Grau e suas propriedades. O Guia Abrangente (2019)

Quando o número se multiplica para mim mesmo, trabalhar chamado grau.

Então 2,2 = 4, quadrado ou segunda potência de 2
2.2.2 = 8, cubo ou terceira potência.
2.2.2.2 = 16, quarto grau.

Além disso, 10,10 = 100, a segunda potência de 10.
10.10.10 = 1000, terceira potência.
10.10.10.10 = 10.000 quarta potência.

E a.a = aa, segunda potência de a
a.a.a = aaa, terceira potência de a
a.a.a.a = aaaa, quarta potência de a

O número original é chamado raiz potências deste número porque é o número a partir do qual as potências foram criadas.

Contudo, não é totalmente conveniente, especialmente no caso de altos poderes, anotar todos os fatores que compõem os poderes. Portanto, um método de notação abreviada é usado. A raiz do grau é escrita apenas uma vez, e à direita e um pouco mais acima perto dela, mas em fonte um pouco menor, está escrito quantas vezes a raiz atua como um fator. Este número ou letra é chamado expoente ou grau números. Portanto, a 2 é igual a a.a ou aa, porque a raiz a deve ser multiplicada por si mesma duas vezes para obter a potência aa. Além disso, a 3 significa aaa, ou seja, aqui a é repetido três vezes como multiplicador.

O expoente do primeiro grau é 1, mas geralmente não é anotado. Então, um 1 é escrito como a.

Você não deve confundir graus com coeficientes. O coeficiente mostra com que frequência o valor é considerado Papel o todo. A potência mostra quantas vezes uma quantidade é tomada como fator no trabalho.
Então, 4a = a + a + a + a. Mas a 4 = a.a.a.a

O esquema de notação de potência tem a vantagem peculiar de nos permitir expressar desconhecido grau. Para este propósito, o expoente é escrito em vez de um número carta. No processo de resolução de um problema, podemos obter uma quantidade que sabemos ser alguns grau de outra grandeza. Mas até agora não sabemos se é um quadrado, um cubo ou outro grau superior. Então, na expressão a x, o expoente significa que esta expressão tem alguns grau, embora indefinido qual grau. Portanto, b m e d n são elevados às potências de m e n. Quando o expoente é encontrado, númeroé substituído em vez de uma letra. Então, se m=3, então b m = b 3 ; mas se m = 5, então b m =b 5.

O método de escrever valores usando potências também é uma grande vantagem ao usar expressões. Assim, (a + b + d) 3 é (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), ou seja, o cubo do trinômio (a + b + d) . Mas se escrevermos esta expressão depois de elevá-la a um cubo, ela ficará assim
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Se tomarmos uma série de potências cujos expoentes aumentam ou diminuem de 1, descobrimos que o produto aumenta de multiplicador comum ou diminui em divisor comum, e esse fator ou divisor é o número original elevado a uma potência.

Então, na série aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
ou 5, 4, 3, 2, 1;
os indicadores, se contados da direita para a esquerda, são 1, 2, 3, 4, 5; e a diferença entre seus valores é 1. Se começarmos na direita multiplicar por a, obteremos vários valores com sucesso.

Então a.a = a 2 , segundo termo. E um 3 .a = um 4
a 2 .a = a 3 , terceiro termo. a 4 .a = a 5 .

Se começarmos esquerda dividir para um,
obtemos a 5:a = a 4 e a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Mas este processo de divisão pode continuar e obteremos um novo conjunto de valores.

Então, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

A linha completa seria: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Ou um 5, um 4, um 3, um 2, um, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Aqui estão os valores na direita de um há reverter valores à esquerda de um. Portanto, esses graus podem ser chamados potências inversas a. Também podemos dizer que as potências da esquerda são inversas das potências da direita.

Então, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. E 1:(1/a 3) = a 3.

O mesmo plano de gravação pode ser aplicado a polinômios. Então, para a + b, obtemos o conjunto,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Por conveniência, outra forma de escrever potências recíprocas é usada.

De acordo com esta forma, 1/a ou 1/a 1 = a -1. E 1/aaa ou 1/a 3 = a -3 .
1/aa ou 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa ou 1/a 4 = a -4 .

E para fazer uma série completa com 1 como diferença total com expoentes, a/a ou 1 é considerado algo que não tem grau e é escrito como 0 .

Então, levando em conta as potências direta e inversa
em vez de aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
você pode escrever 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4.
Ou +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.

E uma série apenas de graus individuais será semelhante a:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

A raiz de um grau pode ser expressa por mais de uma letra.

Assim, aa.aa ou (aa) 2 é a segunda potência de aa.
E aa.aa.aa ou (aa) 3 é a terceira potência de aa.

Todas as potências do número 1 são iguais: 1.1 ou 1.1.1. será igual a 1.

