Աստիճանը և դրա հատկությունները: Համապարփակ ուղեցույց (2019)

Երբթիվն ինքն իրեն բազմապատկվում է ինքս ինձ, աշխատանքկանչեց աստիճան.

Այսպիսով, 2,2 = 4, քառակուսի կամ 2-ի երկրորդ հզորություն
2.2.2 = 8, խորանարդ կամ երրորդ հզորություն:
2.2.2.2 = 16, չորրորդ աստիճան:

Նաև 10.10 = 100, 10-ի երկրորդ հզորությունը:
10.10.10 = 1000, երրորդ հզորություն:
10.10.10.10 = 10000 չորրորդ հզորություն:

Իսկ a.a = aa, a-ի երկրորդ ուժ
ա.ա.ա = աաա, ա-ի երրորդ ուժ
ա.ա.ա.ա = աաաա, ա-ի չորրորդ ուժ

Բնօրինակ համարը կոչվում է արմատայս թվի լիազորությունները, քանի որ դա այն թիվն է, որից ստեղծվել են լիազորությունները:

Այնուամենայնիվ, լիովին հարմար չէ, հատկապես բարձր լիազորությունների դեպքում, գրի առնել բոլոր այն գործոնները, որոնք կազմում են լիազորությունները։ Հետևաբար, օգտագործվում է սղագրության նշագրման մեթոդ: Աստիճանի արմատը գրվում է միայն մեկ անգամ, իսկ աջ կողմում և մի փոքր ավելի մոտ, բայց մի փոքր ավելի փոքր տառատեսակով գրված է, թե քանի անգամ. արմատը գործում է որպես գործոն. Այս թիվը կամ տառը կոչվում է ցուցիչկամ աստիճանթվեր։ Այսպիսով, a 2-ը հավասար է a.a-ի կամ aa-ի, քանի որ a արմատը պետք է երկու անգամ բազմապատկվի ինքն իրենով, որպեսզի ստացվի aa հզորությունը: Նաև 3-ը նշանակում է աաա, այսինքն՝ այստեղ a-ն կրկնվում է երեք անգամորպես բազմապատկիչ։

Առաջին աստիճանի ցուցիչը 1 է, բայց սովորաբար չի գրվում։ Այսպիսով, a 1-ը գրվում է որպես a.

Դուք չպետք է շփոթեք աստիճանների հետ գործակիցները. Գործակիցը ցույց է տալիս, թե որքան հաճախ է արժեքը վերցվում մասամբողջը. Հզորությունը ցույց է տալիս, թե որքան հաճախ է ընդունվում մեծությունը գործոնաշխատանքի մեջ։
Այսպիսով, 4a = a + a + a + a: Բայց ա 4 = ա.ա.ա.ա

Հզորության նշագրման սխեման ունի յուրահատուկ առավելություն, որը թույլ է տալիս մեզ արտահայտել անհայտաստիճան. Այդ նպատակով թվի փոխարեն գրվում է ցուցիչը նամակ. Խնդիրը լուծելու գործընթացում մենք կարող ենք ստանալ մի քանակություն, որը մենք գիտենք մի քանիմեկ այլ մեծության աստիճան: Բայց մինչ այժմ մենք չգիտենք՝ դա քառակուսի է, խորանարդ, թե մեկ այլ՝ ավելի բարձր աստիճան։ Այսպիսով, a x արտահայտության մեջ ցուցիչը նշանակում է, որ այս արտահայտությունն ունի մի քանիաստիճան, թեև չսահմանված ինչ աստիճան. Այսպիսով, b m և d n-ը բարձրացվում են մինչև m և n հզորություններ: Երբ ցուցիչը գտնվի, թիվտառի փոխարեն փոխարինվում է. Այսպիսով, եթե m=3, ապա b m = b 3; բայց եթե m = 5, ապա b m =b 5:

Հզորությունների օգտագործմամբ արժեքներ գրելու մեթոդը նույնպես մեծ առավելություն է օգտագործման ժամանակ արտահայտությունները. Այսպիսով, (a + b + d) 3-ը (a + b + d) է (a + b + d).(a + b + d), այսինքն, եռանդամի (a + b + d) խորանարդը: . Բայց եթե այս արտահայտությունը գրենք այն խորանարդի բարձրացնելուց հետո, այն նման կլինի
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3:

Եթե ​​վերցնենք մի շարք հզորություններ, որոնց ցուցիչները մեծանում կամ նվազում են 1-ով, ապա մենք գտնում ենք, որ արտադրյալը մեծանում է. ընդհանուր բազմապատկիչկամ նվազում է ընդհանուր բաժանարար, և այս գործակիցը կամ բաժանարարը սկզբնական թիվն է, որը բարձրացվում է մինչև հզորություն:

Ուրեմն, սերիայում աաաաա, աաաա, աաա, աա, ա;
կամ 5, ա 4, ա 3, ա 2, ա 1;
ցուցանիշները, եթե հաշվվում են աջից ձախ, 1, 2, 3, 4, 5; իսկ դրանց արժեքների տարբերությունը 1 է։ Եթե սկսենք աջ կողմում բազմապատկել a-ով մենք հաջողությամբ կստանանք բազմաթիվ արժեքներ:

Այսպիսով, a.a = a 2, երկրորդ անդամ: Եվ a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3, երրորդ անդամ: a 4 .a = a 5:

Եթե ​​սկսենք ձախ բաժանելդեպի ա,
մենք ստանում ենք 5:a = a 4 և a 3:a = a 2:
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Բայց այս բաժանման գործընթացը կարող է շարունակվել հետագա, և մենք ստանում ենք արժեքների նոր շարք:

Այսպիսով, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Ամբողջական շարքը կլինի՝ aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa:

Կամ 5, a 4, a 3, a 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3:

Ահա արժեքները աջ կողմումմեկից կա հակադարձարժեքները մեկի ձախ կողմում: Հետևաբար այս աստիճանները կարելի է անվանել հակադարձ հզորություններա. Կարող ենք նաև ասել, որ ձախ կողմում գտնվող ուժերը աջ կողմի ուժերի հակադարձներն են:

Այսպիսով, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Եվ 1:(1/a 3) = a 3:

Նույն ձայնագրման պլանը կարող է կիրառվել բազմանդամներ. Այսպիսով, a + b-ի համար մենք ստանում ենք բազմություն,
(ա + բ) 3, (ա + բ) 2, (ա + բ), 1, 1/(ա + բ), 1/(ա + բ) 2, 1/(ա + բ) 3:

Հարմարության համար օգտագործվում է փոխադարձ լիազորություններ գրելու մեկ այլ ձև:

Ըստ այս ձևի՝ 1/a կամ 1/a 1 = a -1: Եվ 1/aaa կամ 1/a 3 = a -3:
1/aa կամ 1/a 2 = a -2: 1/aaaa կամ 1/a 4 = a -4:

