenosti između naseljenih mjesta, tj. . Zamjenom ovih omjera u formulu za prosječnu brzinu dobivamo: Preračunajmo brzine u pojedinim dionicama u SI sustav: Tada je prosječna brzina automobila:
|
| Odgovor | Prosječna brzina automobila je 18,8 m/s |
(m/s)PRIMJER 2
| Vježbajte | Automobil se vozi 10 sekundi brzinom 10 m/s, a zatim vozi još 2 minute brzinom 25 m/s. Odredite prosječnu brzinu automobila. |
| Riješenje | Napravimo crtež. |
3.1. Jednoliko pravocrtno gibanje.
3.1.1. Jednoliko pravocrtno gibanje- pravocrtno kretanje s akceleracijom konstantnom po veličini i smjeru:
3.1.2. Ubrzanje()- fizička vektorska veličina koja pokazuje koliko će se brzina promijeniti u 1 s.
U vektorskom obliku:
gdje je početna brzina tijela, je brzina tijela u trenutku vremena t.
U projekciji na os Vol:
gdje je projekcija početne brzine na os Vol, - projekcija brzine tijela na os Vol u određenom trenutku t.
Predznaci projekcija ovise o smjeru vektora i osi Vol.
3.1.3. Graf projekcije ubrzanja u odnosu na vrijeme.
Kod jednoliko izmjeničnog gibanja, ubrzanje je konstantno, stoga će izgledati kao ravne linije paralelne s vremenskom osi (vidi sliku):
3.1.4. Brzina pri jednolikom gibanju.
U vektorskom obliku:
U projekciji na os Vol:
Za jednoliko ubrzano gibanje:
Za ravnomjerno usporeno kretanje:
3.1.5. Grafikon projekcije brzine u odnosu na vrijeme.
Graf projekcije brzine u odnosu na vrijeme je ravna linija.
Smjer kretanja: ako je grafikon (ili njegov dio) iznad vremenske osi, tada se tijelo kreće u pozitivnom smjeru osi Vol.
Vrijednost ubrzanja: što je veći tangens kuta nagiba (što strmije ide gore ili dolje), veći je modul ubrzanja; gdje je promjena brzine tijekom vremena
Sjecište s vremenskom osi: ako graf siječe vremensku os, tada je prije sjecišta tijelo usporavalo (jednoliko usporeno gibanje), a nakon sjecišta počelo ubrzavati u suprotnom smjeru (jednoliko ubrzano gibanje).
3.1.6. Geometrijsko značenje površine ispod grafa u osi
Područje ispod grafikona kada je na osi Joj brzina je odgođena, a na os Vol- vrijeme je put koji prijeđe tijelo.
Na sl. 3.5 prikazuje slučaj jednoliko ubrzanog gibanja. Staza će u ovom slučaju biti jednaka površini trapeza: (3.9)
3.1.7. Formule za izračunavanje puta
| Jednoliko ubrzano gibanje | Jednako usporeno |
|---|---|
| (3.10) | (3.12) |
| (3.11) | (3.13) |
| (3.14) | |
Sve formule prikazane u tablici rade samo kada se zadrži smjer kretanja, odnosno dok se ravna linija ne siječe s vremenskom osi na grafu projekcije brzine u odnosu na vrijeme.
Ako je došlo do raskrižja, tada je kretanje lakše podijeliti u dvije faze:
prije prijelaza (kočenje):
Nakon raskrižja (ubrzanje, kretanje u suprotnom smjeru)
U gornjim formulama - vrijeme od početka gibanja do sjecišta s vremenskom osi (vrijeme prije zaustavljanja), - put koji je tijelo prešlo od početka gibanja do sjecišta s vremenskom osi, - proteklo vrijeme od trenutka prelaska vremenske osi do ovog trenutka t, - put koji je tijelo prešlo u suprotnom smjeru za vrijeme proteklo od trenutka prelaska vremenske osi do ovog trenutka t, - modul vektora pomaka za cijelo vrijeme kretanja, L- put koji tijelo prijeđe tijekom cijelog kretanja.
3.1.8. Kretanje u th sekundi.
Za to vrijeme tijelo će prijeći sljedeću udaljenost:
Za to vrijeme tijelo će prijeći sljedeću udaljenost:
Tada će tijekom tog intervala tijelo prijeći sljedeću udaljenost:
Bilo koje vremensko razdoblje može se uzeti kao interval. Najčešće sa.
