Žodis „proporcija“ kilęs iš lotyniškos šaknies ir reiškia „proporcija“. Žmonės dažnai jį naudoja kasdieniame gyvenime. Jie kalba, pavyzdžiui, apie žmogaus kūno proporcijas arba apie proporcijas gaminant maistą. Šiandien išsiaiškinsime, ką matematikai reiškia šiuo žodžiu.
Panagrinėkime du santykius. Mes prisimename, kad santykis yra dviejų skaičių koeficientas.
Atkreipkite dėmesį, kad tiek pirmuoju, tiek antruoju atveju koeficiento reikšmė yra trys. Prieš mus yra du lygūs santykiai. Užrašykime lygybę.
Penkiolika yra penki, kaip dvidešimt keturi yra aštuoni. Ši lygybė vadinama proporcija. Kartais ši lygybė rašoma kaip paprastųjų trupmenų lygybė.
Suformuluokime apibrėžimą: Dviejų santykių lygybė vadinama proporcija.
Naudojant raides, proporciją galima parašyti:
Požiūris aĮ b lygus santykiui cĮ d. Kartais proporcija skaitoma kitaip: „ a tai taikoma b, Kaip c nurodo d». Proporcijoje dalyvaujantys skaičiai vadinami proporcijos terminais. Manoma, kad visi terminai skiriasi nuo nulio.
Skaičiai a Ir d vadinami kraštutiniais proporcijos nariais ir skaičiais b Ir c- vidutiniai nariai. Iš tiesų, pirmame skaičiaus rašymo variante b Ir c yra viduryje, o skaičiai a Ir d ant krašto.
Anksčiau aptarta proporcija 
Raskime jo vidurinio ir kraštutinio termino sandaugą.
Atkreipkite dėmesį, kad du gauti produktai yra lygūs.
Suformuluokime pagrindinę proporcijos savybę bendra forma.
Tinkama proporcija kraštutinių narių sandauga yra lygi vidurinių narių sandaugai.
Priešingai irgi tiesa.
Jei kraštutinių dalių sandauga yra lygi vidurinių proporcijos narių sandaugai, tada proporcijatiesa.
Raskime nežinomą proporcijos narį, tai yra, išspręskime proporciją.
Skaičiai 0,5 ir 13 yra kraštutiniai terminai; numeriai a ir 2 yra viduriniai terminai. Panaudokime pagrindinę proporcijos savybę.
Išspręskime proporciją.
Naudodami pagrindinę proporcijos savybę, gauname:
Norėdami atsikratyti vardiklio po kablelio, trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 10. Sumažinkite gautą trupmeną 4 ir vėl 4.
Patikrinkite, ar šios proporcijos yra teisingos:
Atlikdami šią užduotį, turite patikrinti, ar santykių lygybė iš tikrųjų galioja.
Raskime kiekvienos proporcijos vidurkių sandaugą ir kraštutinumų sandaugą. Jei gauti produktai yra lygūs, tada proporcija yra teisinga. Priešingu atveju proporcija neteisinga.
teisinga proporcija, nes
neteisinga proporcija, nes .
Jei vidutiniai arba kraštutiniai terminai yra sukeisti teisinga proporcija, tada gautos naujos proporcijos taip pat yra teisingos.
Taip yra todėl, kad su tokiu pertvarkymu kraštutinių ir vidurinių terminų sandauga nesikeičia.
Pažiūrėkime į pavyzdį. Iš šios proporcijos gaukite du naujus, pertvarkant kraštutinį ir vidurinį terminą. Pirma, pertvarkykime vidurinius terminus (1 pav.).
Ryžiai. 1. Vidurinių terminų pertvarkymas
Iš tiesų, vidutinio ir kraštutinumo sandauga nepasikeitė, o tai reiškia, kad gauta proporcija yra teisinga. Pertvarkykime kraštutinius terminus (2 pav.).