Իսկ 1-ով որպես ընդհանուր տարբերությամբ ամբողջական շարք կազմելու համար a/a-ն կամ 1-ը դիտվում է որպես աստիճան չունեցող մի բան և գրվում է որպես 0:

Այնուհետև՝ հաշվի առնելով ուղիղ և հակադարձ ուժերը
փոխարեն աաաա, աաա, աա, ա, ա/ա, 1/ա, 1/աա, 1/աաա, 1/աաաա
կարող եք գրել 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4:
Կամ +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4:

Եվ միայն առանձին աստիճանների շարքը նման կլինի.
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Աստիճանի արմատը կարող է արտահայտվել մեկից ավելի տառերով:

Այսպիսով, aa.aa կամ (aa) 2-ը aa-ի երկրորդ ուժն է:
Իսկ aa.aa.aa կամ (aa) 3-ը aa-ի երրորդ ուժն է:

Թիվ 1-ի բոլոր ուժերը նույնն են՝ 1.1 կամ 1.1.1: հավասար կլինի 1-ի։

Ցուցադրումը ցանկացած թվի արժեքը գտնելն է՝ այդ թիվը ինքն իրենով բազմապատկելով: Բարձրացման կանոն.

Քանակը բազմապատկեք ինքն իրեն այնքան անգամ, որքան նշված է թվի հզորության մեջ:

Այս կանոնը ընդհանուր է բոլոր օրինակների համար, որոնք կարող են առաջանալ աստիճանավորման գործընթացում: Բայց ճիշտ է բացատրություն տալ, թե ինչպես է դա վերաբերում կոնկրետ դեպքերին:

Եթե ​​միայն մեկ անդամ է բարձրացվում մինչև հզորություն, ապա այն ինքն իրենով բազմապատկվում է այնքան անգամ, որքան ցույց է տրված ցուցանիշը:

a-ի չորրորդ ուժը 4-ն է կամ աաաա: (Հոդված 195.)
y-ի վեցերորդ ուժը y 6 կամ yyyyyy է:
X-ի N-րդ հզորությունը x n է կամ xxx..... n անգամ կրկնվում է:

Եթե ​​անհրաժեշտ է մի քանի տերմինների արտահայտություն բարձրացնել իշխանության վրա, սկզբունքը, որ մի քանի գործակիցների արտադրյալի հզորությունը հավասար է այս գործակիցների արտադրյալին, որը հասցված է հզորության:

Այսպիսով (այ) 2 =a 2 y 2; (այ) 2 = այ.այ.
Բայց այ.այ = այայ = աայյ = ա 2 յ 2:
Այսպիսով, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3:

Հետևաբար, արտադրանքի հզորությունը գտնելիս մենք կարող ենք կամ միանգամից գործարկել ամբողջ արտադրանքի հետ, կամ կարող ենք գործել յուրաքանչյուր գործոնի հետ առանձին, այնուհետև բազմապատկել դրանց արժեքները հզորությունների հետ:

Օրինակ 1. dhy-ի չորրորդ ուժը (dhy) 4 է կամ d 4 h 4 y 4:

Օրինակ 2. Երրորդ հզորությունը 4b է, կա (4b) 3, կամ 4 3 b 3, կամ 64b 3:

Օրինակ 3. 6ad-ի N-րդ հզորությունը (6ad) n է կամ 6 n a n d n:

Օրինակ 4. 3m.2y-ի երրորդ հզորությունը (3m.2y) 3 է կամ 27m 3 .8y 3:

Երկանդամի աստիճանը, որը բաղկացած է + և --ով միացված տերմիններից, հաշվարկվում է նրա անդամները բազմապատկելով: Այո,

(a + b) 1 = a + b, առաջին աստիճան:
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, երկրորդ հզորություն (a + b):
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, երրորդ հզորություն:
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, չորրորդ իշխանություն.

a - b քառակուսին a 2 - 2ab + b 2 է:

a + b + h քառակուսին a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2 է

Վարժություն 1. Գտե՛ք a + 2d + 3 խորանարդը

Վարժություն 2. Գտե՛ք b + 2-ի չորրորդ աստիճանը։

Վարժություն 3. Գտե՛ք x + 1-ի հինգերորդ աստիճանը:

Վարժություն 4. Գտե՛ք վեցերորդ ուժը 1 - բ.

Գումարի քառակուսիներ գումարներԵվ տարբերություններերկանդամներն այնքան հաճախ են հանդիպում հանրահաշվում, որ անհրաժեշտ է դրանք շատ լավ իմանալ:

Եթե ​​բազմապատկենք a + h ինքն իրեն կամ a - h ինքն իրենով,
ստանում ենք՝ (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 նույնպես, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2:

Սա ցույց է տալիս, որ յուրաքանչյուր դեպքում առաջին և վերջին անդամները a-ի և h-ի քառակուսիներն են, իսկ միջին անդամը կրկնակի է a-ի և h-ի արտադրյալից: Այստեղից երկանդամների գումարի և տարբերության քառակուսին կարելի է գտնել հետևյալ կանոնով.

Երկանդամի քառակուսին, որի երկու անդամներն էլ դրական են, հավասար է առաջին անդամի քառակուսուն + երկու անդամների արտադրյալի կրկնապատիկը + վերջին անդամի քառակուսին։

Քառակուսի տարբերություններերկանդամները հավասար են առաջին անդամի քառակուսուն՝ հանած երկու անդամների արտադրյալի կրկնապատիկը գումարած երկրորդ անդամի քառակուսին:

Օրինակ 1. Քառակուսի 2a + b, կա 4a 2 + 4ab + b 2:

Օրինակ 2. Քառակուսի ab + cd, կա 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2:

Օրինակ 3. Քառակուսի 3d - h, կա 9d 2 + 6dh + h 2:

Օրինակ 4. a - 1 քառակուսին 2 - 2a + 1 է:

Երկանդամների ավելի բարձր հզորություններ գտնելու մեթոդի համար տե՛ս հետևյալ բաժինները:

Շատ դեպքերում արդյունավետ է գրել աստիճաններառանց բազմապատկման.