Exponenciação é encontrar o valor de qualquer número multiplicando esse número por ele mesmo. Regra para exponenciação:

Multiplique a quantidade por ela mesma quantas vezes for indicada na potência do número.

Esta regra é comum a todos os exemplos que possam surgir durante o processo de exponenciação. Mas é correcto dar uma explicação de como isso se aplica a casos particulares.

Se apenas um termo for elevado a uma potência, ele será multiplicado por si mesmo quantas vezes for indicado pelo expoente.

A quarta potência de a é 4 ou aaaa. (Art. 195.)
A sexta potência de y é y 6 ou yyyyyy.
A enésima potência de x é x n ou xxx..... n vezes repetida.

Se for necessário elevar uma expressão de vários termos a uma potência, o princípio de que a potência do produto de vários fatores é igual ao produto desses fatores elevado a uma potência.

Então (sim) 2 =a 2 y 2 ; (ai) 2 = sim.ai.
Mas ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Então, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Portanto, ao encontrar a potência de um produto, podemos operar com o produto inteiro de uma vez, ou podemos operar com cada fator separadamente, e então multiplicar seus valores pelas potências.

Exemplo 1. A quarta potência de dhy é (dhy) 4, ou d 4 h 4 y 4.

Exemplo 2. A terceira potência é 4b, existe (4b) 3, ou 4 3 b 3, ou 64b 3.

Exemplo 3. A enésima potência de 6ad é (6ad) n ou 6 n e n.

Exemplo 4. A terceira potência de 3m.2y é (3m.2y) 3, ou 27m 3 .8y 3.

O grau de um binômio, composto por termos conectados por + e -, é calculado multiplicando seus termos. Sim,

(a + b) 1 = a + b, primeiro grau.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, segunda potência (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, terceira potência.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, quarta potência.

O quadrado de a - b é a 2 - 2ab + b 2.

O quadrado de a + b + h é a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Exercício 1. Encontre o cubo a + 2d + 3

Exercício 2. Encontre a quarta potência de b + 2.

Exercício 3. Encontre a quinta potência de x + 1.

Exercício 4. Encontre a sexta potência 1 - b.

Soma de quadrados valores E diferenças binômios ocorrem com tanta frequência na álgebra que é necessário conhecê-los muito bem.

Se multiplicarmos a + h por si mesmo ou a - h por si só,
obtemos: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 também, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Isto mostra que em cada caso, o primeiro e o último termos são os quadrados de a e h, e o termo do meio é duas vezes o produto de a e h. A partir daqui, o quadrado da soma e da diferença dos binômios pode ser encontrado usando a seguinte regra.

O quadrado de um binômio, cujos dois termos são positivos, é igual ao quadrado do primeiro termo + duas vezes o produto de ambos os termos + o quadrado do último termo.

Quadrado diferenças binômios é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto de ambos os termos mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo 1. Quadrado 2a + b, há 4a 2 + 4ab + b 2.

Exemplo 2. Quadrado ab + cd, há 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Exemplo 3. Quadrado 3d - h, há 9d 2 + 6dh + h 2.

Exemplo 4. O quadrado a - 1 é 2 - 2a + 1.

Para obter um método para encontrar potências superiores de binômios, consulte as seções a seguir.

Em muitos casos é eficaz anotar graus sem multiplicação.

Portanto, o quadrado de a + b é (a + b) 2.
A enésima potência de bc + 8 + x é (bc + 8 + x) n

Nesses casos, os parênteses cobrem Todos membros em graduação.

Mas se a raiz do grau consiste em vários multiplicadores, os parênteses podem cobrir toda a expressão ou podem ser aplicados separadamente aos fatores dependendo da conveniência.

Assim, o quadrado (a + b)(c + d) é [(a + b).(c + d)] 2 ou (a + b) 2 .(c + d) 2.

Para a primeira destas expressões, o resultado é o quadrado do produto de dois fatores, e para a segunda, o resultado é o produto dos seus quadrados. Mas eles são iguais entre si.

O cubo a.(b + d), é 3, ou a 3.(b + d) 3.

A sinalização na frente dos associados envolvidos também deve ser levada em consideração. É muito importante lembrar que quando a raiz de um grau é positiva, todas as suas potências positivas também são positivas. Mas quando a raiz é negativa, os valores com chance potências são negativas, enquanto os valores até graus são positivos.

O segundo grau (- a) é +a 2
O terceiro grau (-a) é -a 3
A quarta potência (-a) é +a 4
A quinta potência (-a) é -a 5

Daí qualquer chance o grau tem o mesmo sinal que o número. Mas até o grau é positivo independentemente de o número ter sinal negativo ou positivo.
Então, +a.+a = +a 2
E -a.-a = +a 2

Uma quantidade que já foi elevada a uma potência é elevada novamente a uma potência multiplicando os expoentes.