Tada u 1 sekundi tijelo prijeđe sljedeću udaljenost:
Za 2 sekunde:
Za 3 sekunde:
Ako pažljivo pogledamo, vidjet ćemo da itd.
Tako dolazimo do formule:
Riječima: putovi koje tijelo prijeđe u uzastopnim vremenskim razdobljima međusobno su povezani kao niz neparnih brojeva, a to ne ovisi o ubrzanju kojim se tijelo giba. Ističemo da ova relacija vrijedi za
3.1.9. Jednadžba koordinata tijela za jednoliko gibanje
Jednadžba koordinata
Predznaci projekcija početne brzine i ubrzanja ovise o međusobnom položaju odgovarajućih vektora i osi Vol.
Za rješavanje problema potrebno je jednadžbi dodati jednadžbu promjene projekcije brzine na os:
3.2. Grafovi kinematičkih veličina za pravocrtno gibanje
3.3. Tijelo slobodnog pada
Pod slobodnim padom podrazumijevamo sljedeći fizički model:
1) Pad se događa pod utjecajem gravitacije:
2) Nema otpora zraka (u zadacima ponekad pišu "zanemari otpor zraka");
3) Sva tijela, bez obzira na masu, padaju istom akceleracijom (ponekad dodaju "bez obzira na oblik tijela", ali mi razmatramo kretanje samo materijalne točke, pa se više ne uzima oblik tijela u račun);
4) Ubrzanje gravitacije usmjereno je strogo prema dolje i jednako je na površini Zemlje (u problemima koje često pretpostavljamo radi praktičnosti izračuna);
3.3.1. Jednadžbe gibanja u projekciji na os Joj
Za razliku od kretanja po horizontalnoj ravnoj liniji, kada svi zadaci ne uključuju promjenu smjera kretanja, kod slobodnog pada najbolje je odmah koristiti jednadžbe napisane u projekcijama na os Joj.
Jednadžba koordinata tijela:
Jednadžba projekcije brzine:
U pravilu je u problemima prikladno odabrati os Joj na sljedeći način:
Os Joj usmjeren okomito prema gore;
Ishodište se poklapa s razinom Zemlje ili najnižom točkom putanje.
S ovim izborom, jednadžbe i bit će prepisane u sljedećem obliku:
3.4. Kretanje u ravnini Oxy.
Razmatrali smo gibanje tijela s akceleracijom po pravoj liniji. Međutim, jednoliko promjenjivo gibanje nije ograničeno na ovo. Na primjer, tijelo bačeno pod kutom u odnosu na horizontalu. U takvim problemima potrebno je uzeti u obzir kretanje duž dvije osi odjednom:
Ili u vektorskom obliku:
I mijenjanje projekcije brzine na obje osi:
3.5. Primjena pojma derivacije i integrala
Ovdje nećemo dati detaljnu definiciju derivacije i integrala. Za rješavanje problema potreban nam je samo mali skup formula.
izvedenica:
Gdje A, B a to su konstantne vrijednosti.
Sastavni:
Pogledajmo sada kako se koncepti derivacije i integrala primjenjuju na fizičke veličine. U matematici se derivacija označava s """, u fizici se derivacija po vremenu označava s "∙" iznad funkcije.
Ubrzati:
odnosno brzina je izvodnica radijus vektora.
Za projekciju brzine:
Ubrzanje:
odnosno akceleracija je derivacija brzine.
Za projekciju ubrzanja:
Dakle, ako je poznat zakon gibanja, lako možemo pronaći i brzinu i ubrzanje tijela.
Sada upotrijebimo koncept integrala.
Ubrzati:
odnosno brzina se može naći kao vremenski integral akceleracije.
Radijus vektor:
odnosno radijus vektor se može pronaći uzimanjem integrala funkcije brzine.
Dakle, ako je funkcija poznata, lako možemo pronaći i brzinu i zakon gibanja tijela.
Konstante u formulama određuju se iz početnih uvjeta - vrijednosti i u trenutku vremena
3.6. Trokut brzine i trokut pomaka
3.6.1. Brzinski trokut
U vektorskom obliku s konstantnom akceleracijom zakon promjene brzine ima oblik (3.5):
Ova formula znači da je vektor jednak vektorskom zbroju vektora i da se vektorski zbroj uvijek može prikazati na slici (vidi sliku).