Այսպիսով, a + b-ի քառակուսին (a + b) 2 է:
bc + 8 + x-ի N-րդ հզորությունը (bc + 8 + x) n է

Նման դեպքերում փակագծերը ծածկում են Բոլորըաստիճանի տակ գտնվող անդամներ:

Բայց եթե աստիճանի արմատը բաղկացած է մի քանիից բազմապատկիչներ, փակագծերը կարող են ընդգրկել ամբողջ արտահայտությունը կամ կարող են կիրառվել առանձին գործոնների վրա՝ կախված հարմարությունից:

Այսպիսով, քառակուսին (a + b) (c + d) կամ [(a + b).(c + d)] 2 կամ (a + b) 2 .(c + d) 2 է:

Այս արտահայտություններից առաջինի համար արդյունքը երկու գործոնի արտադրյալի քառակուսին է, իսկ երկրորդի համար արդյունքը նրանց քառակուսիների արտադրյալն է։ Բայց նրանք հավասար են միմյանց։

A.(b + d) խորանարդը 3 է, կամ a 3.(b + d) 3:

Պետք է հաշվի առնել նաև ներգրավված անդամների առջև դրված նշանը: Շատ կարևոր է հիշել, որ երբ աստիճանի արմատը դրական է, նրա բոլոր դրական ուժերը նույնպես դրական են: Բայց երբ արմատը բացասական է, արժեքները հետ տարօրինակուժերը բացասական են, մինչդեռ արժեքները նույնիսկաստիճանները դրական են:

Երկրորդ աստիճանը (- ա) +a 2 է
Երրորդ աստիճանը (-a) -a 3 է
Չորրորդ աստիճանը (-a) +a 4 է
Հինգերորդ աստիճանը (-a) -a 5 է

Հետևաբար ցանկացած տարօրինակաստիճանն ունի նույն նշանը, ինչ թիվը։ Բայց նույնիսկաստիճանը դրական է՝ անկախ նրանից՝ թիվը բացասական կամ դրական նշան ունի։
Այսպիսով, +a.+a = +a 2
Եվ -a.-a = +a 2

Այն մեծությունը, որն արդեն հասցվել է հզորության, կրկին բարձրացվում է հզորության՝ ցուցիչները բազմապատկելով:

2-ի երրորդ հզորությունը 2,3 = a 6 է:

2 = aa-ի համար; խորանարդը aa է aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; որը a-ի վեցերորդ աստիճանն է, բայց a 2-ի երրորդ աստիճանը:

a 3 b 2-ի չորրորդ հզորությունը a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8 է

4a 2 x-ի երրորդ հզորությունը 64a 6 x 3 է:

(a + b) 2-ի հինգերորդ աստիճանը (a + b) 10 է:

3-ի N-րդ հզորությունը 3n է

(x - y) m-ի N-րդ հզորությունը (x - y) mn է

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Կանոնը հավասարապես կիրառվում է բացասականաստիճաններ։

Օրինակ 1. a -2-ի երրորդ հզորությունը a -3.3 =a -6 է:

-2 = 1/aa-ի համար, և սրա երրորդ ուժը
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

2 b -3-ի չորրորդ հզորությունը 8 b -12 կամ 8 /b 12 է:

Քառակուսին b 3 x -1 է, կա b 6 x -2:

Ax -m-ի N-րդ հզորությունը x -mn է կամ 1/x:

Այնուամենայնիվ, այստեղ պետք է հիշել, որ եթե նշանը նախորդաստիճանը «-» է, ապա այն պետք է փոխվի «+»-ի, երբ աստիճանը զույգ թիվ է:

Օրինակ 1. -a 3 քառակուսին +a 6 է: -a 3-ի քառակուսին -a 3 .-a 3 է, որը, ըստ բազմապատկման նշանների կանոնների, +a 6 է։

2. Բայց -a 3 խորանարդը -a 9 է: -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9-ի համար:

3. N-րդ հզորությունը -a 3-ը 3n է:

Այստեղ արդյունքը կարող է լինել դրական կամ բացասական՝ կախված նրանից՝ n-ն զույգ է, թե կենտ:

Եթե մասբարձրացվում է աստիճանի, այնուհետև համարիչն ու հայտարարը բարձրացվում են աստիճանի:

a/b-ի քառակուսին a 2 /b 2 է: Կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն.
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

1/a-ի երկրորդ, երրորդ և n-րդ ուժերն են 1/a 2, 1/a 3 և 1/a n։

Օրինակներ երկանդամներ, որի անդամներից մեկը կոտորակ է։

1. Գտի՛ր x + 1/2 և x - 1/2 քառակուսին:
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. a + 2/3-ի քառակուսին 2 + 4a/3 + 4/9 է:

3. Քառակուսի x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 x - b/m-ի քառակուսին x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 է:

Նախկինում ցույց էր տրվել, որ կոտորակային գործակիցկարող է տեղափոխվել համարիչից հայտարար կամ հայտարարից համարիչ: Օգտագործելով փոխադարձ լիազորություններ գրելու սխեման՝ պարզ է, որ ցանկացած բազմապատկիչկարելի է նաև տեղափոխել, եթե աստիճանի նշանը փոխված է.

Այսպիսով, ax -2 /y կոտորակում մենք կարող ենք x-ը համարիչից տեղափոխել հայտարար։
Այնուհետեւ ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2:

a/3-ով կոտորակում մենք կարող ենք y-ը հայտարարից տեղափոխել համարիչ:
Այնուհետեւ a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Նույն կերպ մենք կարող ենք դրական ցուցիչ ունեցող գործակիցը տեղափոխել համարիչին կամ բացասական ցուցիչով գործակիցը հայտարարին։

Այսպիսով, կացին 3 /b = a/bx -3: x 3-ի համար հակադարձը x -3 է, որը x 3 = 1/x -3 է:

Հետևաբար, ցանկացած կոտորակի հայտարարը կարող է ամբողջությամբ հանվել, կամ համարիչը կարող է կրճատվել մինչև մեկի՝ առանց արտահայտության իմաստը փոխելու։

Այսպիսով, a/b = 1/ba -1, կամ ab -1:

Այս հոդվածում մենք պարզելու ենք, թե ինչ է դա աստիճանը. Այստեղ կտանք թվի ուժի սահմանումներ, մինչդեռ մանրամասն կդիտարկենք բոլոր հնարավոր ցուցանիշները՝ սկսած բնական ցուցիչից մինչև իռացիոնալ։ Նյութում դուք կգտնեք աստիճանների բազմաթիվ օրինակներ՝ ընդգրկելով առաջացող բոլոր նրբությունները։

Էջի նավարկություն.

Հզորությունը բնական ցուցիչով, թվի քառակուսի, թվի խորանարդ

Սկսենք նրանից. Նայելով առաջ՝ ասենք, որ a թվի հզորության սահմանումը n բնական ցուցիչով տրված է a-ի համար, որը մենք կանվանենք. աստիճանի հիմքը, և n, որոնք մենք կանվանենք ցուցիչ. Մենք նաև նշում ենք, որ բնական ցուցիչով աստիճանը որոշվում է արտադրյալի միջոցով, ուստի ստորև բերված նյութը հասկանալու համար անհրաժեշտ է հասկանալ թվերի բազմապատկման մասին:

Սահմանում.

n բնական ցուցիչով թվի հզորությունը a n ձևի արտահայտությունն է, որի արժեքը հավասար է n գործոնի արտադրյալին, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է a-ի, այսինքն՝ .
Մասնավորապես, 1 աստիճանով a թվի հզորությունը հենց a թիվն է, այսինքն՝ a 1 =a:

Հարկ է անմիջապես նշել աստիճանների ընթերցման կանոնների մասին: a n նշումը կարդալու համընդհանուր ձևն է. «a-ն n-ի ուժին»: Որոշ դեպքերում ընդունելի են նաև հետևյալ տարբերակները՝ «ա-ից մինչև n-րդ աստիճան» և «ա-ի n-րդ ուժ»: Օրինակ, եկեք վերցնենք 8 12 հզորությունը, սա «ութը տասներկուի հզորությանը», կամ «ութը տասներկուերորդ ուժին», կամ «ութի տասներկուերորդ ուժին»:

Թվի երկրորդ հզորությունը, ինչպես նաև թվի երրորդ ուժը, ունեն իրենց անունները։ Թվի երկրորդ հզորությունը կոչվում է թիվը քառակուսիՕրինակ, 7 2-ը կարդացվում է որպես «յոթ քառակուսի» կամ «յոթ թվի քառակուսի»: Թվի երրորդ ուժը կոչվում է խորանարդային թվերՕրինակ, 5 3-ը կարելի է կարդալ որպես «հինգ խորանարդ» կամ կարող եք ասել «5 թվի խորանարդ»:

Ժամանակն է բերելու աստիճանների օրինակներ բնական ցուցիչներով. Սկսենք 5-րդ աստիճանից 7, այստեղ 5-ը աստիճանի հիմքն է, իսկ 7-ը՝ աստիճանը։ Բերենք ևս մեկ օրինակ՝ 4.32-ը հիմքն է, իսկ 9-ը բնական թիվը (4.32) 9 ցուցիչն է։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վերջին օրինակում 4.32 հզորության հիմքը գրված է փակագծերում. անհամապատասխանություններից խուսափելու համար մենք փակագծերում կդնենք հզորության բոլոր հիմքերը, որոնք տարբերվում են բնական թվերից: Որպես օրինակ՝ բնական ցուցիչներով տալիս ենք հետևյալ աստիճանները , դրանց հիմքերը բնական թվեր չեն, ուստի դրանք գրվում են փակագծերում։ Դե, ամբողջական պարզության համար, այս պահին մենք ցույց կտանք (−2) 3 և −2 3 ձևերի գրառումներում պարունակվող տարբերությունը։ (−2) 3 արտահայտությունը −2-ի հզորություն է՝ 3 բնական ցուցիչով, իսկ −2 3 արտահայտությունը (այն կարելի է գրել −(2 3) ) համապատասխանում է թվին, 2 3 հզորության արժեքին։ .

Նկատի ունեցեք, որ a թվի հզորության նշում կա a^n ձևի n ցուցիչով: Ընդ որում, եթե n-ը բազմարժեք բնական թիվ է, ապա ցուցիչը վերցվում է փակագծերում։ Օրինակ, 4^9-ը 4 9-ի հզորության ևս մեկ նշում է: Եվ ահա «^» նշանով աստիճաններ գրելու ևս մի քանի օրինակ՝ 14^(21) , (−2,1)^(155) ։ Հետևյալում մենք հիմնականում կօգտագործենք a n ձևի աստիճանի նշումը:

Բնական ցուցիչով հզորության բարձրացման հակադարձ խնդիրներից մեկը հզորության հայտնի արժեքից և հայտնի աստիճանից հզորության հիմքը գտնելու խնդիրն է: Այս առաջադրանքը հանգեցնում է.

Հայտնի է, որ ռացիոնալ թվերի բազմությունը բաղկացած է ամբողջ թվերից և կոտորակներից, և յուրաքանչյուր կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես դրական կամ բացասական սովորական կոտորակ։ Մենք նախորդ պարբերությունում սահմանել ենք աստիճան ամբողջ թվով ցուցիչով, հետևաբար աստիճանի սահմանումը ռացիոնալ ցուցիչով ավարտելու համար պետք է իմաստավորել a թվի աստիճանը m/n կոտորակային ցուցիչով, որտեղ. m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ։ Եկեք անենք դա.

Դիտարկենք աստիճանը ձևի կոտորակային ցուցիչով: Որպեսզի իշխանությունից իշխանություն հատկությունը մնա վավերական, պետք է պահպանվի հավասարությունը . Եթե ​​հաշվի առնենք ստացված հավասարությունը և ինչպես որոշեցինք , ապա տրամաբանական է ընդունել այն պայմանով, որ տրված m-ի, n-ի և a-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի։

Հեշտ է ստուգել, ​​որ ամբողջ թվով ցուցիչ ունեցող աստիճանի բոլոր հատկությունները վավեր են (սա արվել է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի հատկությունների բաժնում):

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը թույլ է տալիս անել հետևյալը եզրակացությունեթե տրված են m, n և a արտահայտությունը իմաստ ունի, ապա m/n կոտորակային ցուցիչով a-ի հզորությունը կոչվում է a-ի n-րդ արմատը m-ի ուժի նկատմամբ:

Այս պնդումը մոտեցնում է մեզ կոտորակային ցուցիչով աստիճանի սահմանմանը: Մնում է միայն նկարագրել, թե m, n և a արտահայտությունն ինչ իմաստ ունի: Կախված m-ի, n-ի և a-ի վրա դրված սահմանափակումներից, կան երկու հիմնական մոտեցում.

Ամենահեշտ ձևը a-ի վրա սահմանափակում դնելն է՝ ընդունելով a≥0 դրական m և a>0 բացասական m (քանի որ m≤0-ի համար m-ի 0 աստիճանը սահմանված չէ): Այնուհետև մենք ստանում ենք աստիճանի հետևյալ սահմանումը կոտորակային ցուցիչով.

Սահմանում.

m/n կոտորակային ցուցիչով դրական a թվի հզորությունը, որտեղ m-ն ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, կոչվում է a թվի n-րդ արմատը m-ի հզորությանը, այսինքն՝ .

Զրոյի կոտորակային հզորությունը որոշվում է նաև միակ նախազգուշացմամբ, որ ցուցանիշը պետք է լինի դրական:

Սահմանում.

Մ/ն կոտորակային դրական ցուցիչով զրոյի հզորություն, որտեղ m-ը դրական ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը՝ բնական թիվ, սահմանվում է որպես .
Երբ աստիճանը որոշված ​​չէ, այսինքն՝ զրո թվի աստիճանը կոտորակային բացասական ցուցիչով իմաստ չունի։

Հարկ է նշել, որ կոտորակային ցուցիչով աստիճանի այս սահմանման դեպքում կա մեկ նախազգուշացում. որոշ բացասական a-ի և որոշ m-ի և n-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի, և մենք մերժեցինք այս դեպքերը՝ ներմուծելով a≥0 պայմանը: Օրինակ, գրառումները իմաստ ունեն կամ, և վերը տրված սահմանումը մեզ ստիպում է ասել, որ ձևի կոտորակային ցուցիչ ունեցող ուժերը. իմաստ չունի, քանի որ հիմքը չպետք է բացասական լինի:

Մ/ն կոտորակային ցուցիչով աստիճանը որոշելու մեկ այլ մոտեցում է արմատի զույգ և կենտ ցուցիչները առանձին դիտարկելն է: Այս մոտեցումը պահանջում է լրացուցիչ պայման՝ a թվի հզորությունը, որի ցուցիչը , համարվում է a թվի հզորությունը, որի ցուցիչը համապատասխան անկրճատելի կոտորակն է (այս պայմանի կարևորությունը կբացատրենք ստորև. ) Այսինքն, եթե m/n-ն անկրճատելի կոտորակ է, ապա ցանկացած բնական թվի համար k աստիճանը սկզբում փոխարինվում է .