A terceira potência de 2 é 2,3 = 6.

Para a 2 = aa; cubo aa é aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; que é a sexta potência de a, mas a terceira potência de a 2.

A quarta potência de a 3 b 2 é a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

A terceira potência de 4a 2 x é 64a 6 x 3.

A quinta potência de (a + b) 2 é (a + b) 10.

A enésima potência de 3 é 3n

A enésima potência de (x - y) m é (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2h 4) 3 = a 9 b 6h 12

A regra se aplica igualmente a negativo graus.

Exemplo 1. A terceira potência de a -2 é a -3,3 =a -6.

Para a -2 = 1/aa, e a terceira potência deste
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaa = 1/a 6 = a -6

A quarta potência de a 2 b -3 é 8 b -12 ou 8 /b 12.

O quadrado é b 3 x -1, existe b 6 x -2.

A enésima potência de ax -m é x -mn ou 1/x.

Contudo, devemos lembrar aqui que se o sinal anterior grau for "-", então deverá ser alterado para "+" sempre que o grau for um número par.

Exemplo 1. O quadrado -a 3 é +a 6. O quadrado de -a 3 é -a 3 .-a 3, que, de acordo com as regras de sinais na multiplicação, é +a 6.

2. Mas o cubo -a 3 é -a 9. Para -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. A enésima potência -a 3 é 3n.

Aqui o resultado pode ser positivo ou negativo dependendo se n é par ou ímpar.

Se fraçãoé elevado a uma potência, então o numerador e o denominador são elevados a uma potência.

O quadrado de a/b é a 2 /b 2 . De acordo com a regra de multiplicação de frações,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

A segunda, terceira e enésima potências de 1/a são 1/a 2, 1/a 3 e 1/a n.

Exemplos binômios, em que um dos termos é uma fração.

1. Encontre o quadrado de x + 1/2 e x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. O quadrado de a + 2/3 é 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Quadrado x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 O quadrado de x - b/m é x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Anteriormente foi mostrado que coeficiente fracionário pode ser movido do numerador para o denominador ou do denominador para o numerador. Usando o esquema para escrever poderes recíprocos, fica claro que qualquer multiplicador também pode ser movido, se o sinal do grau for alterado.

Assim, na fração ax -2 /y, podemos mover x do numerador para o denominador.
Então ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Na fração a/por 3, podemos mover y do denominador para o numerador.
Então a/por 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Da mesma forma, podemos mover um fator que tem um expoente positivo para o numerador ou um fator com um expoente negativo para o denominador.

Então, machado 3 /b = a/bx -3. Para x 3 o inverso é x -3 , que é x 3 = 1/x -3 .

Portanto, o denominador de qualquer fração pode ser totalmente removido, ou o numerador pode ser reduzido a um, sem alterar o significado da expressão.

Então, a/b = 1/ba -1 ou ab -1 .

Neste artigo vamos descobrir o que é grau de. Aqui daremos definições da potência de um número, enquanto consideraremos detalhadamente todos os expoentes possíveis, começando com o expoente natural e terminando com o irracional. No material você encontrará muitos exemplos de graus, abrangendo todas as sutilezas que surgem.

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Potência com expoente natural, quadrado de um número, cubo de um número

Vamos começar com . Olhando adiante, digamos que a definição da potência de um número a com expoente natural n seja dada para a, que chamaremos base de graduação, e n, que chamaremos expoente. Observamos também que um grau com expoente natural é determinado por meio de um produto, portanto, para entender o material abaixo é necessário ter conhecimento de multiplicação de números.

Definição.

Potência de um número com expoente natural né uma expressão da forma a n, cujo valor é igual ao produto de n fatores, cada um dos quais é igual a a, ou seja, .
Em particular, a potência de um número a com expoente 1 é o próprio número a, ou seja, a 1 =a.

Vale a pena mencionar desde já as regras para a leitura dos diplomas. A forma universal de ler a notação a n é: “a elevado a n”. Em alguns casos, as seguintes opções também são aceitáveis: “a elevado à enésima potência” e “enésima potência de a”. Por exemplo, vamos pegar a potência 8 12, que é “oito elevado a doze”, ou “oito elevado à décima segunda potência”, ou “décima segunda potência de oito”.

A segunda potência de um número, assim como a terceira potência de um número, têm seus próprios nomes. A segunda potência de um número é chamada eleve o número ao quadrado, por exemplo, 7 2 é lido como “sete ao quadrado” ou “o quadrado do número sete”. A terceira potência de um número é chamada números ao cubo, por exemplo, 5 3 pode ser lido como “cinco ao cubo” ou você pode dizer “cubo do número 5”.