U svakom zadatku, ovisno o uvjetima, trokut brzine će imati svoj oblik. Ovaj prikaz omogućuje korištenje geometrijskih razmatranja u rješenju, što često pojednostavljuje rješenje problema.
3.6.2. Trokut pokreta
U vektorskom obliku zakon gibanja s konstantnom akceleracijom ima oblik:
Prilikom rješavanja problema možete odabrati referentni sustav na najprikladniji način, dakle, bez gubitka općenitosti, referentni sustav možemo odabrati na način da, odnosno, postavimo ishodište koordinatnog sustava u točku gdje tijelo se nalazi u početnom trenutku. Zatim
odnosno vektor je jednak vektorskom zbroju vektora i Prikažimo to na slici (vidi sliku).
Kao iu prethodnom slučaju, ovisno o uvjetima, trokut pomaka će imati svoj oblik. Ovaj prikaz omogućuje korištenje geometrijskih razmatranja u rješenju, što često pojednostavljuje rješenje problema.
1.2. Pravocrtno kretanje
1.2.3. Grafički proračun kinematičkih veličina
Neke kinematičke karakteristike kretanja mogu se izračunati grafički.
Definicija projektirane brzine
Koristeći grafove ovisnosti koordinate o vremenu x (t) (ili prijeđenoj udaljenosti u vremenu S (t)), možete izračunati odgovarajući projekcija brzine v x u određenoj vremenskoj točki (sl. 1.11), na primjer t = t 1.
Da biste to učinili trebali biste:
1) označite na vremenskoj osi naznačenu vrijednost trenutka t 1;
2) vratite okomicu na sjecište s grafom x (t);
5) odredite projekciju brzine na os Ox kao tangens kuta tangente na pozitivan smjer vremenske osi:
v x (t 1) = tan α 1 .
Treba uočiti da je projekcija brzine v x
- pozitivan ako tangenta na graf tvori oštar kut sa smjerom osi t (vidi sl. 1.11);
- negativan ako tangenta na graf tvori tupi kut sa smjerom osi t (slika 1.12).
Na sl. Na slici 1.12 prikazan je graf ovisnosti koordinate o vremenu x (t). Za određivanje projekcije brzine na os Ox u trenutku t 3 povučena je okomica t = t 3 . U točki sjecišta okomice s ovisnošću x (t) povučena je tangenta. S t osi tvori tupi kut. Stoga je projekcija brzine v x na os Ox u navedenom trenutku negativna vrijednost:
v x (t 3) = − | tan α 3 | .
Riža. 1.12
Definicija projekcije ubrzanja
Pomoću grafikona projekcije brzine u odnosu na vrijeme v x (t) možete izračunati projekciju ubrzanja a x na odgovarajuću os u određenom trenutku u vremenu (slika 1.13), na primjer t = t 2.
Da biste to učinili trebali biste:
1) označite na vremenskoj osi naznačenu vrijednost trenutka t 2;
2) vratite okomicu na sjecište s grafom v x (t);
3) nacrtati tangentu na graf u točki njegova sjecišta s okomicom;
5) odredite projekciju ubrzanja na os Ox kao tangens kuta tangente na pozitivni smjer vremenske osi:
a x (t 2) = tan α 2 .
Treba napomenuti da je projekcija akceleracije a x
- pozitivan ako tangenta na graf tvori oštar kut sa smjerom osi t (vidi sl. 1.13);
Riža. 1.13
- negativan ako tangenta na graf tvori tupi kut sa smjerom osi t (slika 1.14).
Riža. 1.14
Objašnjenje korištenja algoritma. Na sl. Slika 1.14 prikazuje graf ovisnosti projekcije brzine o vremenu v x (t). Za određivanje projekcije ubrzanja na os Ox u trenutku t 4 povlači se okomica t = t 4 . U točki presjeka okomice s ovisnošću v x (t) povučena je tangenta. S t osi tvori tupi kut. Stoga je projekcija ubrzanja a x na os Ox u navedenom trenutku negativna vrijednost:
a x (t 4) = − | tg α 4 | .
Određivanje prijeđenog puta i modula pomaka (kombinacija jednolikog i jednoliko ubrzanog gibanja)
Pomoću grafikona projekcije brzine kao funkcije vremena v x (t), možete izračunati prijeđenu udaljenost i putni modul materijalna točka (tijelo) za određeno vrijeme ∆t = t 2 − t 1 .
Za izračun navedenih karakteristika koristite grafikon koji sadrži samo dijelove jednoliko ubrzano i jednolikog gibanja, slijedi:
4) izračunajte prijeđeni put S i modul pomaka ∆r kao zbrojeve:
∆r = S 1 + S 2 + ... + S n,
gdje su S 1, S 2, ..., S n putevi koje materijalna točka prijeđe u svakom od odsječaka jednoliko ubrzanog i jednolikog gibanja.
Na sl. Na slici 1.15 prikazana je ovisnost projekcije brzine o vremenu za materijalnu točku (tijelo) koja se giba jednoliko ubrzano u presjeku AB, jednoliko ubrzano na presjeku BC, jednoliko ubrzano na presjeku CD, ali s akceleracijom različitom od akceleracije u presjeku AB.
Riža. 1.15
U ovom slučaju, prijeđeni put S i modul pomaka ∆r podudaraju se i izračunavaju se pomoću formula:
S = S 1 + S 2 + S 3,
∆r = S 1 + S 2 + S 3,
gdje je S 1 put koji prijeđe materijalna točka (tijelo) u presjeku AB; S 2 - prijeđeni put na dionici BC; S 3 - prijeđeni put u presjeku CD; S1, S2, S3 izračunavaju se u skladu s gore navedenim algoritmom.
Određivanje prijeđenog puta i modula pomaka (kombinacija jednolikog, jednoliko ubrzanog i jednoliko usporenog gibanja)
Za izračunavanje naznačenih karakteristika pomoću grafikona v x (t), koji sadrži dijelove ne samo jednoliko ubrzanog i jednolikog, već i jednako sporo kretanja, trebali biste:
1) označiti navedeni vremenski interval ∆t na vremenskoj osi;
2) vratiti okomice iz točaka t = t 1 i t = t 2 dok se ne sijeku s grafom v x (t);
4) izračunajte prijeđeni put S kao zbroj:
S = S 1 + S 2 + ... + S n,
gdje su S 1, S 2, ..., S n putevi koje prolazi materijalna točka u svakoj od dionica;
5) izračunati putni modul kao razlika između ukupnog puta koji materijalna točka prijeđe do točke zaustavljanja i puta koji materijalna točka prijeđe nakon zaustavljanja.
Objašnjenje korištenja algoritma. Na sl. Na slici 1.16 prikazana je ovisnost brzine o vremenu za materijalnu točku (tijelo) koja se giba jednoliko ubrzano u presjeku AB, jednoliko na presjeku BC, jednoliko sporo na presjeku CF.
Riža. 1.16
U slučaju kada postoji dionica jednoliko usporenog gibanja (uključujući točku zaustavljanja - točku D), prijeđeni put S i modul pomaka ∆r ne podudaraju se. Prijeđena udaljenost izračunava se pomoću formule
S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4,
gdje je S 1 put koji prijeđe materijalna točka (tijelo) u presjeku AB; S 2 - prijeđeni put na dionici BC; S 3 - prijeđeni put u presjeku CD; S 4 - prijeđeni put u presjeku DF; S1, S2, S3, S4 izračunavaju se prema gore danom algoritmu; Treba napomenuti da je vrijednost S 4 pozitivna.
Modul pomaka izračunava se pomoću formule
∆r = S 1 + S 2 + S 3 − S 4,
oduzimajući put koji materijalna točka (tijelo) prijeđe nakon rotacije.
Određivanje modula promjene brzine
Iz grafikona projekcije ubrzanja u odnosu na vrijeme a x (t) može se pronaći modul promjene brzine∆v materijalne točke (tijela) za određeni vremenski interval ∆t = t 2 − t 1 (sl. 1.17).
Da biste to učinili trebali biste:
1) označiti navedeni vremenski interval ∆t na vremenskoj osi;
2) vratiti okomice iz točaka t = t 1 i t = t 2 dok se ne sijeku s grafom a x (t);
4) izračunati modul promjene brzine za navedeni vremenski interval kao područje.
Primjer 4. Graf projekcije brzine prvog tijela na os Ox u odnosu na vrijeme prikazan je ravnom linijom koja prolazi kroz točke (0; 6) i (3; 0), drugi - kroz točke ( 0; 0) i (8; 4), gdje je brzina dana u metrima u sekundi, vrijeme - u sekundama. Koliko se puta razlikuju moduli ubrzanja prvog i drugog tijela?