Նույնիսկ n-ի և դրական m-ի համար արտահայտությունն իմաստ ունի ցանկացած ոչ բացասական a-ի համար (բացասական թվի զույգ արմատը իմաստ չունի), բացասական m-ի համար a թիվը դեռ պետք է տարբերվի զրոյից (հակառակ դեպքում կլինի բաժանում): զրոյով): Իսկ կենտ n-ի և դրական m-ի համար a թիվը կարող է լինել ցանկացած (կենտ աստիճանի արմատը սահմանվում է ցանկացած իրական թվի համար), իսկ բացասական m-ի համար a թիվը պետք է լինի ոչ զրոյական (որպեսզի բաժանում չլինի): զրո).

Վերոհիշյալ պատճառաբանությունը մեզ տանում է դեպի կոտորակային ցուցիչ ունեցող աստիճանի այս սահմանումը:

Սահմանում.

Թող m/n-ը լինի անկրճատելի կոտորակ, m-ը՝ ամբողջ, իսկ n-ը՝ բնական թիվ: Ցանկացած կրճատվող կոտորակի համար աստիճանը փոխարինվում է . Մ/ն անկրճատելի կոտորակային ցուցիչ ունեցող թվի հզորությունը համար է



Բացատրենք, թե ինչու է կրճատվող կոտորակային ցուցիչով աստիճանը սկզբում փոխարինվում է անկրճատելի ցուցիչով աստիճանով: Եթե ​​մենք պարզապես սահմանեինք աստիճանը որպես , և վերապահում չանեինք m/n կոտորակի անկրճատելիության վերաբերյալ, ապա մենք կբախվեինք հետևյալի նման իրավիճակներին. քանի որ 6/10 = 3/5, ուրեմն հավասարությունը պետք է պահպանվի։ , Բայց , Ա .

աստիճանը

Այսպիսով, եկեք պարզենք, թե ինչ է թվի ուժը: Թվի արտադրյալն ինքնին գրելու համար մի քանի անգամ օգտագործվում է կրճատ նշումը։ Այսպիսով, վեց միանման գործակիցների արտադրյալի փոխարեն 4. 4 . 4 . 4 . 4 . 4-ը գրված է 4 6 և արտասանվում է «չորսից մինչև վեցերորդ ուժ»:
4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 6

4 6 արտահայտությունը կոչվում է թվի ուժ, որտեղ.
. 4 - բազային աստիճան;
. 6-ը ցուցիչն է:

Ընդհանուր առմամբ, «a» հիմքով և «n» ցուցիչով աստիճանը գրվում է՝ օգտագործելով արտահայտությունը.

• 1-ից մեծ «n» բնական ցուցիչ ունեցող «a» թվի հզորությունը «n» միանման գործակիցների արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է «a» թվին։

a n մուտքագրում ասվում է.

Բացառություն են կազմում հետևյալ գրառումները.
. ա 2 - այն կարելի է արտասանել որպես «քառակուսի»;
. ա 3 - այն կարելի է արտասանել որպես «խորանարդ»:

• n = 1 ցուցիչով «a» թվի հզորությունը հենց այս թիվն է.
• ա 1 = ա
• Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:
• a 0 = 1
• Ցանկացած բնական հզորության զրո հավասար է զրոյի:
• 0 n = 0
• Մեկը ցանկացած հզորության հավասար է 1-ի:
• 1 n = 1

Անիմաստ է համարվում 0 0 արտահայտությունը (զրո զրոյի աստիճանին):
. (-32) 0 = 1
. 0 234 = 0
. 1 4 = 1
Օրինակներ լուծելիս պետք է հիշել, որ իշխանության հասնելը նշանակում է գտնել ուժի արժեքը:

Օրինակ. Բարձրացնել մի ուժի:
. 5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
. 2.5 2 = 2.5 . 2.5 = 6.25
. (3 ) 4 = 3. 3. 3. 3 = 81
4 4 4 4 4 256

Բացասական թվի բարձրացում դեպի ուժ
Հիմքը (թիվը, որը բարձրացվում է հզորության) կարող է լինել ցանկացած թիվ՝ դրական, բացասական կամ զրո։

• Դրական թիվը հասցնելով հզորության՝ ստացվում է դրական թիվ:

Երբ զրոն բարձրացվում է բնական հզորության, արդյունքը զրո է:
Երբ բացասական թիվը բարձրացվում է մինչև հզորության, արդյունքը կարող է լինել կամ դրական, կամ բացասական թիվ: Դա կախված է նրանից, թե արդյոք ցուցանիշը զույգ է, թե կենտ:

Դիտարկենք բացասական թվերը հզորությունների բարձրացման օրինակներ:


Դիտարկված օրինակներից պարզ է դառնում, որ եթե բացասական թիվը հասցվում է կենտ հզորության, ապա ստացվում է բացասական թիվ։ Քանի որ կենտ թվով բացասական գործոնների արտադրյալը բացասական է:

Եթե ​​բացասական թիվը հասցվում է զույգ մեծության, այն դառնում է դրական թիվ: Քանի որ զույգ թվով բացասական գործոնների արտադրյալը դրական է:

Բացասական թիվը, որը բարձրացվում է մինչև զույգ մեծության, դրական թիվ է:

• Բացասական թիվը, որը բարձրացված է կենտ հզորության, բացասական թիվ է:
• Ցանկացած թվի քառակուսին դրական թիվ է կամ զրո, այսինքն.
• a 2 ≥ 0 ցանկացած ա.

2 . (- 3) 2 = 2 . (- 3) . (- 3) = 2 . 9 = 18
. - 5 . (- 2) 3 = - 5 . (- 8) = 40

Նշում!
Բարձրացման օրինակներ լուծելիս հաճախ սխալներ են թույլ տալիս՝ մոռանալով, որ (- 5) 4 և -5 4 նշումները տարբեր արտահայտություններ են։ Այս արտահայտությունները իշխանության բարձրացման արդյունքները տարբեր կլինեն։

Հաշվել (- 5) 4 նշանակում է գտնել բացասական թվի չորրորդ աստիճանի արժեքը:
(- 5) 4 = (- 5) . (- 5) . (- 5) . (- 5) = 625

Մինչդեռ -5 4 գտնելը նշանակում է, որ օրինակը պետք է լուծվի 2 քայլով.
1. Դրական 5 թիվը բարձրացրեք չորրորդ աստիճանի։
5 4 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625
2. Ստացված արդյունքի դիմաց դնել մինուս նշան (այսինքն՝ կատարել հանման գործողություն):
-5 4 = - 625
Օրինակ. Հաշվիր՝ - 6 2 - (- 1) 4
- 6 2 - (- 1) 4 = - 37