É hora de trazer exemplos de graus com expoentes naturais. Vamos começar com o grau 5 7, aqui 5 é a base do grau e 7 é o expoente. Vamos dar outro exemplo: 4,32 é a base, e o número natural 9 é o expoente (4,32) 9 .

Observe que no último exemplo a base da potência 4,32 está escrita entre parênteses: para evitar discrepâncias, colocaremos entre parênteses todas as bases da potência que sejam diferentes dos números naturais. Como exemplo, damos os seguintes graus com expoentes naturais , suas bases não são números naturais, portanto são escritas entre parênteses. Bem, para maior clareza, neste ponto mostraremos a diferença contida nos registros da forma (−2) 3 e −2 3. A expressão (−2) 3 é uma potência de −2 com um expoente natural de 3, e a expressão −2 3 (pode ser escrita como −(2 3) ) corresponde ao número, o valor da potência 2 3 .

Observe que existe uma notação para a potência de um número a com um expoente n na forma a^n. Além disso, se n for um número natural com vários valores, o expoente será colocado entre colchetes. Por exemplo, 4^9 é outra notação para a potência de 4 9 . E aqui estão mais alguns exemplos de escrita de graus usando o símbolo “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . A seguir, usaremos principalmente a notação de grau na forma a n .

Um dos problemas inversos à elevação a uma potência com um expoente natural é o problema de encontrar a base de uma potência a partir de um valor conhecido da potência e de um expoente conhecido. Esta tarefa leva a.

Sabe-se que o conjunto dos números racionais é composto por inteiros e frações, e cada fração pode ser representada como uma fração ordinária positiva ou negativa. Definimos um grau com expoente inteiro no parágrafo anterior, portanto, para completar a definição de um grau com expoente racional, precisamos dar significado ao grau do número a com expoente fracionário m/n, onde m é um número inteiro e n é um número natural. Vamos fazê-lo.

Vamos considerar um grau com um expoente fracionário da forma . Para que a propriedade potência-potência permaneça válida, a igualdade deve ser válida . Se levarmos em conta a igualdade resultante e como determinamos , então é lógico aceitá-la, desde que para dados m, n e a a expressão faça sentido.

É fácil verificar que para todas as propriedades de um grau com expoente inteiro são válidas (isso foi feito na seção propriedades de um grau com expoente racional).

O raciocínio acima nos permite fazer o seguinte conclusão: se dados m, n e a a expressão fizer sentido, então a potência de a com um expoente fracionário m/n é chamada de enésima raiz de a elevada à potência de m.

Esta afirmação nos aproxima da definição de um grau com expoente fracionário. Resta apenas descrever em que m, n e a a expressão faz sentido. Dependendo das restrições impostas a m, n e a, existem duas abordagens principais.

A maneira mais fácil é impor uma restrição a a tomando a≥0 para m positivo e a>0 para m negativo (já que para m≤0 o grau 0 de m não está definido). Então obtemos a seguinte definição de grau com expoente fracionário.

Definição.

Potência de um número positivo a com expoente fracionário m/n, onde m é um número inteiro en é um número natural, é chamada de enésima raiz do número a elevado à potência m, ou seja, .

A potência fracionária de zero também é determinada com a única ressalva de que o indicador deve ser positivo.

Definição.

Potência de zero com expoente positivo fracionário m/n, onde m é um número inteiro positivo en é um número natural, é definido como .
Quando o grau não é determinado, ou seja, o grau do número zero com expoente fracionário negativo não faz sentido.

Deve-se notar que com esta definição de grau com expoente fracionário, há uma ressalva: para algum a negativo e alguns m e n, a expressão faz sentido, e descartamos esses casos introduzindo a condição a≥0. Por exemplo, as entradas fazem sentido ou, e a definição dada acima nos obriga a dizer que potências com um expoente fracionário da forma não faz sentido, pois a base não deve ser negativa.

Outra abordagem para determinar um grau com um expoente fracionário m/n é considerar separadamente os expoentes pares e ímpares da raiz. Esta abordagem requer uma condição adicional: a potência do número a, cujo expoente é , é considerada a potência do número a, cujo expoente é a fração irredutível correspondente (explicaremos a importância desta condição abaixo ). Ou seja, se m/n é uma fração irredutível, então para qualquer número natural k o grau é primeiro substituído por .

Para n par e m positivo, a expressão faz sentido para qualquer a não negativo (uma raiz par de um número negativo não faz sentido); para m negativo, o número a ainda deve ser diferente de zero (caso contrário, haverá divisão por zero). E para n ímpar e m positivo, o número a pode ser qualquer (a raiz de uma potência ímpar é definida para qualquer número real), e para m negativo, o número a deve ser diferente de zero (para que não haja divisão por zero).

O raciocínio acima nos leva a esta definição de grau com expoente fracionário.