Ryžiai. 2. Kraštutinių narių pertvarkymas
Ir šiuo atveju vidutinio ir kraštutinumo sandauga nepasikeitė. Gavome teisingą proporciją.
Bibliografija
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012 m.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6 klasė. - Gimnazija. 2006 m.
- Depmanas I.Ya., Vilenkinas N.Ya. Už matematikos vadovėlio puslapių. - M.: Išsilavinimas, 1989 m.
- Rurukinas A.N., Čaikovskis I.V. Matematikos kurso užduotys 5-6 klasėms. - M.: ZSh MEPhI, 2011 m.
- Rurukinas A.N., Sočilovas S.V., Čaikovskis K.G. Matematika 5-6. Vadovas MEPhI neakivaizdinės mokyklos 6 klasės mokiniams. - M.: ZSh MEPhI, 2011 m.
- Ševrinas L.N., Geinas A.G., Koryakovas I.O., Volkovas M.V. Matematika: Vadovėlis-pašnekovas 5-6 vidurinės mokyklos klasėms. - M.: Edukacija, Matematikos mokytojų biblioteka, 1989 m.
- Matematika ().
- Interneto portalas Math-portal.ru ().
Namų darbai
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012: Nr.762 (a, d, d), Nr.765, Nr.777.
- Kitos užduotys: Nr.767, Nr.775.
(nuo lat. rgorortio- „sulyginamumas“).
Jei santykis A: b lygus santykiui Su:d, tada tapatybė A:b= s:d paskambino proporcija.
Jei , tada lygybė išliks šiais atvejais:
(proporcingas padidėjimas),
(sumažėja proporcingai).
(proporcijų sudarymas pridedant),
(proporcijų sudarymas atėmimo būdu).
Atkreipkite dėmesį, kad proporcijų sudarymas yra dar vienas būdas išspręsti problemas, susijusias su procentais.
Pavyzdžiui:
Alavas gaminamas iš mineralo, vadinamo kasiteritu. Kiek tonų alavo bus gauta iš 25 tonų kasiterito, jei jame yra 78% alavo?
Sprendimas. Leisk jiems gauti skardos. Laikydami mineralo masę 100%, rašome:
Išsprendę 25,78 = 100x, nustatome, kad x = 19,5 t.
Proporcingumo samprata glaudžiai susijusi su proporcingumu. Proporcingumas- tai yra pastovus dviejų dydžių santykis vienas su kitu. Pavyzdžiui, kuo daugiau automobilyje spausime dujų pedalą, tuo jis važiuos greičiau.
Proporcingumas gali būti tiesioginis arba atvirkštinis.
Tiesioginis proporcingumas – vienos vertės augimas reiškia kitos augimą.
Atvirkštinis proporcingumas egzistuoja, kai vienos vertės padidėjimas kelis kartus sumažina kitą tiek pat. Tęsiant nuo ankstesnio pavyzdys- atvirkštinis proporcingumas tarp stabdžių pedalo paspaudimo ir automobilio greičio - kuo labiau spaudžiame stabdį, tuo greitis bus mažesnis.
3.6:1.2 ir 6.3:2.1 yra lygūs, nes koeficientų reikšmės yra lygios 3. Todėl galime parašyti lygybę 3.6:1.2 = 6.3:2.1, arba
Dviejų santykių lygybė vadinama proporcija.
Naudojant raides proporcija rašoma taip: a:b = c:d arba
Šie įrašai skamba taip: „A ir b santykis yra lygus c ir d santykiui >>
arba „a yra b kaip c yra d >>
.
Proporcingai arba a:b=c:d,
Skaičiai a ir d vadinami kraštutiniais, o skaičiai b ir c – viduriniais. Toliau darysime prielaidą, kad visos proporcijos dalys skiriasi nuo nulio: .
Proporcingai randame jos kraštutinių ir vidurinių terminų sandaugą.