1. 6 2 = 6 . 6 = 36
2. -6 2 = - 36
3. (- 1) 4 = (- 1) . (- 1) . (- 1) . (- 1) = 1
4. - (- 1) 4 = - 1
5. - 36 - 1 = - 37

Ընթացակարգը օրինակներով աստիճաններով
Արժեքի հաշվարկը կոչվում է հզորացման գործողություն: Սա երրորդ փուլի ակցիան է։

• Փակագծեր չպարունակող հզորություններ ունեցող արտահայտություններում սկզբում կատարվում է աստիճանականացում, ապա բազմապատկում և բաժանում, իսկ վերջում՝ գումարում և հանում։
• Եթե ​​արտահայտությունը պարունակում է փակագծեր, ապա նախ կատարեք փակագծերի գործողությունները վերը նշված հերթականությամբ, իսկ հետո կատարեք մնացած գործողությունները նույն հերթականությամբ՝ ձախից աջ:

Օրինակ. Հաշվարկել:

աստիճանի հատկություններ

Բնական ցուցիչ ունեցող հզորությունն ունի մի քանի կարևոր հատկություն, որոնք թույլ են տալիս պարզեցնել հզորությունների օրինակներով հաշվարկները:
Թիվ 1 սեփականություն
Ուժերի արտադրանք

• Միևնույն հիմքերով հզորությունները բազմապատկելիս հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ հզորությունների արտահայտիչները գումարվում են։
• մի մ. a n = a m+n , որտեղ a-ն ցանկացած թիվ է, իսկ m, n-ը՝ բնական թվեր:

Ուժերի այս հատկությունը վերաբերում է նաև երեք և ավելի հզորությունների արտադրյալին։
Օրինակներ.
. Պարզեցրեք արտահայտությունը.
բ. բ 2. բ 3. բ 4. բ 5 = բ 1+2+3+4+5 = բ 15

6 15 . 36 = 6 15 . 6 2 = 6 15+2 = 6 17

Ներկայացրե՛ք որպես աստիճան։
(0,8) 3 . (0,8) 12 = (0,8) 3+12 = (0,8) 15

• Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ նշված գույքում խոսքը միայն նույն հիմքերով հզորությունների բազմապատկման մասին էր։ Դա չի վերաբերում դրանց ավելացմանը։
• Դուք չեք կարող գումարը (3 3 + 3 2) փոխարինել 3 3-ով: Սա հասկանալի է, եթե հաշվեք 3 3 = 27 և 3 2 = 9; 27 + 9 = 36, և 3 5 = 243

Թիվ 2 գույք
Մասնակի աստիճաններ

• Միևնույն հիմքերով հզորությունները բաժանելիս հիմքը մնում է անփոփոխ, և բաժանարարի աստիճանը հանվում է դիվիդենտի ցուցիչից։
• մի մ. a n = a m-n, որտեղ a-ն ցանկացած թիվ է, որը հավասար չէ զրոյի, իսկ m, n-ն այնպիսի բնական թվեր են, որ m > n:

Օրինակներ.
. Գրեք քանորդը որպես ուժ
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5-3 = (2b) 2

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը. Մենք օգտագործում ենք քանորդ հզորությունների հատկությունը։
3 8: t = 3 4

t = 3 8: 3 4

t = 3 8-4

t = 3 4

Պատասխան՝ t = 3 4 = 81

Օգտագործելով No1 և No2 հատկությունները, կարող եք հեշտությամբ պարզեցնել արտահայտությունները և կատարել հաշվարկներ:
. Օրինակ. Պարզեցրեք արտահայտությունը.
4 5մ+6. 4 մ+2՝ 4 4մ+3 = 4 5մ+6+մ+2՝ 4 4մ + 3 = 4 6մ + 8 - 4մ - 3 = 4 2մ + 5

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ սեփականություն 2-ում մենք խոսում էինք միայն նույն հիմքերով լիազորությունները բաժանելու մասին։
Դուք չեք կարող տարբերությունը (4 3 - 4 2) փոխարինել 4 1-ով: Սա հասկանալի է, եթե հաշվեք 4 3 = 64 և 4 2 = 16; 64 - 16 = 48, և 4 1 = 4
Զգույշ եղիր!

Թիվ 3 գույք
Աստիճանի բարձրացում դեպի իշխանություն

• Աստիճանը մինչև հզորության բարձրացնելիս աստիճանի հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ աստիճանները բազմապատկվում են։
• (a n) m = a n . m, որտեղ a-ն ցանկացած թիվ է, իսկ m, n-ը՝ ցանկացած բնական թվեր:

Օրինակ.
(a 4) 6 = a 4: 6 = 24
. Օրինակ. Արտահայտեք 3 20-ը որպես 32 հիմք ունեցող հզորություն:
աստիճանի բարձրացման հատկությամբ Հայտնի է, որ ուժի բարձրացման դեպքում ցուցիչները բազմապատկվում են, ինչը նշանակում է.

Հատկություններ 4
Արտադրանքի հզորությունը

• Երբ հզորությունը բարձրացվում է մինչև արտադրանքի հզորությունը, յուրաքանչյուր գործակից բարձրացվում է այդ հզորությանը և արդյունքները բազմապատկվում են:
• (ա . բ) n = a n . b n, որտեղ a, b ցանկացած ռացիոնալ թվեր են. n - ցանկացած բնական թիվ:

Օրինակ 1.

(6. ա 2. բ 3. գ) 2 = 6 2: ա 2. 2. բ 3. 2. 1-ից. 2 = 36 a 4: բ 6. 2-ից

Օրինակ 2.

(- x 2 . y) 6 = ((- 1) 6 . x 2 . 6 . y 1 . 6) = x 12: y 6

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ թիվ 4 հատկությունը, ինչպես աստիճանների մյուս հատկությունները, կիրառվում է նաև հակառակ հերթականությամբ։
(a n . b n)= (a . b) n

Այսինքն՝ նույն ցուցիչներով հզորությունները բազմապատկելու համար կարելի է հիմքերը բազմապատկել, բայց աստիճանը թողնել անփոփոխ։
. Օրինակ. Հաշվիր։

2 4 . 5 4 = (2 . 5) 4 = 10 4 = 10 000

Օրինակ. Հաշվիր։

0,5 16 . 2 16 = (0,5 . 2) 16 = 1

Ավելի բարդ օրինակներում կարող են լինել դեպքեր, երբ բազմապատկումն ու բաժանումը պետք է կատարվեն տարբեր հիմքերով և տարբեր աստիճաններով հզորությունների վրա: Այս դեպքում խորհուրդ ենք տալիս անել հետևյալը.
Օրինակ, 4 5. 3 2 = 4 3 . 4 2. 3 2 = 4 3 . (4. 3) 2 = 64: 12 2 = 64: 144 = 9216