Definição.

Seja m/n uma fração irredutível, m um inteiro e n um número natural. Para qualquer fração redutível, o grau é substituído por . A potência de um número com um expoente fracionário irredutível m/n é para



Vamos explicar por que um grau com um expoente fracionário redutível é primeiro substituído por um grau com um expoente irredutível. Se simplesmente definissemos o grau como , e não fizéssemos uma reserva sobre a irredutibilidade da fração m/n, então estaríamos diante de situações semelhantes à seguinte: como 6/10 = 3/5, então a igualdade deve ser válida , Mas , A .

Grau de

Então, vamos descobrir o que é uma potência de um número. Para escrever o produto de um número por si só, a notação abreviada é usada diversas vezes. Então, em vez do produto de seis fatores idênticos 4. 4. 4. 4. 4. 4 é escrito 4 6 e pronunciado “quatro elevado à sexta potência”.
4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 6

A expressão 4 6 é chamada de potência de um número, onde:
. 4 - grau básico;
. 6 é o expoente.

Em geral, um grau com base “a” e expoente “n” é escrito usando a expressão:

• A potência de um número “a” com expoente natural “n” maior que 1 é o produto de “n” fatores idênticos, cada um dos quais é igual ao número “a”.

A entrada a n é assim: “a elevado a n” ou “enésima potência de a”.

As exceções são as seguintes entradas:
. a 2 - pode ser pronunciado como “a ao quadrado”;
. a 3 - pode ser pronunciado como “ao cubo”.

• A potência do número “a” com expoente n = 1 é este próprio número:
• uma 1 = uma
• Qualquer número elevado a zero é igual a um.
• um 0 = 1
• Zero elevado a qualquer potência natural é igual a zero.
• 0 n = 0
• Um elevado a qualquer potência é igual a 1.
• 1 n = 1

A expressão 0 0 (zero elevado a zero) é considerada sem sentido.
. (-32) 0 = 1
. 0 234 = 0
. 1 4 = 1
Ao resolver exemplos, você precisa lembrar que elevar a uma potência significa encontrar o valor de uma potência.

Exemplo. Elevar a um poder.
. 5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
. 2.5 2 = 2.5 . 2.5 = 6.25
. (3 ) 4 = 3. 3. 3. 3 = 81
4 4 4 4 4 256

Elevando um número negativo à potência
A base (o número elevado à potência) pode ser qualquer número - positivo, negativo ou zero.

• Elevar um número positivo a uma potência produz um número positivo.

Quando zero é elevado a uma potência natural, o resultado é zero.
Quando um número negativo é elevado a uma potência, o resultado pode ser um número positivo ou um número negativo. Depende se o expoente era um número par ou ímpar.

Vejamos exemplos de elevação de números negativos a potências.


A partir dos exemplos considerados, fica claro que se um número negativo for elevado a uma potência ímpar, obter-se-á um número negativo. Já que o produto de um número ímpar de fatores negativos é negativo.

Se um número negativo for elevado a uma potência par, ele se tornará um número positivo. Já que o produto de um número par de fatores negativos é positivo.

Um número negativo elevado a uma potência par é um número positivo.

• Um número negativo elevado a uma potência ímpar é um número negativo.
• O quadrado de qualquer número é um número positivo ou zero, ou seja:
• a 2 ≥ 0 para qualquer a.

2 . (- 3) 2 = 2 . (- 3) . (- 3) = 2 . 9 = 18
. - 5 . (- 2) 3 = - 5 . (- 8) = 40

Observação!
Ao resolver exemplos de exponenciação, muitas vezes cometem-se erros, esquecendo-se que as notações (- 5) 4 e -5 4 são expressões diferentes. Os resultados da elevação destas expressões a potências serão diferentes.

Calcular (- 5) 4 significa encontrar o valor da quarta potência de um número negativo.
(- 5) 4 = (- 5) . (- 5) . (- 5) . (- 5) = 625

Embora encontrar -5 4 signifique que o exemplo precisa ser resolvido em 2 etapas:
1. Eleve o número positivo 5 à quarta potência.
5 4 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625
2. Coloque um sinal de menos antes do resultado obtido (ou seja, execute uma ação de subtração).
-5 4 = - 625
Exemplo. Calcule: - 6 2 - (- 1) 4
- 6 2 - (- 1) 4 = - 37

1. 6 2 = 6 . 6 = 36
2. -6 2 = - 36
3. (- 1) 4 = (- 1) . (- 1) . (- 1) . (- 1) = 1
4. - (- 1) 4 = - 1
5. - 36 - 1 = - 37

Procedimento em exemplos com graus
Calcular um valor é chamado de ação de exponenciação. Esta é a ação do terceiro estágio.