Gauname 3,6 2,1 = 7,56; 1,2 6,3 = 7,56. Taigi, 3,6 2,1 = 1,2 6,3.
Tinkama proporcija kraštinių narių sandauga yra lygi vidurinių narių sandaugai. Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei kraštutinių narių sandauga yra lygi vidurinių proporcijos narių sandaugai, tai proporcija yra teisinga.
Ši savybė vadinama pagrindine proporcijos savybe.
Proporcija 20:16 = 5:4 yra teisinga, nes 20 4 = 16 5 = 80. Sukeiskime vidurinius narius šia proporcija.
Gauname naują proporciją: 20:5 = 16:4. Tai taip pat teisinga, nes su tokiu pertvarkymu kraštutinio ir vidurinio termino sandauga nepasikeitė. Šie produktai nepasikeis, jei kraštutiniai terminai santykiu 20:5 = 16:4 bus sukeisti.
Jei viduriniai ar kraštutiniai elementai yra sukeisti teisinga proporcija, tada gautos naujos proporcijos taip pat yra teisingos.
748. Pertvarkydami vidurinį arba kraštutinį proporcijos narį, iš proporcijos sukurkite tris naujas teisingas proporcijas:
749. Naudodami teisingą lygybę 4 9 = 0,2 180, sukurkite keturias teisingas proporcijas.
P 750. Apskaičiuokite žodžiu:
751. Kokį veiksmo ženklą reikia pakeisti vietoj *, kad gautume teisingą lygybę:
752. Raskite dydžių santykį:
a) 1,5 m ir 30 cm;
b) 1 kg ir 250 g;
c) 1 valanda ir 15 minučių;
d) 50 cm 2 ir 1 dm 2.
753. skaičiai yra lygūs šiam skaičiui. Kas čia numerį?
754. Kokį skaičių reikia pridėti prie trupmenos skaitiklio ir vardiklio, kad gautume trupmeną?
M 755. Kurie iš paveikslų (33 pav.) yra pokyčiai:
a) keturkampė prizmė; b) trikampė prizmė; c) trikampė piramidė?
756. Iš ginklo buvo paleista 50 šūvių, pro taikinį praskriejo 5 kulkos. Apibrėžkite.
757. Kampas A yra 30°, o kampas B yra 50°. Kokia kampo A dalis yra nuo kampo B? Kiek kartų kampas B yra didesnis už kampą A?
758. Brigadai buvo pavesta surinkti 280 centnerių vynuogių. Ji surinko 350 centnerių. Kiek procentų komanda viršijo užduotį? Kiek procentų komanda atliko užduotį?
759.Parke pasodinti klevai ir ąžuolai, po vieną ąžuolą 4 klevams. Kiek procentų visų pasodintų medžių sudaro klevai? Kiek medžių buvo pasodinta parke, jei pasodinta 480 klevų?
D 760. Ar teisinga proporcija:
a) 2,04:0,6 = 2,72:0,8; b) 0,0112:0,28=0,204:0,51?
761. Išspręskite lygtį:
762. Iš 225 kg rūdos gauta 34,2 kg vario. Koks vario procentas yra rūdoje?
763. 2 valandas po išvažiavimo iš stoties A dyzelinis lokomotyvas padidino greitį 12 km/h ir praėjus 5 valandoms nuo judėjimo pradžios atvyko į tikslą B. Koks buvo dyzelinio lokomotyvo greitis kelionės pradžioje, jei atstumas nuo A iki B yra 261 km?
764. Jei prie nežinomo skaičiaus pridėsite 0,8, gausite 1,2. Raskite nežinomą numerį.
765. Atlikite šiuos veiksmus:
N.Ya.Vilenkinas, A.S. Česnokovas, S.I. Shvartsburd, V.I. Matematika 6 klasei, Vadovėlis gimnazijai
Kalendoriaus teminis planavimas matematikoje, vaizdo įrašas apie matematiką internete, matematika mokykloje parsisiųsti