Տասնորդական թիվը մինչև հզորության բարձրացման օրինակ:
4 21 . (-0,25) 20 = 4 . 4 20 . (-0,25) 20 = 4 . (4 . (-0,25)) 20 = 4 . (- 1) 20 = 4 . 1 = 4

Հատկություններ 5
քանորդի հզորություն (կոտորակ)

• Գործակիցը մեծացնելու համար կարող եք դիվիդենտը և բաժանարարը առանձին բարձրացնել այս հզորության վրա, իսկ առաջին արդյունքը բաժանել երկրորդի վրա:
• (a: b) n = a n: b n, որտեղ a, b ցանկացած ռացիոնալ թվեր են, b ≠ 0, n-ը ցանկացած բնական թիվ է:

Օրինակ. Ներկայացրե՛ք արտահայտությունը որպես ուժերի գործակից:
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Կոտորակի բարձրացում մինչև հզորության

• Կոտորակը աստիճանի հասցնելիս պետք է և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը հասցնել աստիճանի:

Կոտորակները մեծացնելու օրինակներ:

Ինչպես խառնված թիվը հասցնել հզորության
Խառը թիվը աստիճանի հասցնելու համար նախ ազատվում ենք ամբողջ թվից՝ խառը թիվը վերածելով ոչ պատշաճ կոտորակի։ Սրանից հետո և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը բարձրացնում ենք հզորության։
Օրինակ.

Կոտորակը դեպի հզորություն բարձրացնելու բանաձևը օգտագործվում է և՛ ձախից աջ, և՛ աջից ձախ, այսինքն՝ աստիճանները միմյանց մեջ նույն ցուցիչներով բաժանելու համար կարող եք մի հիմքը բաժանել մյուսի վրա և թողնել աստիճանը։ անփոփոխ.

Օրինակ. Գտեք արտահայտության իմաստը ռացիոնալ կերպով.

Աստիճանների հատկությունները

թվի երրորդ ուժը

Այլընտրանքային նկարագրություններ

Երկրաչափական մարմին

Երկրաչափական պատկեր

Հեղուկներ թորելու և եռացնելու անոթ

Մաթեմատիկայի եռյակ

Ծավալային քառակուսի

Կանոնավոր պոլիեդրոն

Բույսը, որից արդյունահանվել է ավազի ներկ

Երրորդ աստիճան (մաթեմատիկական)

Վեցանկյուն

Պրիզմայի հատուկ դեպք

Ծավալի չափում

Մատյան ձևը

Hexahedron

Ճիշտ վեցանկյուն

Սեղանի աղը և ցինկի սուլֆիդը բյուրեղանում են այս երկրաչափական պատկերի տեսքով:

Այս կանոնավոր պոլիեդրոնն ունի 6 դեմք

Այս կանոնավոր պոլիեդրոնն ունի 8 գագաթ

Ի՞նչ երկրաչափական պատկեր ունի Քաաբայի հնագույն սրբավայրը:

Մարմնի քառակուսի բոլոր կողմերից

Երկրաչափական մարմին, որի երեք ելուստները բոլորը քառակուսի են

Թիվը բազմապատկվել է երեք անգամ

Միավոր, որում չափվում է կտրված փայտանյութը

Գերան տների ծածկման ձևերից մեկը

Երրորդ աստիճան (մաթ.)

Hexahedron պարզ ձևով

3D քառակուսի

Կանոնավոր վեցանկյուն

Կազմում է դյուզ ութ

Աջ վեցանկյուն

Բազմաթև

Կտրված փայտանյութի չափում

Քաաբայի սրբավայրի ձևը

Երրորդ աստիճան մաթեմատիկոսի համար

Բազմանդրոն՝ 8 գագաթներով

Աղի բյուրեղյա ձև

Նրա բոլոր կանխատեսումները քառակուսի են

Ծավալի չափում գերանների համար

Համատեղելով 6 քառակուսի

Վեց կողերի տեր

Մաթեմատիկայի երրորդ աստիճան

Տասներկու կողերի տեր

Թորում...

Ճիշտ վեցանկյուն

Երկրաչափական մարմին, կանոնավոր բազմանիստ

Հեղուկներ թորելու և եռացնելու անոթ

Կանոնավոր բազմանիստ վեց դեմքով

Մ. թորման անոթ, ալեմբիկ, հեղուկների թորման արկ, իսպ. գինի Խորանարդը կարող է լինել ապակի, կավ, պղինձ և այլն, տարբեր չափերի և տեսակների; այն ամուր ծածկված է գլխարկով, և թորման հեղուկը զույգերով մտնում է կոկորդը, պարանոցը, այնտեղից էլ սառնարան և հոսում ընդունիչ։ երկրաչափ. ուղղանկյուն, հավասարակողմ մարմին, որը սահմանափակված է վեց հավասար քառակուսիներով. մեռնել կամ կրծքավանդակը, որն ունի չորս կողմ, կափարիչ և մեկ չափի հատակ, ներկայացնում է խորանարդ: թվաբանություն արտադրյալ, ցանկացած թիվ ինքն իրեն երկու անգամ բազմապատկելուց՝ 4-ի խորանարդը։ Արյուն ծծող խորանարդ, բուժիչ արկ, մաշկը կտրելու համար; բանկեր. Ճարպի խորանարդ, կամչ. փոկի կաշի, որը լցված է ծովային կենդանիների ճարպով և կարված շուրջբոլորը. Կուտիր. Գործարան. խորանարդ, Ինդիգո, որից արդյունահանվում է խորանարդի ներկ։ Խորանարդը կնվազի: ընդհանուր առմամբ խորանարդի միավոր; էքսկավատորների շարքում, խորանարդ. Հանեք երկրի խորանարդները: Գործարան. Picris hieracioides, փայտե սագ: Խորանարդիկ, խորանարդի պատկանող, կապ. Խորանարդ երկաթ, կաթսայի արդուկ, հաստ թիթեղներ։ Վաթ ներկ, բույսերից պատրաստված կապույտ բուսական ներկ։ խորանարդ, ինդիգո: Կուբովիկ նովգ. Կտավի կապույտ սարաֆանը՝ այլ կերպ ներկված կամ արևածաղկված, կոչվում է աշխատանքային սարաֆան, վերխնիկ, դուբենիկ, սանդալնիկ։ Խորանարդ, -ձևավոր, խորանարդ ձևավորող, երկրաչափի մեջ: և թվաբանություն իմաստը Խորանարդ տուփ, համարը; արմատ, մի թիվ, որից երկու անգամ ինքն իրենով բազմապատկելիս առաջացել է խորանարդ; կլինի 8-ի խորանարդի արմատը։ Խորանարդ չափ, հաստ, հաստության չափ. կետից կետ ընդլայնումը չափվում է գծային չափով, գծային; հարթություն, մակերես՝ գծից գիծ, ​​եզրից եզր, հարթ, քառակուսի չափով; և երկու հարթությունների միջև յուրաքանչյուր հոսք կամ հզորություն չափում է հաստությունը, խորանարդը, հաստությունը: Խորանարդաձև, բլոկաձև, խորանարդաձև, գրեթե խորանարդաձև, արտաքին տեսքով խորանարդին մոտ, կրծքավանդակ: Ինչ-որ բան կտրատել, բաժանել, կոտրել խորանարդի, խորանարդի: Շաքարավազը կտրատել և լցնել խորանարդի մեջ։ Երկիրը խորանարդի ենթարկիր, գծագրով կոտրիր այն խորանարդի; կատարել խորանարդ հաշվարկներ. Լեռան աղը խորանարդի մեջ է, բաժանվում, քայքայվում խորանարդի։ Կուբատուրա զ. մի խորանարդ, որը հավասար է տրված մարմնի հաստությամբ, օրինակ. գնդակ