• Em expressões com potências que não contêm parênteses, a exponenciação é realizada primeiro, depois a multiplicação e a divisão e, por fim, a adição e a subtração.
• Se a expressão contiver parênteses, primeiro execute as ações entre parênteses na ordem indicada acima e, a seguir, execute as ações restantes na mesma ordem, da esquerda para a direita.

Exemplo. Calcular:

Propriedades de grau

Uma potência com expoente natural possui diversas propriedades importantes que nos permitem simplificar os cálculos em exemplos com potências.
Propriedade nº 1
Produto de potências

• Ao multiplicar potências com as mesmas bases, a base permanece inalterada e os expoentes das potências são somados.
• sou. uma n = uma m + n , onde a é qualquer número e m, n são quaisquer números naturais.

Esta propriedade das potências também se aplica ao produto de três ou mais potências.
Exemplos.
. Simplifique a expressão.
b. b2. b3. b4. b 5 = b 1+2+3+4+5 = b 15

6 15 . 36 = 6 15 . 6 2 = 6 15+2 = 6 17

Apresente-o como um diploma.
(0,8) 3 . (0,8) 12 = (0,8) 3+12 = (0,8) 15

• Observe que na propriedade indicada estávamos falando apenas da multiplicação de potências com as mesmas bases. Não se aplica à sua adição.
• Você não pode substituir a soma (3 3 + 3 2) por 3 3. Isso é compreensível se você contar 3 3 = 27 e 3 2 = 9; 27 + 9 = 36 e 3 5 = 243

Propriedade nº 2
Graus parciais

• Ao dividir potências com as mesmas bases, a base permanece inalterada e o expoente do divisor é subtraído do expoente do dividendo.
• sou. a n = a m-n, onde a é qualquer número diferente de zero, e m, n são quaisquer números naturais tais que m > n.

Exemplos.
. Escreva o quociente como uma potência
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5-3 = (2b) 2

Exemplo. Resolva a equação. Usamos a propriedade das potências quocientes.
3 8: t = 3 4

t = 3 8: 3 4

t = 3 8-4

t = 3 4

Resposta: t = 3 4 = 81

Usando as propriedades nº 1 e nº 2, você pode simplificar facilmente expressões e realizar cálculos.
. Exemplo. Simplifique a expressão.
4 5m+6 . 4m+2: 4 4m+3 = 4 5m+6+m+2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

Observe que na Propriedade 2 estávamos falando apenas sobre divisão de potências com as mesmas bases.
Você não pode substituir a diferença (4 3 - 4 2) por 4 1. Isso é compreensível se você contar 4 3 = 64 e 4 2 = 16; 64 - 16 = 48 e 4 1 = 4
Tome cuidado!

Propriedade nº 3
Elevando um grau a um poder

• Ao elevar um grau a uma potência, a base do grau permanece inalterada e os expoentes são multiplicados.
• (um) m = um n . m, onde a é qualquer número e m, n são quaisquer números naturais.

Exemplo.
(uma 4) 6 = uma 4 . 6 = um 24
. Exemplo. Expresse 3 20 como uma potência com base 32.
Pela propriedade de elevar um grau a uma potência Sabe-se que quando elevados a uma potência os expoentes se multiplicam, o que significa:

Propriedades 4
Poder do produto

• Quando uma potência é elevada a uma potência de produto, cada fator é elevado a essa potência e os resultados são multiplicados.
• (a. b) n = a n. b n , onde a, b são quaisquer números racionais; n - qualquer número natural.

Exemplo 1.

(6 . a 2 . b 3 . c) 2 = 6 2 . um 2. 2. b3. 2. a partir de 1 . 2 = 36 a 4 . b6. de 2

Exemplo 2.

(- x 2 . y) 6 = ((- 1) 6 . x 2 . 6 . y 1 . 6) = x 12 . e 6

Observe que a propriedade nº 4, como outras propriedades de graus, também é aplicada na ordem inversa.
(a n . b n)= (a . b) n

Ou seja, para multiplicar potências com os mesmos expoentes, você pode multiplicar as bases, mas deixar o expoente inalterado.
. Exemplo. Calcular.

2 4 . 5 4 = (2 . 5) 4 = 10 4 = 10 000

Exemplo. Calcular.

0,5 16 . 2 16 = (0,5 . 2) 16 = 1

Em exemplos mais complexos, pode haver casos em que a multiplicação e a divisão devam ser realizadas sobre potências com bases e expoentes diferentes. Neste caso, aconselhamos que você faça o seguinte.
Por exemplo, 4 5. 3 2 = 4 3. 4 2. 3 2 = 4 3 . (4.3)2 = 64. 12 2 = 64. 144 = 9216

Um exemplo de elevação de um decimal a uma potência.
4 21 . (-0,25) 20 = 4 . 4 20 . (-0,25) 20 = 4 . (4 . (-0,25)) 20 = 4 . (- 1) 20 = 4 . 1 = 4

Propriedades 5
Potência de um quociente (fração)

• Para elevar um quociente a uma potência, você pode elevar o dividendo e o divisor separadamente a esta potência e dividir o primeiro resultado pelo segundo.
• (a: b) n = a n: b n, onde a, b são quaisquer números racionais, b ≠ 0, n é qualquer número natural.