Riješenje. Na slici su prikazani grafovi projekcija brzine u odnosu na vrijeme za oba tijela.
Projekcija ubrzanja prvog tijela definirana je kao tangens tupog kuta α 1 ; njegov se modul izračunava po formuli
| a x 1 | = | tan α 1 | = | tg (180 − α 3) | = 6 3 = 2 m/s 2.
Prvo se tijelo giba jednako sporo; veličina njegove akceleracije je a 1 = = 2 m/s 2.
Projekcija ubrzanja drugog tijela definirana je kao tangens oštrog kuta α 2 ; njegov se modul izračunava po formuli
a x 2 = tan α 2 = 4 8 = 0,5 m/s 2.
Drugo se tijelo giba jednoliko ubrzano; veličina njegove akceleracije je a 2 = 0,5 m/s 2.
Traženi omjer modula ubrzanja prvog i drugog tijela jednak je:
a 1 a 2 = 2 0,5 = 4 .
Akceleracija prvog tijela je 4 puta veća od akceleracije drugog tijela.
Primjer 5. Grafikon y-koordinate u odnosu na vrijeme za prvo tijelo prikazan je kao ravna linija koja prolazi kroz točke (0; 0) i (5; 3), drugo - kroz točke (3; 0) i (6; 6), gdje je koordinata dana u metrima, vrijeme - u sekundama. Odredite omjer modula projekcija brzina naznačenih tijela.
Riješenje. Na slici su prikazani grafovi y-koordinate u odnosu na vrijeme za oba tijela.
Projekcija brzine prvog tijela definirana je kao tangens kuta α 1; njegov se modul izračunava po formuli
v y 1 = tan α 1 = 3 5 = 0,6 m/s.
Projekcija brzine drugog tijela definirana je kao tangens kuta α 2; njegov se modul izračunava po formuli
v y 2 = tan α 2 = 6 3 = 2 m/s.
Obje projekcije brzine imaju pozitivan predznak; dakle oba se tijela gibaju jednoliko ubrzano.
Omjer modula projekcija brzine navedenih tijela je:
| v y 2 | | v y 1 | = 2 0,6 ≈ 3 .
Veličina projekcije brzine drugog tijela je približno 3 puta veća od veličine projekcije brzine drugog tijela.
Primjer 6. Grafikon ovisnosti brzine tijela o vremenu prikazan je kao ravna linija koja prolazi kroz točke (0; 4.0) i (2.5; 0), gdje je brzina dana u metrima u sekundi, vrijeme - u sekundi. Koliko je puta put koji tijelo prijeđe veći od modula pomaka za 6,0 s gibanja?
Riješenje. Na slici je prikazan graf ovisnosti brzine tijela o vremenu. Zaustavna točka τ rest = 2,5 s pada u intervalu od 0 s do 6,0 s.
Stoga je prijeđeni put zbroj
S = S 1 + S 2,
a modul pomaka je razlika
| Δ r → | = | S 1 − S 2 | ,
gdje je S 1 put koji tijelo prijeđe u vremenskom intervalu od 0 s do 2,5 s; S 2 je put koji tijelo prijeđe u vremenskom intervalu od 2,5 s do 6,0 s.
Vrijednosti S 1 i S 2 izračunavamo grafički kao površine trokuta prikazanih na slici:
S 1 = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 2,5 = 5,0 m;
S 2 = 1 2 ⋅ (6,0 − 2,5) ⋅ 5,6 = 9,8 m.
Napomena: vrijednost brzine v = 5,6 m/s u trenutku t = 6,0 s dobiva se iz sličnosti trokuta, tj. od stava
v 4,0 = 6,0 − 2,5 2,5 − 0 .
Izračunajmo prijeđenu udaljenost:
S = S 1 + S 2 = 5,0 + 9,8 = 14,8 m
i količina kretanja:
| Δ r → | = | S 1 − S 2 | = | 5,0 − 9,8 | = 4,8 m.
Nađimo traženi omjer prijeđenog puta i modula pomaka:
S | Δ r → | = 14,8 4,8 ≈ 3,1.
Prijeđeni put je otprilike 3,1 puta veći od pomaka.