Ի՞նչ երկրաչափական ձև ունի Քաաբայի հնագույն սրբավայրը:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս բաժինը քննարկում է հայեցակարգը աստիճաններ միայն բնական ցուցիչովև զրո:

Ռացիոնալ ցուցիչներով (բացասական և կոտորակային) հզորությունների հայեցակարգը և հատկությունները կքննարկվեն 8-րդ դասարանի դասերին:

Այսպիսով, եկեք պարզենք, թե ինչ է թվի ուժը:Թվի արտադրյալն ինքնին գրելու համար մի քանի անգամ օգտագործվում է կրճատ նշումը։

Վեց միանման գործակիցների արտադրյալի փոխարեն՝ 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4, գրեք 4 6 և ասեք «չորս վեցերորդ աստիճանին»:

4 4 4 4 4 4 = 4 6

4 6 արտահայտությունը կոչվում է թվի ուժ, որտեղ.

• 4 — աստիճանի հիմք;
• 6 — ցուցիչ.

Ընդհանուր առմամբ, «a» հիմքով և «n» ցուցիչով աստիճանը գրվում է՝ օգտագործելով արտահայտությունը.

Հիշիր.

1-ից մեծ «n» բնական ցուցիչ ունեցող «a» թվի հզորությունը «n» միանման գործակիցների արտադրյալն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է «a» թվին։

«a n» մուտքը կարդում է այսպես.

Բացառություն են կազմում հետևյալ գրառումները.

• ա 2 - այն կարելի է արտասանել որպես «քառակուսի»;
• ա 3 - այն կարելի է արտասանել որպես «խորանարդ»:

• ա 2 - «ա դեպի երկրորդ ուժ»;
• ա 3 - «ա դեպի երրորդ ուժ»:

Հատուկ դեպքեր են առաջանում, եթե ցուցիչը հավասար է մեկ կամ զրոյի (n = 1; n = 0):

Հիշիր.

n = 1 ցուցիչով «a» թվի հզորությունը հենց այս թիվն է.
ա 1 = ա

Զրո հզորության ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:
a 0 = 1

Ցանկացած բնական հզորության զրո հավասար է զրոյի:
0 n = 0

Մեկը ցանկացած հզորության հավասար է 1-ի:
1 n = 1

Արտահայտություն 0 0 ( զրոյից մինչև զրոյական հզորություն) համարվում են անիմաստ:

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Օրինակներ լուծելիս պետք է հիշել, որ հզորության բարձրացումը նշանակում է թվային կամ տառային արժեք գտնելը այն հզորության հասցնելուց հետո:

Օրինակ. Բարձրացնել մի ուժի:

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Բացասական թվի բարձրացում դեպի ուժ

Հիմքը (թիվը, որը բարձրացվում է հզորության) կարող է լինել ցանկացած թիվ՝ դրական, բացասական կամ զրո։

Հիշիր.

Դրական թիվը հասցնելով հզորության՝ ստացվում է դրական թիվ:

Երբ զրոն բարձրացվում է բնական հզորության, արդյունքը զրո է:

Երբ բացասական թիվը բարձրացվում է մինչև հզորության, արդյունքը կարող է լինել կամ դրական, կամ բացասական թիվ: Դա կախված է նրանից, թե արդյոք ցուցանիշը զույգ է, թե կենտ:

Դիտարկենք բացասական թվերը հզորությունների բարձրացման օրինակներ:

Դիտարկված օրինակներից պարզ է դառնում, որ եթե բացասական թիվը հասցվում է կենտ հզորության, ապա ստացվում է բացասական թիվ։ Քանի որ կենտ թվով բացասական գործոնների արտադրյալը բացասական է:

Եթե ​​բացասական թիվը հասցվում է զույգ մեծության, այն դառնում է դրական թիվ: Քանի որ զույգ թվով բացասական գործոնների արտադրյալը դրական է:

Հիշիր.

Բացասական թիվը, որը բարձրացվում է մինչև զույգ մեծության, դրական թիվ է:

Բացասական թիվը, որը բարձրացված է կենտ հզորության, բացասական թիվ է:

Ցանկացած թվի քառակուսին դրական թիվ է կամ զրո, այսինքն.

a 2 ≥ 0 ցանկացած ա.

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Նշում!

Բարձրացման օրինակներ լուծելիս հաճախ սխալներ են թույլ տալիս՝ մոռանալով, որ (−5) 4 և −5 4 մուտքերը տարբեր արտահայտություններ են։ Այս արտահայտությունները իշխանության բարձրացման արդյունքները տարբեր կլինեն։

Հաշվարկել (−5) 4-ը նշանակում է գտնել բացասական թվի չորրորդ աստիճանի արժեքը։

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

Մինչդեռ «−5 4» գտնելը նշանակում է, որ օրինակը պետք է լուծվի 2 քայլով.

1. 5-րդ դրական թիվը բարձրացրեք չորրորդ աստիճանի:
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. Ստացված արդյունքի դիմաց դրեք մինուս նշան (այսինքն՝ կատարեք հանման գործողություն)։
   −5 4 = −625

Օրինակ. Հաշվի՛ր՝ −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Ընթացակարգը օրինակներով աստիճաններով

Արժեքի հաշվարկը կոչվում է հզորացման գործողություն: Սա երրորդ փուլի ակցիան է։

Հիշիր.

Փակագծեր չպարունակող ուժերով արտահայտություններում նախ արեք հզորացում, ապա բազմապատկում և բաժանում, և վերջում գումարում և հանում.

Եթե ​​արտահայտությունը պարունակում է փակագծեր, ապա նախ կատարեք փակագծերի գործողությունները վերը նշված հերթականությամբ, իսկ հետո կատարեք մնացած գործողությունները նույն հերթականությամբ՝ ձախից աջ:

Օրինակ. Հաշվարկել:

Օրինակներ լուծելը հեշտացնելու համար օգտակար է իմանալ և օգտագործել լիազորությունների աղյուսակը, որը կարող եք անվճար ներբեռնել մեր կայքում։

Արդյունքները ստուգելու համար կարող եք օգտագործել մեր կայքի հաշվիչը: