Słowo „proporcja” pochodzi od łacińskiego rdzenia i oznacza „proporcję”. Ludzie często używają go w życiu codziennym. Mówią na przykład o proporcjach ciała człowieka, czy o proporcjach w gotowaniu. Dziś dowiemy się, co matematycy mają na myśli to słowo.
Rozważmy dwie relacje. Pamiętamy, że stosunek to iloraz dwóch liczb.
Należy zauważyć, że zarówno w pierwszym, jak i drugim przypadku wartość ilorazu wynosi trzy. Przed nami dwie równe relacje. Zapiszmy równość.
Piętnaście ma się do pięciu, tak jak dwadzieścia cztery do ośmiu. Ta równość nazywa się proporcją. Czasami tę równość zapisuje się jako równość ułamków zwykłych.
Sformułujmy definicję: Równość dwóch stosunków nazywa się proporcją.
Za pomocą liter można zapisać proporcję:
Postawa A Do B równy stosunkowi C Do D. Czasami proporcję odczytuje się inaczej: „ A Dotyczy to B, Jak C odnosi się do D». Liczby występujące w proporcji nazywane są wyrazami proporcji. Zakłada się, że wszystkie terminy są różne od zera.
Liczby A I D nazywane są skrajnymi wyrazami proporcji i liczbami B I C- przeciętnych członków. Rzeczywiście, w pierwszym wariancie zapisu numeru B I C są pośrodku i liczby A I D na krawędzi.
W proporcji omówionej wcześniej 
Znajdźmy iloczyn jego środkowych i skrajnych terminów.
Zauważ, że dwa powstałe produkty są równe.
Sformułujmy podstawową własność proporcji w formie ogólnej.
W odpowiedniej proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.
Odwrotna sytuacja jest również prawdą.
Jeżeli iloczyn skrajnych składników jest równy iloczynowi środkowych proporcji, to proporcjaPRAWDA.
Znajdźmy nieznany wyraz proporcji, czyli rozwiążmy proporcję.
Liczby 0,5 i 13 to terminy skrajne; liczby A i 2 to terminy środkowe. Skorzystajmy z podstawowej właściwości proporcji.
Rozwiążmy proporcję.
Korzystając z podstawowej właściwości proporcji, otrzymujemy:
Aby pozbyć się ułamka dziesiętnego w mianowniku, pomnóż licznik i mianownik ułamka przez 10. Otrzymany ułamek zmniejsz o 4, a następnie ponownie o 4.
Sprawdź, czy te proporcje są prawidłowe:
W tym zadaniu należy sprawdzić, czy faktycznie zachodzi równość relacji.
Znajdźmy iloczyn średnich i iloczyn skrajności dla każdej proporcji. Jeśli powstałe produkty są równe, wówczas proporcja jest prawidłowa. W przeciwnym razie proporcja jest nieprawidłowa.
właściwą proporcję, ponieważ
niewłaściwa proporcja, ponieważ .
Jeśli wyrazy środkowe lub skrajne zostaną zamienione w odpowiedniej proporcji, wówczas powstałe nowe proporcje również będą prawidłowe.
Dzieje się tak, ponieważ przy takim przegrupowaniu iloczyn wyrazów skrajnych i średnich nie ulega zmianie.
Spójrzmy na przykład. Z tej proporcji uzyskaj dwie nowe, przestawiając wyrazy skrajne i środkowe. Najpierw przestawmy wyrazy środkowe (ryc. 1).
Ryż. 1. Przegrupowanie terminów średnich
Istotnie, iloczyn średniej i skrajności nie uległ zmianie, co oznacza, że otrzymana proporcja jest prawidłowa. Zmieńmy układ skrajnych terminów (ryc. 2).
Ryż. 2. Przegrupowanie skrajnych prętów
I w tym przypadku iloczyn średniej i skrajności nie uległ zmianie. Otrzymaliśmy właściwą proporcję.
Bibliografia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka w klasie 6. - Gimnazjum. 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - M.: Edukacja, 1989.
- Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania do zajęć z matematyki dla klas 5-6. - M.: ZSz MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów klasy 6 szkoły korespondencyjnej MEPhI. - M.: ZSz MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 szkoły średniej. - M.: Oświata, Biblioteka Nauczyciela Matematyki, 1989.
- Matematyka ().
- Portal internetowy Math-portal.ru ().
Praca domowa
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012: nr 762 (a, d, d), nr 765, nr 777.
- Inne zadania: nr 767, nr 775.
(z łac. rgorortio- „współmierność”).
Jeśli stosunek A: B równy stosunkowi Z:D, a następnie tożsamość A:B= s:D zwany proporcja.
Jeśli , to równość pozostanie w następujących przypadkach:
(zwiększenie proporcji),
(zmniejszenie proporcji).
(układanie proporcji przez dodawanie),
(układanie proporcji przez odejmowanie).
Należy pamiętać, że sporządzanie proporcji to kolejny sposób rozwiązywania problemów związanych z procentami.
Na przykład:
Cyna jest wytwarzana z minerału zwanego kasyterytem. Ile ton cyny otrzyma się z 25 ton kasyterytu, jeśli zawiera on 78% cyny?
Rozwiązanie. Niech dostaną trochę cyny. Przyjmując masę minerału jako 100%, piszemy:
Rozwiązując 25,78 = 100x stwierdzamy, że x = 19,5t.
Pojęcie proporcji jest ściśle powiązane z proporcjonalnością. Proporcjonalność- jest to stały stosunek dwóch wielkości do siebie. Na przykład im mocniej wciśniemy pedał gazu w samochodzie, tym szybciej będzie jechał.
Proporcjonalność może być bezpośrednia lub odwrotna.
Proporcjonalność bezpośrednia – wzrost jednej wartości pociąga za sobą wzrost drugiej.
Odwrotna proporcjonalność zachodzi, gdy kilkukrotny wzrost jednej wartości powoduje zmniejszenie drugiej o tę samą wartość. Kontynuacja poprzedniego przykład- odwrotna proporcjonalność między wciśnięciem pedału hamulca a prędkością samochodu - im mocniej wciśniemy hamulec, tym niższa będzie prędkość.
3,6:1,2 i 6,3:2,1 są równe, ponieważ wartości ilorazów są równe 3. Dlatego możemy zapisać równość 3,6:1,2 = 6,3:2,1 lub
Równość dwóch stosunków nazywa się proporcją.
Używając liter, proporcję zapisuje się w następujący sposób: a:b = c:d lub
Wpisy te brzmią: „Stosunek a do b jest równy stosunkowi c do d >>
lub „a ma się do b tak, jak c ma się do d >>
.
Proporcjonalnie, czyli a:b=c:d,
Liczby a i d nazywane są wyrazami skrajnymi, a liczby b i c nazywane są wyrazami środkowymi. W dalszej części założymy, że wszystkie wyrazy proporcji są różne od zera: .
W proporcji znajdujemy iloczyn jego skrajnych wyrazów i iloczyn jego środkowych wyrazów.
Otrzymujemy 3,6 2,1 = 7,56; 1,2 6,3 = 7,56. Zatem 3,6 2,1 = 1,2 6,3.
W odpowiedniej proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. Prawdziwe jest również stwierdzenie odwrotne: jeśli iloczyn skrajnych składników jest równy iloczynowi środkowych składników proporcji, to proporcja jest prawidłowa.
Właściwość ta nazywana jest podstawową właściwością proporcji.
Proporcja 20:16 = 5:4 jest poprawna, ponieważ 20 4 = 16 5 = 80. Zamieńmy wyrazy środkowe w tej proporcji.
Otrzymujemy nową proporcję: 20:5 = 16:4. Jest to również poprawne, ponieważ przy takim przegrupowaniu iloczyn skrajności i iloczyn wyrazów środkowych nie uległy zmianie. Produkty te nie ulegną zmianie, jeśli zamienimy skrajne wyrazy w proporcji 20:5 = 16:4.
Jeśli człony środkowe lub człony skrajne zostaną zamienione w odpowiedniej proporcji, wówczas powstałe nowe proporcje również będą prawidłowe.
748. Przestawiając środkowy lub skrajny człon proporcji, utwórz z proporcji trzy nowe prawidłowe proporcje:
749. Korzystając z prawidłowej równości 4 9 = 0,2 · 180, utwórz cztery prawidłowe proporcje.
P 750. Oblicz ustnie:
751. Jaki znak akcji należy zastąpić *, aby otrzymać poprawną równość:
752. Znajdź stosunek ilości:
a) 1,5 m i 30 cm;
b) 1 kg i 250 g;
c) 1 godzina i 15 minut;
d) 50 cm 2 i 1 dm 2.
753. liczby są równe tej liczbie. Co to jest numer?
754. Jaką liczbę należy dodać do licznika i mianownika ułamka, aby otrzymać ułamek?
M 755. Które z liczb (ryc. 33) są zmianami:
a) pryzmat czworokątny; b) pryzmat trójkątny; c) trójkątna piramida?
756. Z armaty oddano 50 strzałów, z czego 5 kul przeleciało obok celu. Definiować.
757. Kąt A ma 30°, a kąt B 50°. Jaka część kąta A należy do kąta B? Ile razy kąt B jest większy od kąta A?
758. Brygada otrzymała zadanie zebrania 280 kwintali winogron. Zebrała 350 kwintali. O ile procent zespół przekroczył zadanie? W jakim procencie zespół wykonał zadanie?
759. W parku posadzono klony i dęby, po jednym dębie na 4 klony. Jaki procent wszystkich zasadzonych drzew stanowią klony? Ile drzew posadzono w parku, jeśli posadzono 480 klonów?
D 760. Czy proporcja jest prawidłowa:
a) 2,04:0,6 = 2,72:0,8; b) 0,0112:0,28=0,204:0,51?
761. Rozwiąż równanie:
762. Z 225 kg rudy uzyskano 34,2 kg miedzi. Jaka jest zawartość procentowa miedzi w rudzie?
763. Po 2 godzinach od opuszczenia stacji A lokomotywa spalinowa zwiększyła prędkość o 12 km/h i po 5 godzinach od rozpoczęcia ruchu dojechała do celu B. Jaka była prędkość lokomotywy spalinowej na początku jazdy, jeżeli odległość z A do B wynosi 261 km?
764. Jeśli do nieznanej liczby dodasz 0,8, otrzymasz 1,2. Znajdź nieznany numer.
765. Wykonaj następujące kroki:
N.Ya.Vilenkin, A.S. Czesnokow, S.I. Shvartsburd, V.I. Żochow, Matematyka dla klasy 6, Podręcznik do liceum
Planowanie tematyczne kalendarza w matematyce, wideo o matematyce online, matematyka w szkole do pobrania