Exemplo. Apresente a expressão como um quociente de potências.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Elevando uma fração a uma potência

• Ao elevar uma fração a uma potência, você deve elevar o numerador e o denominador a uma potência.

Exemplos de elevação de frações a potências.

Como elevar um número misto a uma potência
Para elevar um número misto a uma potência, primeiro eliminamos a parte inteira, transformando o número misto em uma fração imprópria. Depois disso, elevamos o numerador e o denominador a uma potência.
Exemplo.

A fórmula para elevar uma fração a uma potência é usada tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda, ou seja, para dividir os graus entre si pelos mesmos expoentes, pode-se dividir uma base pela outra, e deixar o expoente inalterado.

Exemplo. Encontre o significado da expressão de forma racional.

Propriedades dos graus

terceira potência do número

Descrições alternativas

Corpo geométrico

Figura geométrica

Recipiente para destilar e ferver líquidos

Trio de matemática

Quadrado volumétrico

Poliedro regular

A planta da qual foi extraída a tinta de cuba

Terceiro grau (matemática)

Hexágono

Um caso especial de prisma

Medida de volume

Forma de registro

Hexaedro

Hexágono correto

O sal de cozinha e o sulfeto de zinco cristalizam na forma desta figura geométrica.

Este poliedro regular tem 6 faces

Este poliedro regular tem 8 vértices

Que figura geométrica possui o antigo santuário da Kaaba?

Corpo quadrado em todos os lados

Um corpo geométrico cujas três projeções são todas quadradas

Número multiplicado três vezes

Unidade em que a madeira cortada é medida

Uma das formas de cobertura de casas de toras

Terceiro grau (matemática)

Hexaedro de forma simples

Quadrado 3D

Hexaedro regular

Faz um dois um oito

Hexágono direito

Poliedro

Medida de madeira cortada

Forma do santuário Kaaba

Terceiro grau para matemático

Poliedro com 8 vértices

Forma de cristal de sal

Todas as suas projeções são quadradas

Medida de volume para logs

Combinando 6 quadrados

Possuidor de seis costelas

Terceiro grau em matemática

Possuidor de doze costelas

Destilação...

Hexágono correto

Corpo geométrico, poliedro regular

Recipiente para destilar e ferver líquidos

Poliedro regular com seis faces

M. vaso de destilação, alambique, projétil para destilação de líquidos, esp. vinho O cubo pode ser de vidro, argila, cobre, etc., de diversos tamanhos e tipos; ele é bem coberto com uma tampa, e o líquido de destilação vai aos pares para a garganta, pescoço e de lá para a geladeira e flui para o receptor. geômetra. um corpo retangular equilátero delimitado por seis quadrados iguais: um dado, ou baú, que tem quatro lados, uma tampa e um fundo de uma medida, representa um cubo. aritmética produto, da multiplicação de qualquer número duas vezes por ele mesmo: cubo de 4. Cubo sugador de sangue, projétil curativo, para cortar pele; bancos. Cubo de gordura, kamch. pele de foca, recheada com gordura de animais marinhos e costurada em toda volta; Kutyr. Plantar. cubo, Indigo, do qual é extraída a tinta do cubo. O cubo diminuirá. geralmente uma unidade de medida cúbica; entre escavadeiras, braça cúbica. Retire os cubos de terra. Plantar. Picris hieracioides, ganso de madeira. Cúbico, pertencente a um cubo, relacionado. Ferro cúbico, ferro para caldeira, chapas grossas. Tinta cuba, tinta vegetal azul feita de plantas. cubo, índigo. Kubovik novg. Um vestido de verão de lona azul, de outra forma tingido ou bronzeado, é chamado de vestido de verão de trabalho, verkhnik, dubenik, sandalnik. Cúbico, em forma, formando um cubo, em um geômetra. e aritmética significado Caixa cúbica, número; raiz, número a partir do qual, ao ser multiplicado duas vezes por si mesmo, formou-se um cubo; será a raiz cúbica de 8. Medida cúbica, espessura, medida de espessura: a extensão de ponto a ponto é medida por uma medida linear, linear; plano, superfície com medida linha a linha, de ponta a ponta, com medida plana e quadrada; e todo fluxo ou capacidade entre dois planos é uma medida de espessura, cúbica, espessa. Cubóide, em bloco, cuboidal, em forma de cubo, quase cúbico, com aparência próxima de um cubo, peitoral. Pique algo, divida, quebre em cubos, cubos. Açúcar em cubos e despeje em cubos. Cube a terra, quebre-a em cubos com um desenho; faça cálculos cúbicos. O sal da montanha é cortado em cubos, dividido e desintegrado em cubos. Kubatura f. um cubo com espessura igual a um determinado corpo, por exemplo. bola

Qual é a forma geométrica do antigo santuário da Kaaba?

Observe que esta seção discute o conceito graus apenas com expoente natural e zero.

O conceito e as propriedades de potências com expoentes racionais (com negativo e fracionário) serão discutidos nas aulas da 8ª série.

Então, vamos descobrir o que é uma potência de um número. Para escrever o produto de um número por si só, a notação abreviada é usada diversas vezes.

Em vez do produto de seis fatores idênticos 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4, escreva 4 6 e diga “quatro elevado à sexta potência”.

4 4 4 4 4 4 = 4 6

A expressão 4 6 é chamada de potência de um número, onde:

• 4 — base de grau;
• 6 — expoente.

Em geral, um grau com base “a” e expoente “n” é escrito usando a expressão:

Lembrar!

A potência de um número “a” com expoente natural “n” maior que 1 é o produto de “n” fatores idênticos, cada um dos quais é igual ao número “a”.

A entrada “a n” é assim: “a elevado a n” ou “enésima potência do número a”.

As exceções são as seguintes entradas:

• a 2 - pode ser pronunciado como “a ao quadrado”;
• a 3 - pode ser pronunciado como “ao cubo”.

• a 2 - “a elevado à segunda potência”;
• a 3 - “a elevado à terceira potência”.

Surgem casos especiais se o expoente for igual a um ou zero (n = 1; n = 0).

Lembrar!

A potência do número “a” com expoente n = 1 é este próprio número:
uma 1 = uma

Qualquer número elevado a zero é igual a um.
um 0 = 1

Zero elevado a qualquer potência natural é igual a zero.
0 n = 0

Um elevado a qualquer potência é igual a 1.
1 n = 1

Expressão 0 0 ( zero elevado à potência zero) são considerados sem sentido.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Ao resolver exemplos, você precisa lembrar que elevar a uma potência é encontrar um valor numérico ou alfabético após elevá-lo a uma potência.

Exemplo. Elevar a um poder.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Elevando um número negativo à potência

A base (o número elevado à potência) pode ser qualquer número - positivo, negativo ou zero.

Lembrar!

Elevar um número positivo a uma potência produz um número positivo.

Quando zero é elevado a uma potência natural, o resultado é zero.

Quando um número negativo é elevado a uma potência, o resultado pode ser um número positivo ou um número negativo. Depende se o expoente era um número par ou ímpar.

Vejamos exemplos de elevação de números negativos a potências.

A partir dos exemplos considerados, fica claro que se um número negativo for elevado a uma potência ímpar, obter-se-á um número negativo. Já que o produto de um número ímpar de fatores negativos é negativo.

Se um número negativo for elevado a uma potência par, ele se tornará um número positivo. Já que o produto de um número par de fatores negativos é positivo.

Lembrar!

Um número negativo elevado a uma potência par é um número positivo.

Um número negativo elevado a uma potência ímpar é um número negativo.

O quadrado de qualquer número é um número positivo ou zero, ou seja:

a 2 ≥ 0 para qualquer a.

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Observação!

Ao resolver exemplos de exponenciação, muitas vezes cometem-se erros, esquecendo-se que as entradas (−5) 4 e −5 4 são expressões diferentes. Os resultados da elevação destas expressões a potências serão diferentes.

Calcular (−5) 4 significa encontrar o valor da quarta potência de um número negativo.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

Embora encontrar “−5 4” signifique que o exemplo precisa ser resolvido em 2 etapas:

1. Eleve o número positivo 5 à quarta potência.
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. Coloque um sinal de menos antes do resultado obtido (ou seja, execute uma ação de subtração).
   −5 4 = −625

Exemplo. Calcule: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Procedimento em exemplos com graus

Calcular um valor é chamado de ação de exponenciação. Esta é a ação do terceiro estágio.

Lembrar!

Em expressões com potências que não contêm parênteses, primeiro faça exponenciação, então multiplicação e divisão, e no final adição e subtração.

Se a expressão contiver parênteses, primeiro execute as ações entre parênteses na ordem indicada acima e, a seguir, execute as ações restantes na mesma ordem, da esquerda para a direita.

Exemplo. Calcular:

Para facilitar a resolução de exemplos, é útil conhecer e utilizar a tabela de potências, que você pode baixar gratuitamente em nosso site.

Para verificar seus resultados, você pode usar a calculadora em nosso site "